Tải Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 6: Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN - Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 6

Đối với bất đẳng thức hoặc bài toán cực trị mà vai trò các biến không bình đẳng thì việc xác định điểm rơi không hề dễ.Có kỹ thuật giải quyết là “Tham số hóa”... Kỹ thuật đơn giản như [r]

CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC TOÁN LỚP 9

A BẤT ĐẲNG THỨC

I Tóm tắc lý thuyết cơ bản

1 Chuyển vế thì đổi dấu

2 Nhân ( hoặc chia) hai vế cho cùng số dương được BĐT cùng chiều

3 Nhân ( hoặc chia) hai vế cho cùng số âm được BĐT ngược chiều

4 Nghịch đảo hai vế của một bất đẳng thức mà hai vế cùng dấu được BĐT ngược chiều

5 Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều (Chú ý không có phép biến đổi trừ từng vế)

6 Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm

II Các phương pháp chứng minh BĐT cơ bản.

1 Phương pháp biến đổi tương đương

Từ BĐT đề yêu cầu chứng minh, ta biến đổi đến bất đẳng thức đúng, như vậy BĐT đã được chứng minh

BĐT cuối luôn đúng vậy ta có

x x

x x

Ví dụ ta có các bài toán sau

Bài 2: Cho 3 số a;b;c thỏa mãn a+b+c =

3

2 Chứng minh a2 + b2 +c2 

3 4

Bài 3: Cho x  1; y  4 Chứng minh rằng

y x

2.2 Dùng BĐT CÔ-Si cho hai số không âm

2.2.1 Kỹ thuật 1 : Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho.

Bài 4: Cho 0 < x < 2 Chứng minh

7 2

x B

x x



Nhận xét: Với ĐK bài toán các biểu thức ”số hạng” đều dương  khả năng

dùng BĐT Cô si.Muốn dùng Cô SI với biểu thức

9 2

x x

 thì biểu thức “ số hạng “ thứ hai mẫu phải chứa x và tử phải chứa 2 –x Ta làm nháp như sau:

kx q mx

, ta đi xét biểu thức q A sau đó dùng Cô Si

Bài 6 : Với x  9 Chứng minh A=

x x

2.2.3 Kỹ thuật dự đoán điểm rơi

Điểm rơi của BĐT là giá trị biến mà tại đó dấu “=” xảy ra

Bài 7: Cho x;y;z là các số dương thỏa mãn x+y+z = 1 Chứng minh rằng

-Nếu dùng cho x và 1 –x thì dấu bằng xảy ra khi x= 1-x  x =

1

2(sai so với dự đoán)

Điểm rơi Khi x =

1

3 thì khi đó 1-x=

2

3  ta phải áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 1-x và 2x.

Từ đây ta suy ra một bất đẳng thức rất thường sử dụng “Với x > 0, y > 0, ta có:

x yx y (2) Dấu = khi x = y

Hai bất đẳng thức trên khi dùng phải chứng minh.(Dùng PP tương đương)

Bài 8: Cho các số thực dương x, y, z thỏa x + y + z = 4 Chứng minh rằng :

xy xz

x x

5 Phương pháp đổi biến

Bẳng cách dự đoán dấu “=” xảy ra rất nhiều bài toán BĐT ta đổi qua biến mới

dễ làm hơn Chủ yếu dùng PP tương đương sau khi đổi biến

Bài 9: Cho a b 3, a1 Chứng minh rằng: C = b3 a3 6b2 a29b0

Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 2.

Do vậy ta đặt a 1 x , với x  0 Từ giả thiết suy ra b 2 x

Ta có:C = b3 a3 6b2 a29b = (2x)3 (1 x)3 6(2x)2 (1 x)29(2x)

= x3 2x2x = x x(  1)20 (vì x  0).

Đẳng thức xảy ra  x = 0 hoặc x = 1 tức a = 1, b = 2 hoặc a = 0, b = 3 Vậy C 

0

Bài 10: Cho a b c 3   Chứng minh rằng: A = a2b2c2ab bc ca  6

Nhận xét: Dự đoán rằng đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

= (1x)2(1y)2(1 x y )2(1x)(1y) (1 y)(1 x y ) (1  x y )(1x)

= x2xy y 26 = x y y

2 2

3 2

Đặt:

b+c=x c+a= y a+b=z

Hay b+c a + b

c+a+

c a+b ≥

Một tích gồm các thừa số viết theo quy luật từ thừa số đầu tiên đến thừa

số cuối cùng ,gọi là tích hữu hạn

VT < 2 nên ta làm trội xuống như sau:

b)Để Chứng minh BĐT: B < m , trong đó vế trái B là tổng hữu hạn(hoặc

tích) nhưng ta không tìm được cách để tính Ta phải biến đổi B < B 1 (làm

trội lên) mà B 1 là tổng (hoặc tích hữa hạn) mà ta tính được.

Bài 15: Với n là số tự nhiên và n  1 C/m :

Với điều kiện M  P Chứng minh A B

Ta chứng minh phụ sau : (A- B) + (P-M)  0 (*)

Vì x2 + y2- x – y  0  2-x-y  0  x + y  2,.Dấu “=” khi x=y = 1.

Bài 17: Cho x ; y là hai số dương thỏa : 2x+ 2y = 3 Chứng minh :

3 2

Bài 18: Cho a+b  1 Chứng minh :

Giải : Giả sử cả 3 bất đẳng thức đều đúng, nhân từng vế ta được



(1)

tương tự b( b-1) 

1 4



(2) , c( 1-c)

1 4



(3)

- Giá trị biến để dấu bằng trong các BĐT trên xảy ra ta gọi là “điểm rơi”

II./ Một số kỹ thuật biến đổi để giải bài toán.

II.1: Kỹ thuật dự đoán điểm rơi.

Đối với bài toán mà vai trò các biến như nhau thì điểm rơi xảy ra khi các biến

II.2 Kỹ thuật tham số hóa

-Trong chứng minh bất đẳng thức đối với các biến vai trò như nhau ta thường dựđoán điểm rơi để tách và triệt tiêu biến Đối với bất đẳng thức hoặc bài toán cực trị mà vai trò các biến không bình đẳng thì việc xác định điểm rơi không hề dễ.Có kỹ thuật giải quyết là “Tham số hóa”

Kỹ thuật đơn giản như sau Trong bài cực trị 2 biến x;y có vai trò khác nhau ta đặt x = ty sau đó thay vào GT của bài toán ta tính biến y theo t.

Tiếp tục thay vào biểu thức ta tìm cực trị 1 biến

Bài 2:Cho các số thực dương a;b thỏa mãn: ab a b    a b Tìm GTNN của P

= a+b

Giải:

Với a>b>0 , đặt a=tb (t > 0) thay vào ĐK:  

1 ( 1)

t tbb tb b tb b b

II.3 Kỹ thuật khai thác GT

Nhiều bài toán cực trị , biểu thức của đề cho bí trong biến đổi, ta cần khai thác

GT để biến đổi biểu thức cần tìm cực trị

Bài 3: Cho a;b;c dương thảo điều kiện a+b+c = 2 Tìm GTLN của

Q= 2a bc  2b ca  2c ab

Nhận xét đề bài:

Vì GT cho các số dương  rất có thể dùng BĐT cô si

Vai trò các biến như nhau  điểm rơi là a=b=c =

2

3 ( vì a+b+c =2) Mỗi số hạng dạng căn thức bậc hai muốn dùng cô si thì dưới căn phải dạng tích,nhưng

2a +bc chỉ còn viết được 1 (2a+bc) , tại điểm rơi thì 2a+bc không bằng 1  kg dùng trực tiếp được  Mấu chốt của bài bằng mọi giá viết 2a +bc dạng tích!!!

Bài 4: Cho x; y là các số dương thỏa mãn (4x +6y +2019) (x-y+3) =0 Tìm

Vậy min P = 2019 khi x = 1 và y = 4

Lời kết: Bất đẳng thức và bài toán cực trị một chuyên đề rất lớn, quan trọng trong học toán Đây là chuyên đề dành cho học sinh giỏi Còn rất nhiều phương pháp giải , nhiều kỹ thuật biến đổi , các em phải biết tự đọc ,

mới là điểm tựa cho các em mà thôi Hãy nhớ rằng “ Mỗi hành động đều xuất phát từ suy nghĩ mà ra” Vì vậy hãy ngẫm nghĩ để hiểu rõ mỗi vấn đề rồi tìm lời giải!

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.Q=  2

2

1

1 1

1 1 1

1 1 1

2 1

x

x x

x x

x x

3 2

1 4

1 2 3

2 2

1 4

1 1

3

1 4

Vậy y = 1 là một giá trị của Q

Nếu y 1 để phương trình có ngiệm thì

Ta đã biết (a-b)2  0   (a+b)2  2(a2 + b2) dấu = khi a = b

Vậy ta áp dụng có bài giải

MaxA = 2 khi x1 y 2  x – 1 = y – 2 = 4 – x – 2 = 2 – x hay x =

3

2 ; y=

5

2

Cách 3:Nhiều bài toán cực trị của biểu thức vô tỷ( tức là biểu thức có chứa căn thức), bằng cách đặt mỗi căn thức bằng biến mới ta đưa biểu thức về hữu tỷ ( gọi là PP hữu tỷ hóa)

+Tương tự ta có nhiều cách giải khác.

; 4

x y