Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Hòn Đất môn Toán năm học 2012 – 2013 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN HUYỆN HÒN ĐẤT MÔN TOÁN NĂM HỌC 2012 – 2013 THỜI GIAN LÀM BÀI 150 phút ( không kể thời gian giao đề) (ĐỀ CHÍNH THỨC) Bài 1 (5đ) Cho biểu thức A = 2 2 2 2 2 1 2 x x x x y y x x y x y xy 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1+ và y = 1 2 2 3) Tìm x, y trong trường hợp y = 2x thì A = 1 Bài 2 (4đ) Thực hiện.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - CẤP HUYỆN HUYỆN HÒN ĐẤT MÔN : TOÁN
NĂM HỌC: 2012 – 2013
THỜI GIAN LÀM BÀI : 150 phút
( không kể thời gian giao đề) ( ĐỀ CHÍNH THỨC)
1
:
2
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1+ 2 và y = 1 - 2
3) Tìm x, y trong trường hợp y = 2x thì A = 1.
Bài 2 (4 đ) Thực hiện phép tính sau:
2) Q = 22011 - 22010 - 22009 - ……… – 2 – 1
Bài 3 (4 đ)
1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì:
chia hết cho 24.
2) Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1
Tính: T = 2 2
2
1
x
x
2
2 2
1
1 1
y
x z
y
2
2 2
1
1 1
z
y x
z
Bài 4 ( 5 đ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một dây cung MN quay xung
quanh trung điểm H của OB Gọi I là trung điểm của MN Từ A kẻ tia Ax MN, cắt
MN tại K Tia BI cắt Ax tại C.
1) Chứng minh OI MN, từ đó suy ra tứ giác CMBN là hình bình hành.
2) Chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN
3) Khi MN quay xung quanh H thì C di động trên đường nào.
Bài 5 (2 đ) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình:
2x2 + 2xy + y2 – 4x +2y + 10 = 0
Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng máy tính
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - CẤP HUYỆN
HUYỆN HÒN ĐẤT MÔN : TOÁN
NĂM HỌC: 2012 – 2013
( ĐỀ CHÍNH THỨC)
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
1) ĐKXĐ: x y và x 0; y 0
Rút gọn đến: A =
2
2 y 2 : xy
Tính đúng: A = x yx y x
0,5 1
1
2) Thay vào, tính đúng A = 1 2 2 2 1
1,5
Bài 1
(5 điểm)
3) Khi y = 2x thì A = 1 ta có hệ PT :
2
1
Giải hệ PT : x = 3 ; y = 6 (thỏa mãn)
Vậy x = 3 ; y = 6 thì A = 1
0,5
0,5
1) Ta có : 4P = 4 4 4 4
3.77.11 11.15 399.403 =1 1 1 1 1 1 1 1
3 7 7 11 11 15 399403 = 1 1 400
34031209 100
1209
P
0,5
0,5
1
Bài 2
(4 điểm)
2) Ta có : 2Q = 22012 - 22011 - 22010 - 22009 - ……… – 22 – 2
Q = 2Q – Q = 22012 - 22011 - 22011 + (22010 - 22010 ) + (22009 -22009) + …… + (2-2) +1
Q = 22012 – 2 22011 + 1 = 22012 - 22012 + 1 = 1
0,5
0,5 1 1) n46n311n230n24
= n n 1n2n 3 24n1
Vì n; n + 1; n + 2; n + 3; là bốn số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết
cho 2.3.4 = 24 và 24 (n - 1) chia hết cho 24 nên 4 3 2 chia hết
cho 24
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3
(4 điểm)
2) Ta có 1+x2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z) =(x+z)(x+y)
Tương tự ta có: 1+y2 =(y+x)(y+z)
1+z2 =(z+x)(z+y)
x
x yy z
z x y x y z x z y
=
z xz y
z y x y z x y x z
0,5
0,5
0,5
Trang 3=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) = 2(xy+yz+zx) =2 Vậy T = 2 0,5
1) Vẽ hình đúng
c/m OI MN AK // OI I là trung điểm của BC
c/m tứ giác CMBN là hình bình hành
0,5 1 0,5 2) Ta có AK là đường cao của 0
AMN ANB
Mà CMBN là hình bình hành CM // BN CM AN.
MC là đường cao của AMN C là trực tâm của tam giác AMN
0,5 0,5
0,5
3) Chỉ ra IH là đường trung bình của OBC IH // OC
Mà IH Ax OC Ax C nằm trên đường tròn đường kính AO
0,75 0,75
Bài 4
(5 điểm)
Hình vẽ:
C x
K
N
M
I H B
A O
Bài 5
(2 điểm) Từ phương trình: 2x
2 + 2xy + y2 – 4x +2y + 10 = 0
x2 + x2 + 2xy + y2+ 2x – 6x + 2y + 9 + 1 = 0
x2+ y2+ 1 + 2xy + 2x + 2y + x2– 6x + 9 = 0
(x + y +1)2 + (x – 3 )2 = 0
1 0 3
0,5 0,5 0,5
0,5
Lưu ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
