Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 20152016 môn thi: Toán Trường THCS Kim Thư30301

Bài 4: 5 đ Cho đường tròn O,R và một điểm A ở ngoài đường tròn, từ một điểm M di động trên đường thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB,MC với  đường tròn B,C là tiếp điểm.. Dây BC cắt

phßng Gd & §t Thanh oai

TR ƯỜNG THCS KIM THƯ

( Đề gồm 01trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9

Môn : Toán Năm học : 2015-2016

Thời gian 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Bài 1(6đ): 1, Cho biểu thức:

1 ( 2 5 1 ) : 1

4 1

A

x





a/ Rút gọn A

b/ Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên

2, Tính giá trị của biểu thức B = x3 - 3x + 2000 víi x = 3 3  2 2 + 3 3  2 2

Bài 2: (4đ)

a) Cho ba số dương x y z, , thoả mãn 1 1 1 1 Chứng minh rằng:

x   y z

x yz  yzx zxy  xyz  x  y  z

b)Tìm số tự nhiên n sao cho 2 là số chính phương

6

An  n

Bài 3 : (4đ)

a , Giải phương trình :

2 2

3x  4x 10  2 14x  7

b, Tìm nghiệm của phương trình:

x2+ 2y2 + 2xy + 3y - 4 =0

Bài 4: (5 đ) Cho đường tròn (O,R) và một điểm A ở ngoài đường tròn, từ một

điểm M di động trên đường thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB,MC với 

đường tròn (B,C là tiếp điểm) Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K

a) Chứng minh OA.OK không đổi từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố

định

b) Chứng minh H di động trên một đường tròn cố định

c) Cho biết OA= 2R Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MBOC

nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

Câu 5 ( 1.0 đ):T×m a,b lµ c¸c sè nguyªn dư¬ng sao cho: a + b2 chia hÕt cho a2b - 1

-Hết - ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o

Thanh oai

N¨m häc 2015 - 2016 M«n thi : To¸n

1a)

(2đ) a/(2đ)Cho biểu thức

:

4 1

x

1

4

A=

:

A=1-2

.

0,25

0,5

0,5

0,75

1b)

(1đ) b/(2đ) Tìm xTa có : Zđể A nguyên

Ư(2)

2

1 2

1 2

x



Do x 0;x 1;x  Z x 0 Vậy x=0 thì A có giá trị nguyên

0,5

0,5

Bài 1

(5đ)

2.(2đ) Áp dụng công thức: (a+b)

3=a3+b3+3ab(a+b), Đặt a=3 3  2 2 , b=3 3  2 2

Ta có

 x= a+b  x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b)

=> x3 = 6 + 3x  x3- 3x = 6 Suy ra B = 2006

0,5

0,5

0,25

0,25 0,5

Bài 2

(4đ)

a)(2đ) Bất đẳng thức đã cho tương đương với

abc bca cab  ab  bc  ca

với a 1,b 1,c 1, a b c 1

Tacó : abc  a a(   b c) bc

Tương tự: bca  b ca; cab c ab

0,75

0,75

b)2đ là số chớnh phương nờn A cú dạng

2

6

An  n

2 2 1 23 (2 2 1)(2 2 1) 23

  



 (Vỡ 23 là số nguyờn tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)

Vậy với n = 5 thỡ A là số chớnh phương

0,5

0,5

0,5

0,5

Bài 3

(4đ) a)(2đ)

b)(2đ)

a) Giải pt sau: 2 2 ĐKXĐ:

3x 4x102 14x 7

2

2

x

x











 





(1) 3x 4x10 2 7 2 x  1 0

2

2

2 0

2 2

2

x x

x x

x

x

 



 

 (TMĐK)

Vậy PT cú nghiệm là: x = -2

b) Biến đổi phương trình

x2+2y2 +2xy +3y-4 =0(x2+2xy+y2) +y2 +3y - 4=0 (y+4)(y-1) =-(x+y)2 0

- 4 y 1 vì y thuộc Z nên y    4 ;  3 ;  2 ;  1 ; 0 ; 1

ĐS sáu cặp (x;y) thỏa mãn phương trình là

(4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0)

0,25

0,25

0,75

0,75

0,5

0,25

0,5 0,5 0,5 0,5

Bài 4

(5đ) Vẽ hình

(0,25)

a)(2đ)

b)(1đ)

c)

(1,75)

a  HOK   AOM  OA OK  OH OM  vBOM có OB2 = OH OM

OA

R OK

2





 K là điểm cố định

b

H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định

c

BC OM 2

1 BH OM S

2

SOBMC OBM   Smin OM nhỏ nhất, BC nhỏ nhất

 M  A , BC  OK  H  K  M  A

3 R

Smin  2

0,25

0,5 0,5 0,5

0,5

1đ

0,5 0,5 0,5 0,25

Bài 5

(1đ) Bµi 52 : (1®) 2

x  xy  y x  xy  x xy  xy xy  2(x y xy) 2

§Æt 2(x+y)=k(xy+2) víi kZ k=1

2x 2y xy 2 (x 2)(y 2) 2

NêuT×m được x=4 ; y=3

Nếu k 2  2(xy)  2(xy 2)   x y xy  2 (x 1)(y   1) 1 0 v«

0,25

0,5

A

B

O

H K

C

M d

VËy x=4 y=3

( Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm )