Cho điểm M nằm trờn nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB = 2R M khụng trựng với A và Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phõn giỏc của IAM cắt nửa đường trũn O tại E, cắt IB tại F; đường th
Trang 1PHềNG GD&ĐT THANH OAI
NĂM HỌC 2015 - 2016 Mụn: Toỏn
Thời gian làm bài: 150 phỳt
Cõu 1: (6 điểm)
2
a Rỳt gọn A
b Tỡm để A Z x
2 Cho abc bca cab, , là cỏc số tự nhiờn cú 3 chữ số
Chứng minh rằng: nếu abc 37 thỡ bca và cab cũng chia hết cho 37
Cõu 2: (4 điểm)
1 Giải phương trỡnh: x 3 4 x 1 x 8 6 x1 =1
2 Cho x, y, z thỏa món xyz = 2015
Chứng minh rằng: 2015 + + =1
2015 2015
x
xy x 2015
y
yz y 1
z
zx z
Cõu 3: (3 điểm)
1 Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh:
x4 + x2 + 1 = y2
2 Cho a,b,c là các số dương và a+b+c=2015
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=
b cc a a b
Cõu 4 (6.0 điểm)
Cho điểm M nằm trờn nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB = 2R (M khụng trựng với A và
Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phõn giỏc của IAM cắt nửa đường trũn O tại E, cắt IB tại
F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.
a) Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cựng nằm trờn một đường trũn.
b) Chứng minh HF BI c) Xỏc định vị trớ của M trờn nửa đường trũn O để chu vi AMB đạt giỏ trị lớn
nhất và tỡm giỏ trị đú theo R?
Cõu 5: (1 điểm)
Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh:
1! + 2! + + x! = n2 ( x! = 1.2.3 x)
Hết
Trang 2-PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2015 - 2016
Câu 1: (6 điểm)
1 a) ĐK: x 0; x 1≥ ≠
Rút gọn A = 2
1
x x b) Vì x ≥ 0 nên 0 < A ≤ 2 và A Z => A = 1 hoặc A = 2
+) A = 1 => 2 =1 <=> =0 <=> x =
1
x x x x1
5 2 +) A = 2 => 2 =2 <=> =0 <=> x = 0
1
x x x x
2 Ta có: abc + 11bca = 111a + 1110b + 111c 37 (vì 111 37)
Mà abc 37 => 11 bca => bca 37 (vì (11; 37) =1)
Ta có: abc 37 => 11 abc 37 Xét tổng: 11 abc + cab = 1110a+111b+111c 37
=> cab 37
0.5 1.5
1 0.5
0.5 1.0
1.0
Câu 2: (4 điểm)
1 (2đ)
2 (2đ)
=1
x x x x
<=> 2 + =1
1 2
x 2
1 3
x
<=> x 1 2 + 3 x1 =1
Áp dụng: a b a b Dấu bằng xảy ra khi a.b≥0
=> x 1 2 + 3 x1 =1 khi 2≤ x1≤3 <=> 5≤x≤10
2015
y
xy xyzxy x 2015 2015
xy
xy x
1
z
xyz xyzxxyzxy
2015
2015x2015xy
2015 2015
x
xy x 2015
y
yz y 1
z
zx z
2015
2015 2015
x
xy x
xy
xy x
2015
2015x2015xy
0.5
0.5 0.5 0.5
Câu 3: (3 điểm)
1 (1,5d)
Vì x2 ≥ 0 với x
nên (x4+x2+1) -(x2+1) < x4+x2+1 ≤ (x4+x2+1)+x2 <=> (x2)2 <y2 ≤(x2+1)2
do đó y2 = (x2+1)2 => (x2+1)2 = x4+x2+1 <=> x=0 suy ra y= 1
Vậy nhiệm nguyên (x;y) cần tìm là: (0;1), (0;-1)
2 (1,5®)
Ta cã: a2 + ≥ a ( Bđt Côsi cho hai số dương )
b c 4
b c
Tương tự: + ≥ b ; + ≥ c
4
ca 2
c
a b 4
a b
0.5
0.5 0.5 0.5 0.5
Trang 3Cộng vế với vế ta được: a2 b2 c2 ≥
b c c aa b
a b c Vậy Min A = 2015/2 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c = 2015/3
Câu 4 (6.0 điểm)
Hình vẽ
x
I
F
M
H E
K
A O B
Ta có M, E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB nên 0và
90
FMK
90
Vậy 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên đường tròn đường kính FK 0.5
K là trực tâm của AFB nên ta có FK AB suy ra FK // AH (2) 0.5
Do đó FAH AFK mà FAH FAK (gt) cho nên AFK FAK 0.5
Suy ra AK = KF, kết hợp với (1) ta được AH = KF (3) 0.5
Từ (2) và (3) ta có AKFH là hình bình hành nên HF // AK Mà AK IB
Chu vi của AMB CAMB MA MB AB lớn nhất khi chỉ khi MA
+ MB lớn nhất (vì AB không đổi)
0.5
Áp dụng bất đẳng thức 2 2 2dấu "=" xảy ra ,
2
0.5
Nên MA + MB đạt giá trị lớn nhất bằng AB 2 khi và chỉ khi
MA = MB hay M nằm chính giữa cung AB.
0.5
Vậy khi M nằm chính giữa cung AB thì CAMB đạt giá trị lớn nhất
Khi đó
AMB
C MA MB AB AB AB AB R
0.5
0.5
Câu 5: (1 điểm)
1! + 2! + + x! = n2 x=1 suy ra n2 = 1 => n = 1
x=2 suy ra n2 = 3 => n Z ( loại)
x=3 suy ra n2 = 9 => n=3
x=4 suy ra n2 = 33 => n Z ( loại)
Ta chứng minh x≥5 phương trình vô nghiệm
Trang 4Thật vậy x≥5 thì 1! + 2! + + x! = 33+ 5! + + x! có chữ số tận cùng là 3 mà n2 không có tận cùng là 3
Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương ( x;n) là (1;1) , (3;3)
- Hết –
DUYỆT CỦA TỔ NGƯỜI RA ĐỀ