CHUYÊN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨCA.. BÀI TẬP * Một số bài tập về ba cạnh của tam giác.
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC
A MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN:
1) Bất đẳng thức cauchy cho hai, ba số khơng âm
(hoặc ) dấu = xảy ra khi x = y 2
x y
xy
2
x y
xy
(hoặc ) dấu = xảy ra khi x = y = z
3
3
x y z
xyz
3
x y z
xyz
2) Một số hệ quả của BĐT cauchy
a) (x y) 1 1 4 hoặc
x y
x y x y
b) (x y z) 1 1 1 9 hoặc
x y z
x y z x y z
2
y z z x x y
2
x y z
y z z x x y
d) 2 2 2 hoặc
a b a b
2
a b c a b c
e) x y 2 ; x2 + y2 + z2 xy + yz + xz
f) (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) g) x 2 + y2 + z2 (x + y + z) 2 3(x 2 + y2 + z2)
* Chú ý : Nếu a + b + c = 0 thì 3 3 3
3
3
a b c abc và
abc
3) Bất đẳng thức Bunhia-copxki:
a) 2 2 2 2 2 dấu = xảy ra khi
(a b )(x y )(ax by ) x y
a b
(a b c )(x y z )(ax by cz) x y z
a b c
4) Bất đẳng thức Svacsơ
trong đĩ a, b, c > 0 dấu = xảy ra khi
x y z
a b c
B BÀI TẬP
* Một số bài tập về ba cạnh của tam giác Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác
Bài 1: a2 + b2 + c2 2(ab + bc + ca)
Bài 2: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 với a + b + c = 2
Bài 3: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) < abc
Bài 4: a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 + 4abc > a3 + b3 + c3
b c ac a ba b c
b c ac a ba b c
2
b c a c a b
p a p b p c a b c
a b c
Bài 9: B = (p – a)(p – b)(p – c)
8
abc
Trang 2Bài 10: C = a b c 6
p b p c p a
p a p b p c
Bài 12: E = b a c b a c 0
p b p c p a
Bài 13: F = ab bc ac 4p
p c p a p b
Bài 14: p p a p b p c 3p
CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH KHÁC
Bài 1: Cho 2 số dương a , b có a + b = 1 Chứng minh rằng:
a) 1 21 2 6; b) ; c)
aba b
aba b
4ab 11
a b ab
d) 1 12 1 12 9 ; e) ; f)
a b
2
g) 31 3 1 4 2 3 h) m)
a b ab
a b
ab
Bài 2: Cho a, b, c > 0 thỏa abc = 1 Chứng minh: 2 1 2 1 2 1 3
a b c b a c c a b
Bài 3: Cho a, b, c > 0 thỏa abc = 1 Chứng minh: 3 2 3 2 3 2 3
a b c b a c c a b
Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa ab + bc + ca = 1 Chứng minh: 3 3 3 1
2
a bb cc a
Bài 5: Cho a, b, c > 0 thỏa ab + bc + ca 3 Chứng minh: 4 4 4 3
b cc aa b
Bài 6: Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1 Chứng minh: 3 2 3 2 3 2 3
(1 ) (1 ) (1 ) 2
Bài 7: Cho a, b, c > 1 Chứng minh:
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
Bài 9: Cho a, b, c > 0 thỏa ab + bc+ ca = 1 chứng minh
3 2
Bài 10: Cho a, b, c > 0 thỏa a2 + b2 + c2 = 3 chứng minh 1 3 1 3 1 3 1
1 8a 1 8b 1 8c
Bài 11: Cho a, b, c > 0 thỏa ab bc ca1 chứng minh: 2 2 2 1
2
b cc aa b
Bài 12: Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 6 chứng minh: ab bc ca 3
a bb ca c
Bài 13: Cho a, b, c dương thỏa a + b + c = 1 chứng minh: 2 12 2 1 1 1 30
a b c abbcca
Trang 3Bài 14: Cho a,b,c là 3 số dương Chứng minh: b c c a a b 4 a b c
Bài 15: Cho a,b,c là 3 số dương Chứng minh: 2a 2b 2c 3
a b b c c a
b c c a a b a b c
Bài 17: Cho a, b, c dương chứng minh: a3 b3 c3 ab bc ca
b c a Bài 18: Cho a, b, c dương chứng minh: 2 3 2 2 3 2 2 3 2
3
a ab b b bc c c ac a
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4
2a b ca 2b ca b 2c a b c
Bài 21: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh 2 2 2 1
Bài 22: Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = abc chứng minh 1 1 1 3
a b c a b c a b c
Bài 23: Cho a,b,c > 0 thỏa 1 1 1 4 chứng minh:
2a b ca 2b ca b 2c
Bài 24: Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1 chứng minh 1
b a c b a c
Bài 25: Cho x, y > 0 thỏa xy = 1 chứng minh ( 1)( 2 2) 4 8
x y
Bài 26: Cho x, y, z > 0 thỏa x + y + z = 1 chứng minh 3
x y z
Bài 27: Cho a, b, c > 0 chứng minh: a32 b3 b32 c3 c32 a3 a b c
Bài 28: Cho a, b, c > 0 chứng minh: 3 13 3 31 3 31 1
abc
a b abcb c abcc a abc
(1 ) (1 ) (1 ) 1
a b b c c a abc
Bài 30: Cho a, b, c > và a + b + c = 3 chứng minh: 12 12 1 32
Bài 31: Cho a, b, c là ba cạnh tam giác Chứng minh:
p
p a p b p c
p a p b p c
Bài 32: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6 Chứng minh: 5 4 3 6
Bài 33: Cho a, b, c > và a + b + c = 1 chứng minh: 2 2 2
-