Một điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tâm O luôn nằm trong ABC.. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.. OA’ d, Tìm vị trí điểm A để chu vi DEF có giá trị lớn nhất Câu 5: 1 điểm
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
Trường THCS Phương Trung ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học: 2015 – 2016
Môn: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6 điểm)
2 2
2 :
1
3 1
3
x
x x
x
x x
x x
A
a Rút gọn A
b Tìm giá trị x khi A x 1
c Tính giá trị A khi 3 3
27
125 9 3 27
125 9
x
2 Cho * chứng minh rằng
N
n
chia hết cho 14
n n n n
A 2 11 22 32
Câu 2: (4 điểm)
1 Giải phương trình
1000 8000
1 1000
x
2 Cho x 0 ,y 0 ,z 0 và x 2y 3z 20
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
z y x z y x
2
9 3
Câu 3: (4 điểm)
1 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn
xy y x y
x x
y2 1 2 2 2 2
2 Cho a, b, c > 0 chứng minh
b a
c a
c
b c
b
a a
c
c c b
b b a
a
Câu 4: (5 điểm)
Cho BC là 1 dây cung của (o) bán kính R ((BC 2R) Một điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tâm O luôn nằm trong ABC Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H
a, Chứng minh AEF ABC
b, Gọi A’ là trung điểm của BC
Chứng minh AH = 2 A’O
c, A1 là trung điểm của EF
Chứng minh RAA1 = AA’ OA’
d, Tìm vị trí điểm A để chu vi DEF có giá trị lớn nhất
Câu 5: (1 điểm)
Hai đội cờ thi đấu với nhau mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván với mỗi đấu thủ
của đội kia Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ của 2 dội và biết
rằng số đấu thủ của ít nhất trong 2 đội là số lẻ Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
1
a, Rút gọn A:
1
4
x
x A
b, Tìm x / A = x 1
5 4 9 4
1 1
1
4
x x
c, Tính được x 1
2 2
4
A
2 điểm
1 điểm
1 điểm
Câu 1:
6 đ
2 n n n n
A 2 11 22 32
n n n n
9 11 4
7 : ) 7 7
(
).
2 9 ( ).
4 11
(
) 2 9 ( 4 11
C B
C B
n n n n
A là số chẵn
14
2
A
A
1 điểm
1 điểm
Câu 2:
4đ 1.Giải phương trìnhx2 x 1000 1 8000x 1000
Đặt 1 8000x 1 2y
x y
y
y y x
y x
8000 4
4
1 4 4 8000 1
1 2 8000 1
2
2
x y
y2 2000
Ta có
x y
y
y x
x
2000
2000 2
2
xyx y 1999 0
Từ hệ phương trình suy ra
2001
2000 2 2
2 2
y x y x
y x y
x y x
y x
y x
y x
y x
0
0 1999 0
Ta được x2 x 2000x xx 2001 0
(Loại)
0
x
2điểm
Trang 3z y x z y x
2
9
4
3 2 4
4 4
1 2
9 2
1 4
3
z
z y
y x
x
Áp dụng BĐT cô si
13
5 3 2 4
1 4
3 2 4
2 4 4
1
3 2
9 2
1
3 3 4
3
P
z y x z y x
z z
y y
x x
Min P = 13 x = 0
y = 3
z = 4
2 điểm
Câu 3 1.Tìm nghiệm nguyên
1 2
2
2 1
2
2
2 2
2
2 2 2
x y y x
y x x y xy y x
xy y x y
x x y
hoặc
2y2 yx 1 2y2 x y 1
; 2 ; 1 ; 0 ; 1
x y
2.Áp dụng BĐT cô si
c b a
a c
b a
c b a
a c
b a
a c
b a c b a
c b a c b a
2
2 1
2
0 2
Tương tự
1 2 2
2
b a
c a
c
b c
b a
c b a
c b
a c
c b a
b a
c b
2 điểm
1điểm
Trang 4K
c b a
c a b a a
c b a b a
bc c
b a
c a b a a
Tương tự
c b a
b a c b
b
2
b a
c c b
b b a a
c b a
c b b a c
Từ (1)(2)
b a
c a
c
b c
b
a b
a
c c b
b b a
a
1điểm
Câu 4
(5 đ)
1 Cos , cos
AB
AE
A
AC
AF
A
AC
AF AB
AE
A chung
(c.g.c)
AEF
0.5điểm
1 điểm
2.Kẻ đường kính AOK
=> => BHCK là hình bình hành
KC
AC
BH AC
BK AB => BK // CH
CH AB
Nên BC HK tại trung điểm mỗi đường
Có A’ là trung điểm của BC
A’ là trung điểm của HK
Vậy 3 điểm H, A’, K thẳng hàng
0.5 điểm
E C’
A1 B’
F O
H
D
aaa
Trang 5A’ là trung điểm của HK.
OA’ là đường trung bình => AH=2OA’
1điểm
3 4 điểm A, E, H, F 1 đường tròn đường kính AH.
=> Bán kính là AH = OA’ = r
2 1
AEF ABC
=> = => R.AA1 = AA’ r
R
r
'
AA AA
R AA1 = AA’ OA’
4 AEF ABC
=> = => R EF = BC OA’ = 2 SBOC
R
r BC EF
Chứng minh tương tự
BDF BAC
=> R DF = AC OB’ = 2SOAC
R
OB'
AC DF
CDE CAB
=> R DE = OC’ AB = 2SBOA
R
OC'
AB DE
SABC = SBOC + SAOB + SAOC
=> 2 SABC = R ( EF + DF DE)
2 SABC = R Chu vi DEF
AD BC = R Chu vi DEF
Chu vi DEF có giá trị lớn nhất AD lớn nhất
( BC, R cố định)
AD lớn nhất A là trung điểm cung lớn AB
1điểm
1điểm
Câu 5 Gọi x, y lần lượt là số đấu thủ
Có xy = 4 ( x+ y)
( x - 4) (y – 4 ) = 16 = 1.16 = 2 8 = 4.4
x – 4 = 1 x = 5
=> y – 4 = 16 => y = 20
x – 4 = 16 x = 20
y – 4 = 1 y = 5
1điểm
XÁC NHẬN CỦA BGH
Phạm Thị Kim Hoa
Tổ chuyên môn
Đỗ Thị Xuân
Người ra đề
Đỗ Thị Xuân
