on thi vao lop 10 chuyen de mot so dang toan ve PTBH- he thuc vi-et

Tiết 35-44 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRèNH BẬC HAIVÀ HỆ THỨC VIẫT.. CễNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI CễNG THỨC NGHIỆM THU GỌN CỦA PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI Đối với phương trỡnh: 2 a

Tiết 35-44 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI

VÀ HỆ THỨC VIẫT.

Định nghĩa ph ươ ng trỡnh bậc hai: Phương trỡnh bậc hai là phương trỡnh cú dạng 2

ax + bx + c = 0 trong đú x là ẩn ; a, b, c là những hệ số cho trước và a0

Dạng 1: Giải cỏc phương trỡnh bậc hai dạng khuyết:

2

2

Nếu c = 0: Ph ơng trình có dạng: ax bx 0 đ ợc gọi là ph ơng trình bậc hai khuyết c

Ph ơng pháp giải: Đặt nhân tử chung đ a về ph ơng trình tích

x a Nếu b = 0: Ph ơng trình













2

có dạng: ax c 0 đ ợc gọi là ph ơng trình bậc hai khuyết b

c

a

Nếu a và c trái dấu thì - 0: Ph ơng trình có 2 nghiệm đối nhau x = -

c Nếu a và c cùng dấu thì - 0 : Ph ơn

a

 

Bài 1: Giải cỏc phương trỡnh

2x  3x0 b) 2

4x  30 c) 2

e)

2

2

2

x  2 0 phương trỡnh vụ nghiệm

5

Bài tập về nhà: Giải cỏc phương trỡnh

a) 2

x  3x0 b) 2

4x  420 c) 2

e)

0

Dạng 2: Giải phương trỡnh bậc hai bằng cụng thức nghiệm

CễNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG

TRèNH BẬC HAI

CễNG THỨC NGHIỆM THU GỌN CỦA

PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI

Đối với phương trỡnh: 2

ax bx c 0 (a0)

Đối với phương trỡnh: 2

ax bx c 0 (a0)cú b = 2b’

     4 '

biệt: x1 -b + ; x2 b

1 2

-b

x = x =

2a

1 2

-b'

x = x =

a

Bài 1: Giải cỏc phương trỡnh:

a) 2

2x  x 30 ; b) 2

x 11x 30 0 ; c) 1 2

Hướng dẫn:

2

2

c) 1 2

1 2

2

4

Bài 2: Giải phương trỡnh:

2x  6x 1 0 ; b) 2

c)x 2 3x 6  ; d) 0 2

4x  10x 9  0

Hướng dẫn:

2

a) 2x  6x 1 0 a2; b '3; c1

2

3

  ; c) x1  3 3 ; x2  3 3 ; d) '  0 phương trỡnh vụ nghiệm

Bài tập về nhà:

Bài 1: Giải cỏc phương trỡnh

a) 2

x  2x 3 0 ; b) 2

x 11x 60 0 ; c) 2

x 14x 24 0 ; d) 2

3x  7x 8 0 ; g) 2

5x 6 5x 9  ; h) 0 5x2 10x 5 0

Bài 2: Giải cỏc phương trỡnh:

(x 3) (x 4)  (x 5) 17x 24 d)

2



1

Dạng 3: Một số phương trỡnh quy về phương trỡnh bậc hai.

1 Phương trỡnh trựng phương:

ax bx  c 0 1 , trong đó a, b, c là các số thực cho tr ớc

và a  0 đ ợc gọi

là ph ơng trình trùng ph ơng

tx điều kiện t  0 Khi đú phương trỡnh (1) trở thành: 2

at bt c 0 Giải phương trỡnh bậc 2: 2

at bt c 0

Chọn cỏc nghiệm t thoả món điều kiện t0, cỏc nghiệm t < 0 loại Với t = 2

x  0 x t

Bài 1: Giải cỏc phương trỡnh trựng phương sau:

Hướng dẫn:

 

2

2

2

Ta có a + b + c = 0 suy ra ph ơng trình có 2 nghiệm t = 1 nhận ; t = 4 nhận

Vậy ph ơng trình có 4 nghiệm: x



4

Giải ph ơng trình ta đ ợc hai nghiệm t = 4 nhận ; t 9 nhận

Từ đó tìm đ ợc nghiệm của ph ơng trình x = 2; x = 3



2 Phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu:

Phương phỏp giải: Thực hiện theo 4 bước:

Bước 1: Tỡm điều kiện xỏc định của phương trỡnh.

Bước 2: Qui đồng mẫu thức hai vế của phương trỡnh rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trỡnh tỡm được ở bước 2.

Bước 4: Kết luận (Trong những giỏ trị x tỡm được ở bước 3, giỏ trị x thoả món điều kiện xỏc định của phương trỡnh là nghiệm của phương trỡnh, giỏ trị x khụng thoả món điều kiện xỏc định của

phương trỡnh khụng phải là nghiệm của phương trỡnh và bị loại)

Bài 1: Giải cỏc phương trỡnh sau:

2

2

2

Hướng dẫn:

 

2 2

2

Ph ơng trình 1

1

4 Vậ



 

2 2

1

4

b)

2

c)

2

d)



3 Phương trỡnh tớch, phương trỡnh đưa được về phương trỡnh tớch:

Phương phỏp chung: Sử dụng cỏc phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử để phõn tớch vế trỏi

của phương trỡnh thành tớch (nếu vế trỏi chưa ở dạng tớch), cũn vế phải bằng khụng Từ đú tỡm nghiệm của phương trỡnh ban đầu

Bài 1: Giải cỏc phương trỡnh sau:

   

Hướng dẫn:

2

2

2

b

a Vậy ph ơng trình có 3 nghiệm x = 1, x = -1, x = 4





x 3 0 Ta có a + b + c = 0 Do đó ph ơng trình có hai nghiệm x = 1, x = 3

Vậy ph ơng trình có 3 nghiệm: x = 0, x = 1, x = 3

 

2 2

2

2 2

4 Một số phương phỏp khỏc giải phương trỡnh quy về phương trỡnh bậc hai:

Phương phỏp đặt ẩn phụ: Ta thường chọn biểu thức thớch hợp để đặt ẩn phụ Khi đú ta đưa phương

trỡnh về dạng quen thuộc rồi giải

Bài 1: Giải cỏc phương trỡnh sau:

ho





ĐK: x 0, đặt t = x

ĐK: x 0,x -1, đặt t = ặc t =

3 + 5

2

a + b

Ta th ờng đặt ẩn phụ t = x + hoặc t = x + a hoặc t = x + b Từ đó rút gọn đ a về ph ơng trình

2 trùng ph ơng hoặc ph ơng trình tích

Dạng 4: Tỡm điều kiện của tham số để phương trỡnh bậc hai cú nghiệm thoả món điều kiện cho

trước.

Kiến thức cơ bản:

1 Ph ơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt hoặc '  0;

Ph ơng trình bậc hai có nghiệm kép hoặc '  0;

Ph ơng trình bậc hai vô nghiệm  hoặc '  0

 

2 Ph ơng trình bậc hai có 2 nghiệm trái dấu a.c < 0

Ph ơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu

P > 0

S > 0





 





 





hoặc ' 0

Ph ơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm P > 0

S < 0



 





2

3 Định lí Viét: Nếu x và x là hai nghiệm của ph ơng trình bậc hai ax bx c 0 thì tổng và

- Khi cho một nghiệm của ph ơng trình bậc hai, ta có th

ứng dụng:

2

2

ể tính đ ợc nghiệm còn lại từ hệ thức Viét

c

- Nhẩm nghiệm: Nếu a + b + c = 0 thì ph ơng trình bậc hai ax + bx + c = 0 có hai nghiệm: x 1; x

a Nếu a - b + c = 0 thì ph ơng trình bậc hai ax + bx + c =

c

a

2

4 Định lí Viét đảo tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

u + v = S Nếu hai số u và v có tổng và tích lần l ợt là thì hai số u và u là hai nghiệm của ph ơng trình

u.v = P







kiện để tồn tại hai số u và v là: S 4P

- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

- Tìm ph ơng trình bậc hai nhận hai số u và v là hai nghiệm của ph ơng trình đó

ứng dụng:



Bài 1: Cho phương trỡnh bậc hai ẩn số x: 2 2

x  2x m  40 (m là tham số) a) Chứng tỏ rằng phương trỡnh đó cho luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi giỏ trị m

b) Gọi x ;x1 2là hai nghiệm của phương trỡnh đó cho Tỡm m để: 2 2

1 2

c) Giải phương trỡnh khi m2

Hướng dẫn:

mọi giỏ trị m

Sx x 2 ;Px x m  4

c) m = -2, ta giải phương trỡnh 2

x  2(m 1)x m  4m 5 0 (m là tham số) a) Định m dể phương trỡnh cú nghiệm

b) Gọi x ;x1 2là hai nghiệm của phương trỡnh Tớnh 2 2

1 2

1 2

Hướng dẫn:

3

Sx x 2(m 1);P x x m  4m5 c)

Bài 3: Cho phương trình: x  4xm 1 0 (1)  (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm bằng 6, khi đó hãy tìm nghiệm còn lại của phương trình b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

c) Gọi x ;x1 2là hai nghiệm của phương trình đã cho Tìm m để: 2 2

1 2

d) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm x ;x1 2thoả mãn: x1 3x2 0

e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Hướng dẫn:

1

a) Thay x 6 vµo ph ¬ng tr×nh ta ® îc: 36 - 24 + m +1 =0 m = - 13

b

a

b) Kq: m < 3

c) Kq: m = -6

Ta có: 1.3 = m + 1 (vì x x1 2 m 1 ) m2 Vậy m = 2 thì x1 3x2 0

e) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c0 m 1 0 m 1

Bài 4: Cho phương trình 2

x  (m 5)x m 6   0(1) (m là tham số) a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x2 Tìm nghiệm còn lại của p.trình c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệmx ;x1 2thoả mãn 2 2

1 2

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương? Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

Bài 5: Cho phương trình: 2

x  2(m 1)x m 3 0(m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

Hướng dẫn:

nghiệm phân biệt

b) Áp dụng định lí Viét ta có: x1x2 2(m 1) ; x x 1 2 m 3

phương tình có hai nghiệm đối nhau khi: x1x2 2(m 1)  0 m1

 







Bài 6: Cho phương trình 2

x  2(m 1)x m 3 0(m là tham số) a) Giải phương trình khi m = 2

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

c) Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m

d) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là

vµ víi x vµ x lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh ë c©u a

Hướng dẫn:

a) Khi m = 2, ta có phương trình: 2

x  2x 1 0 Giải phương trình ta được x1 1 2 ; x2  1 2

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c) Áp dụng hệ thức Viét ta có: Sx1x2 2m 2 ; P x x1 2 m 3  S2P4

Vậy hệ thức các nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1x22x x1 24

d) 2

x  2(m4)xm  80 (m là tham số) a) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x , x 1 2

b) Tỡm m để x1x2  3x x1 2 cú giỏ trị lớn nhất

Hướng dẫn:

x x 2(m4) ; x x m  8 Khi đú:

1 2 1 2

3

 thỡ biểu thức x1x2 3x x1 2 đạt giỏ trị lớn nhất

Bài 8: Cho phương trỡnh: 2

x  2(m 1)x 3 2m   0 a) Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú hai nghiệm x , x1 2với mọi giỏ trị của m

1 2

x x đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn:

x x (x x )  2x x 4m 12m 10 (2m 3)  1 1 Dấu bằng xảy ra khi m 3

2



2

1 2

x x đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1

Bài 9: Cho phương trỡnh: 2 2

a) Chứng tỏ rằng phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt x ;x1 2với mọi m

Hướng dẫn:

b)

2

Bài 10: Với giỏ trị nào của m

3x  5xm0cú cỏc nghiệm x , x1 2 thoả món hệ thức: 6x1x2 0 b) Phương trỡnh 2

x  6xm0 cú cỏc nghiệm x , x1 2thoả món hệ thức: 3x12x2 20

Hướng dẫn:



b) giải tương tự cõu a)

Bài 11: Cho phương trỡnh 2   

a) Chứng tỏ rằng phương trỡnh luụn cú hai nghiệm x ;x1 2với mọi m

A2(x x ) 5x x theo m Tỡm m sao cho A = 27

c) Tỡm m sao cho phương trỡnh cú nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia

Hướng dẫn:

b) 2 2 2

4

lấy (2) trừ (1) ta có 2

1

2

2

Bài 12: Cho phương trình: 2 2

a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm x ;x1 2với mọi m

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x ;x1 2không phụ thuộc vào m

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x ;x1 2thoả mãn: 1 2

2 1

Hướng dẫn:

x x 2m vµ x x (m 1) Rút m theo x ;x1 2

c)