Tai lieu boi duong hoc sinh gioi Chuyen de 6 Bat dang thuc va GTLN NN Le Hoanh Pho

Dựa vào giả thiết, các quan hệ cho để xác lập hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất... CÁC BÀI TOÁN Bài toán 6.1: Chứng minh các bất đẳng thức:..[r]

Cho hai dãy số tăng a1a2   a n và b1b2   b n (n2)

Nếu  1, 2, ,n là một hoán vị của dãy 1, 2, , n thì:

Nếu hai dãy: a1a2   a n ; b1b2   b n

Đối với y'0 thì ta có bất đẳng thức ngược lại

Việc xét dấu y' đôi khi phải cần đến y y'', ''', hoặc xét dấu bộ phận, chẳng hạn tử số của một phân số có mẫu dương,… Nếu y''0 thì y' đồng biến từ đó ta có đánh giá f ' x rồi f x ,…

Lập phương trình tiếp tuyến tại xb: y AxB

Nếu f x  AxB trên K, dấu bằng xảy ra khi xb

Khi đó f a 1  f a 2   f a n  A a 1a2  a nnB

Anb nB n Ab B nf b

Dấu bằng xảy ra khi a1a2   a n b

Còn nếu f x AxB trên K, dấu bằng xảy ra khi xb thì có ngược lại

Bài toán 6.1: Chứng minh các bất đẳng thức:

a) 2sinxtanx3x với mọi 0;

Xét hàm số  

1 1

11

n n

n n

1'

f x

xy x

Do x, y thuộc  0;1 nên thừa số thứ hai luôn dương, như thế f ' x đổi dấu từ âm sang dương tại y, suy ra y

là điểm cực đại, suy ra f x  f y 0: đpcm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y

Bài toán 6.6: Cho x y z, , 0 và x  y z 1 Chứng minh:

Bài toán 6.7: Chứng minh bất đẳng thức:

a) cosbcosa  b a với a, b tùy ý

Nếu ab thì bất đẳng thức tương đương: cos cos

1

b a

 Không mất tính tổng quát, giả sử ba

Hàm số f x cosx liên tục trên  a b; và có đạo hàm f ' x  sinx

Theo định lý Lagrange, tồn tại c a b; sao cho:

f  nên tiếp tuyến tại x1 là:

x

x x



Tương tự: 4 13 17

y

y y

111

n

n

n i i

n n

x x x

e e e

1 2 1

x

n i i

Ta chứng minh: f n1 x   0, x  0; Giả sử có số x0 0; mà f n1 x0 0 Vì f n1 x liên tục

và có đạo hàm nên tồn tại điểm cực tiểu x1 để: f n1 x1 0,0 x1  Ta có

F a b c d abc bcd cdadab abcd

Không mất tổng quát ta giả sử a là số lớn nhất, d là số bé nhất trong 4 số a, b, c, d Ta có:

b  c b c  thì tương tự lí luận trên:

 1 a n1,b n2,c n1,d n1 là 4 số theo thứ tự giảm dần của 4 số

Bài toán 6.16: Cho a b c, ,  1,a b c  1

Trở lại bài toán Ta xét hai trường hợp

- Tồn tại 1 trong 3 số, chẳng hạn c, sao cho 1

  Khi đó do điều kiện a b c, ,  1, ta phải có hai số âm

và 1 số dương (Nếu ngược lại, giả sử b c, 0 thì ta có a b c      1 1 1 1, vô lý) Giả sử, chẳng hạn

Dấu “=” xảy ra khi a  b c d

Bài toán 6.18: Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x  y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x y

Khi 0 x 1 thì y 1 2 22

Vậy min y2 22 tại x 1 2

Bài toán 6.20: Cho các số nguyên dương p, q, n

a) Tìm giá trị lớn nhất của ycosp x.sinqx với 0

p q

p q

p q y

Bài toán 6.21: Cho các số thực x, y thỏa mãn  3

A dấu = xảy ra khi 1

Suy ra f x  là hàm lõm trên nên có tiếp tuyến tại mọi điểm luôn nằm dưới đồ thị Tiếp tuyến của

M  khi 2x2 3y2, min M 0 khi y0

Bài toán 6.24: Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện:

3 3 3

2 3

x y z   xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px22y23z2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 3 2,y z 0

Vậy min P 34, đạt được khi 3

x y z

Bài toán 6.25: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện:

1 2 2

x y x  y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

minPmin f t  f 0 18, đạt khi t  0 x 1,y1

Bài toán 6.27: Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn:

Suy ra x y, 0 và x2 y2 2

Đặt t x y Khi đó  2 2

0 t 2 x  y 2 Đặt t x y Khi đó  2 2

   nên P25 Dấu đẳng thức xảy ra khi x2,y z 1 hoặc các hoán vị

Vậy min P25, đạt được khi x2,y z 1 hoặc các hoán vị

Bài toán 6.29: Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Do đó P 5, dấu đẳng thức xảy ra khi a  b c 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −5, đạt khi a  b c 1

Bài toán 6.30: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

max f t  f 3 32;min f t  f 2 22 nên 2 P 4

Vậy max P4, đạt khi a  b c 1

2

Min P , đạt khi a2,b c 0 hoặc các hoán vị

Bài toán 6.33: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x2y2z2 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

y z x

Dấu đẳng thức xảy ra khi x  y z 1

Vậy giá trị lớn nhất của P là 12, dấu = khi x  y z 1

Bài toán 6.34: Cho các số thực x, y, z đều thuộc đoạn  0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Vậy giá trị lớn nhất của P là 9

2, đạt được khi trong ba số a, b, c có nhiều nhất một số bằng 1, các số còn lại

Bài toán 6.36: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Bài toán 6.37: Cho hàm số f, xác định trên và thỏa mãn:

cot  sin 2 cos 2 ,

2 2

a b c 

và a b c  1

Hướng dẫn

a) Chuẩn hóa: a b c  3 và dùng tiếp tuyến tại x1

b) Tiếp tuyến tại 1

Bài toán 6.5: Chứng minh

A B C  với tam giác ABC

b)

1 1

a   b c d

b) Kết quả 3

10 khi

13