Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB.. M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường trũn tõm O’ đường kớnh MB.. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dõy cung CD vuụng gúc với AB tại I.. Đường
Trang 1phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai
TR ƯỜNG THCS HỒNG DƯƠNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
Mụn : Toỏn Năm học : 2015-2016
Thời gian 150 phỳt ( khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1 (6đ):
1, Cho biểu thức 2 3 3 3 3
1
x Q
x
a/ Rỳt gọn biểu thức Q
b/ Tớnh giỏ trị của biểu thức Q khi x = + 3 5 3 29 12 5 .
2, Tớnh giỏ trị của biểu thức B = x3 - 3x + 2000 với x = 3 3 2 2 + 3 3 2 2
Bài 2: (4đ)
a) Biết a, b là cỏc số thoả món a > b > 0 và a.b = 1
Chứng minh :
2 2
2 2
a b
b) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn abc cú 3 chữ số sao cho :
với n là số nguyờn lớn hơn 2
2 2 1 2
abc n
cba n
Bài 3 : (4đ)
a , Giải phương trỡnh :
( x-3)(x+1) + (x-3) = -3
b, Tỡm nghiệm của phương trỡnh
2
Bài 4 (4 điểm).
Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường trũn tõm O’ đường kớnh MB Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dõy cung CD vuụng gúc với AB tại I Đường thẳng BC cắt đường trũn (O’) tại J
a) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến của đường trũn (O’)
b) Xỏc định vị trớ của M trờn đoạn thẳng OA để diện tớch tam giỏc IJO’ lớn nhất
Bài 5:( 2 điểm )
Cho hỡnh thoi ABCD cạnh a, gọi R và r lần lượt là cỏc bỏn kớnh cỏc đường trũn ngoại tiếp cỏc tam giỏc ABD và ABC Chứng minh : 12 12 42
R r a
-Hết -
phòng Giáo dục & Đào tạo Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9
Trang 2Thanh oai
M«n thi : To¸n
1
a)(2đ) ĐKXĐ: x 0; x 3
3 3 27
3 3
3
3
3
x x
x x
x x x
x x
x
3 3 )
3 3 )(
3 (
3 3
3
2 2
x
x x x
x x
x
3
3 3 )
3 3 )(
3 (
3 3 ) 3
2
3
1
x
0,5
0,5
0,5
0,5 1
b)2đ Ta có : x = 3 +
= 3 + = 3 + = 3 + = 3 + 1 Thay x = 3+ 1 vào A ta có:
A
3
1
x = = 1
0,25 0,5 0,25
0,5
0,5
Bài 1
(6đ)
2.(2đ) Áp dụng công thức: (a+b)
3=a3+b3+3ab(a+b), Đặt a=3 3 2 2 , b=3 3 2 2
Ta có
x= a+b x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b)
=> x3 = 6 + 3x x3- 3x = 6 Suy ra B = 2006
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 3a)(2đ) * Vì a.b = 1 nên
2 2
a b
* Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương
Ta có : 2 2
2
Vậy
2 2
2 2
a b
0,75
0,75
0,5
Bài 2
(4đ)
b)2đ
2
2
Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5
=> 4n – 5 99 (3) Mặt khác :
(4)
Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26 Vậy số cần tìm abc 675
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3
(4đ)
a)(2đ)
b)(2đ
)
ĐK: 0 (*) Đặt t = (x-3) , suy ra (x-3)(x+1) = t2
Khi đó phương trình có dạng : t2+4t+3 =0 [t = - 3t = - 1)
* Với t= -3, ta được : (x-3) = -3 {x2 - 2x - 12 = 0x < 3 ) x = 1- 13 , thoả mãn điều kiện (*)
* Với t=-1, ta được:
(x-3) = -1 {x2 - 2x - 4 = 0x < 3 ) x= 1- 5 , thoả mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có hai nghiệm x=1- 13 và x= 1- 5
Từ 2
x y y
Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 Khi đó ta thấy:
( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ Ta lại có tích của chúng là số chẵn, vậy 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2
0,25
0,25
0,75
0,75
0,5
0,25 (1)
Trang 4số chẵn
Ta chỉ có cách phân tích -16 ra tích của 2 số chẵn sau đây:
- 16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8)
Ta có bảng giá trị sau :
Vì thế phương trình đã cho có các nghiệm:
( x,y) = 5, 0 ; 5, 6 ; 4, 3
1,0
0,25
Bài 4
(4đ)
a)(2đ)
b)(2đ
a) Xét tứ giác ACMD, ta có : IA = IM (gt), IC = ID (vì AB
CD : gt) ACMD là hình thoiAC // DM, mà AC CB (do
C thuộc đường tròn đường kính AB)
DM CB; MJ CB (do J thuộc đường tròn đường kính
MB)
D, M, J thẳng hàng
Ta có : IDMˆ IMDˆ 900(vì DIMˆ 900)
Mà IJMˆ IDMˆ (do IC = IJ = ID : CJD vuông tại J có JI là trung tuyến)
(do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’);
MJO JMO IMD
và đối đỉnh)
ˆ '
= 90 0 IJ là tiếp tuyến của
IJMˆ MJOˆ ' 90 0 IJO (O’),
J là tiếp điểm b) Ta có IA = IM
IO’ = = R (R là bán kính của (O))
2
AB
O’M = O’B (bán kính (O’) JIO’ vuông tại I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2
Mà IJ2 + O’J2 2IJ.O’J = 4S JIO’
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
C
J
A I M
D
O O
’
B
Trang 5Do đó SJIO’
4
R
4
R
= R nên : 2O’J2 = O’I2 = R2 O’J = 2
2
R
Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R 2
0,5
0,25
Bài 5
(2đ)
I E
K M
D
O
B
Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD, BD là đường trung trực của AC Do vậy nếu gọi M,I,K là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng
AB với AB,AC,BD thì ta có I, K là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADB, ABC
Từ đó ta có KB = r và IB = R Lấy một điểm E đối xứng với điểm I qua M Ta có BEAI là hình thoi ( vì có hai đường chéo
EI và AB vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Ta có : = mà =900
BAI EBA BAI + ABO
EBA + ABO Xét EBK cã EBK =900 đường cao BM.Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có: 12 12 1 2
BE BK BM
Mà BK = r , BE = BI = R; BM = Nªn
2
a
(§pcm)
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25