Vẽ KH vuông góc với tiếp tuyến Bx của đường tròn.. Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm M bất kì trên Ax, vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn B là tiếp điểm.. Gọi I là trung điểm của MA, BI cắ
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016
TR ƯỜNG THCS LIÊN CHÂU MÔN: TOÁN – LỚP 9.
Thời gian: 150 phút
4 1
A
x
a/ Rút gọn A
b/ Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên
2, Tính giá trị của biểu thức B = x3 - 3x + 2000 với x = 3 3 2 2 + 3 3 2 2
Câu 1 ( 1,5 điểm) Cho 3 số x, y, z thỏa mãn đồng thời:
3x - 2y - 2 y 2012 +1 =0
3y - 2z - 2 z 2013 + 1 = 0
3z - 2x - 2 x 2 - 2 = 0;
Tính giá trị của biểu thức P = ( x - 4) + ( y + 2012) + ( z - 2013) 2011 2012 2013
Câu 2 (1,5 điểm) Cho bốn số thực a , b , c , d thoả mãn đồng thời:
7
a và a2 b2 c2 d2 13 Hỏi a có thể nhận giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
Bài 3: (3đ)
a) Cho ba số dương x y z, , thoả mãn 1 1 1 1 Chứng minh rằng:
x y z
x yz yzx zxy xyz x y z b)Tìm số tự nhiên n sao cho 2 là số chính phương
6
An n
Bài 4 ( 7 điểm)
Câu 1 (3 điểm) Từ điểm K bất kì trên đường tròn tâm O đường kính AB = 2R
Vẽ KH vuông góc với tiếp tuyến Bx của đường tròn Giả sử góc KAB bằng
độ ( 0 < < 90 )
a, Tính KA, KB, KH theo R và
b, Tính KH theo R và 2
c, Chứng minh rằng: cos 2 = 1 – 2sin2
cos 2 = 2 cos2 - 1
Câu 2 (4 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R, A là điểm cố định trên
đường tròn Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm M bất kì trên Ax, vẽ tiếp tuyến thứ hai
MB với đường tròn (B là tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của MA, BI cắt đường tròn ở K, tia MK cắt đường tròn ở C Chứng minh rằng:
a, Tam giác MIK đồng dạng với tam giác BIM
b, BC song song với MA
c, Khi điểm M di động trên Ax thì trực tâm H của tam giác MAB thuộc đường tròn cố định
Câu 5 (1,0 điểm): Cho A =n 1 với n
(2n +1) 2n 1
*
Chứng minh rằng: A + A + A + + A < 11 2 3 n
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM - MÔN TOÁN LỚP 9
Bài 1
1a)
(2,5đ)
a/(2đ)Cho biểu thức
:
4 1
x
1 0; ; 1 4
x x
A=
:
A=1-2
4 2 5 2 1 (2 1)
.
0,25
0,75 0,75 0,75
1b)
(1,5đ) b/(2đ) Tìm xTa có : Zđể A nguyên
Ư(2)
2
1 2
1 2
x
Do x 0;x 1;x Z x 0
Vậy x=0 thì A có giá trị nguyên
0,75 0,75
2.(2đ) Áp dụng công thức: (a+b)
3=a3+b3+3ab(a+b), Đặt a=3 3 2 2 , b=3 3 2 2
Ta có
x= a+b x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b)
=> x3 = 6 + 3x x3- 3x = 6Suy ra B = 2006
0,5 0,5 0,25
0,25 0,5
Bài 2 (3điểm)
Câu 1 (1.5 điểm)
b) 3x - 2y - 2 y 2012 +1 =0 (1)
3y - 2z - 2 z 2013 + 1 = 0 (2)
3z - 2x - 2 x 2 - 2 = 0 (3)
Cộng vế với vế của (1), (2), và (3) ta được:
( x - 2 - 2 + 1) + ( y + 2012 - 2 + 1)
2012
2013
- 1 = 0 x = 3
y 2012 - 1 = 0 y = - 2011
Trang 3Vậy P = ( 3 - 4) + ( - 2011 + 2012) 2011 2012
+ ( 2014 - 2013)2013 P = -1 + 1 +1 = 1 0,25
Câu (1.5 điểm)
Từ a +b+c+d = 7 b+c+d = 7 – a
(b+c+d)2 = b2 + c2 + d2 + 2bc +2cd + 2bd
0,25đ
mà (b – c )2 0; (c - d )2 0;(d - b )2 0;
b2 + c2 2bc; c2 + d2 2cd; d2 + b2 2bd;
0,25đ
Từ đó (b+c+d)2 3(b2 + c2 + d2)
(7 - a)2 3(13 – a2)
0,25đ
(a –
1)(a-2
5
Tìm được 1 a
2
do đó a có thể nhận giá trị lớn nhất là
2
Bài 3(3điểm)
a)
(1.5đ) Bất đẳng thức đã cho tương đương với abc bca cab 1 ab bc ca,
với a 1,b 1, c 1, a b c 1
Tacó : abc a a( b c) bc
Tương tự: bca b ca; cab c ab
Từ đó ta có đpcm Dấu bằng xảy ra khi x y z 3
0,5
0,5
0,5
b)
1.5đ
là số chính phương nên A có dạng 2
6
An n
6 ( )
4 4 24 4 (2 ) (2 1) 23
2 2 1 23 (2 2 1)(2 2 1) 23
2 2 1 1
A n n k k N
k n
k n
(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)
Vậy với n = 5 thì A là số chính phương
0,5
0,5
0,25 0,25
Bài 4 (7 điểm)
Câu 1 (3 điểm)
Trang 4x
H K
C
A
a, (1 điểm)
Lập luận để có AKB = 900(0,25đ); KAB = KBH (0,25đ);
Xét AKB vuông tại H có
KA = AB cos = 2R cos (0,25đ);
KB = AB sin = 2R sin (0,25đ);
Xét KHB vuông tại H có
KH = KB sin (0,25đ) = 2R sin2 (0,25đ);
b, (0.75 điểm)
Vẽ KO; KC AB xét KCO vuông tại C có OC = OK cos2 (0,25đ);
Lập luận có KH = CB (0,25đ) = R - Rcos2 = R(1 - cos2 ) (0,25đ);
c, (1,25 điểm)
Theo câu a có KH = 2R sin2 theo câu b có KH = R(1 - cos2 ) (0,25đ); nên 2R sin2 = R(1 - cos2) (0,25đ) do đó cos2 = 1 - 2sin2 (0,25đ);
Mặt khác áp dụng định lí Pitago vào tam giác AKB vuông tại K chứng minh được
sin2 + cos2 = 1 nên sin2 = 1 - cos2 (0,25đ);
Từ đó có cos2 = 1 – 2(1 – cos2 ) = 2 cos2 - 1 (0,5đ);
Câu 2 (4 điểm)
a, (2 điểm)
Chứng minh được IAK đồng dạng với IBA (0,5đ)
C
K I
O
B
x M
A
Trang 5Chứng minh được MIK đồng dạng với BIM (1đ)
b, (1điểm)
Từ câu a IMK = MBI , lại cóMBI = BCK(0,5đ);
IMK = BCK BC // MA(0,5đ);
c, (1 điểm)
H là trực tâm của MAB
tứ giác AOBH là hình thoi (0,5đ);
AH = AO =R H (A;R) cố định
Câu 5 (1điểm)
(2 1) 2 1 (2 1) 2 1
n A
A
2n 1 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1 n
n
1 2 3
1
2 1
n
n
0,25 0,25
0,25
0,25
