Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 6 bất đẳng thức và giá trị lớn nhất nhỏ nhất lê hoành phò file word

Xét dấu đạo hàm y' hoặc từ bảng biến thiên có kết luận về GTLN, GTNN.. Ngược lại vớihàm nghịch biến... Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xy... Nếu a b thì bất đẳng thức tương đương: cos c

Cho hai dãy số tăng a1a2   a n và b1b2   b n (n 2)

Nếu  1, , ,2 n là một hoán vị của dãy 1, 2, , n thì:

Nếu hai dãy: a1a2   a n ; b1b2   b n

Đối với y ' 0 thì ta có bất đẳng thức ngược lại.

Việc xét dấu y' đôi khi phải cần đến y y'', ''', hoặc xét dấu bộ phận, chẳng hạn tử số của một phân số có

mẫu dương,… Nếu y '' 0 thì y' đồng biến từ đó ta có đánh giá f x'  rồi f x ,…

Lập phương trình tiếp tuyến tại x b : yAx B

Nếu f x Ax B trên K, dấu bằng xảy ra khi x b

Còn nếu f x  Ax B trên K, dấu bằng xảy ra khi x b thì có ngược lại

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Đối với hàm số yf x  trên D Xét dấu đạo hàm y' hoặc từ bảng biến thiên có kết luận về GTLN,

GTNN Nếu cần thì đặt ẩn phụ t g x  với điều kiện đầy đủ của t.

Nếu yf x  đồng biến trên đoạn a b;  thì: min f x  f a  và max f x  f b  Ngược lại vớihàm nghịch biến

Nếu yf x  liên tục trên đoạn a b;  và f x '  0 có nghiệm x i thì:

Bài toán 6.1: Chứng minh các bất đẳng thức:

a) 2sinxtanx3x với mọi 0;

Ta có f t'  tcost2 sint cost t 2 tant

Xét hàm số   11 1

1

n n n n

1'

f x

xy x

Do x, y thuộc 0;1 nên thừa số thứ hai luôn dương, như thế f x'  đổi dấu từ âm sang dương tại y, suy ra y

là điểm cực đại, suy ra f x  f y  0: đpcm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xy

Bài toán 6.6: Cho x y z , , 0 và x y z  1 Chứng minh:

Và có    

2

1 22

Bài toán 6.7: Chứng minh bất đẳng thức:

a) cosb cosa  b a với a, b tùy ý.

Nếu a b thì bất đẳng thức tương đương: cos cos

 , với mọi x 0;3

Tương tự: 4 13 17

y

y y

n n

n n

1 2 1

x

n i i

Ta chứng minh: f n1 x   0, x 0;  Giả sử có số x00;  mà f n1 x0 0 Vì f n1 x liên tục

và có đạo hàm nên tồn tại điểm cực tiểu x1 để: f n1 x1 0,0x1 Ta có

Không mất tổng quát ta giả sử a là số lớn nhất, d là số bé nhất trong 4 số a, b, c, d Ta có:

b c  bc thì:

3

1, , ,

b c  bc thì:

2

176, , ,

b c  b c  thì tương tự lí luận trên:

thỏa 2 tính chất sau đây:

 1 a n1,b n2,c n1,d n1 là 4 số theo thứ tự giảm dần của 4 số

Trở lại bài toán Ta xét hai trường hợp

- Tồn tại 1 trong 3 số, chẳng hạn c, sao cho 1

  Khi đó do điều kiện a b c , , 1, ta phải có hai số âm

và 1 số dương (Nếu ngược lại, giả sử b c , 0 thì ta có a b c      1 1 1 1, vô lý) Giả sử, chẳng hạn

Dấu “=” xảy ra khi a b c d  

Bài toán 6.18: Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x y z  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1

x y

Vậy min y 2 2 2 tại x  1 2.

Bài toán 6.20: Cho các số nguyên dương p, q, n.

a) Tìm giá trị lớn nhất của cos sinp

p q

p q y

  thì cotxtanx0,sin 4x0

Ta có y' ntann 1x1 tan2x n.cotn 1x1 cot2x

Bài toán 6.21: Cho các số thực x, y thỏa mãn x y 34xy2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Suy ra f x  là hàm lõm trên  nên có tiếp tuyến tại mọi điểm luôn nằm dưới đồ thị Tiếp tuyến của

M  khi 2x2 3y2, min M 0 khi y 0.

Bài toán 6.24: Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x32,y z 0

Vậy min P 34, đạt được khi x3 2,y z 0

Bài toán 6.25: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

minPmin f t f 0 18, đạt khi t  0 x1,y1

Bài toán 6.27: Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn:

2

x  

  nên P 25.Dấu đẳng thức xảy ra khi x2,y z 1 hoặc các hoán vị

Vậy min P 25, đạt được khi x2,y z 1 hoặc các hoán vị

Bài toán 6.29: Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Do đó P 5, dấu đẳng thức xảy ra khi a b c  1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −5, đạt khi a b c  1

Bài toán 6.30: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ta có    

1 5

max f t f 3 32;min f t f 2 22 nên 2 P 4.

Vậy max P 4, đạt khi a b c  1

2

Min P  , đạt khi a2,b c 0 hoặc các hoán vị

Bài toán 6.33: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x2y2z2 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

y z x

Nên   2 2 2  2 2 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi x  y z 1

Vậy giá trị lớn nhất của P là 12, dấu = khi x  y z 1

Bài toán 6.34: Cho các số thực x, y, z đều thuộc đoạn 0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Vậy giá trị lớn nhất của P là 9

2, đạt được khi trong ba số a, b, c có nhiều nhất một số bằng 1, các số còn lại

cot  sin 2 cos 2 ,

2 2

Bài toán 6.3: Chứng minh

a) Chuẩn hóa: a b c  3 và dùng tiếp tuyến tại x 1

b) Tiếp tuyến tại 1

Bài toán 6.5: Chứng minh

a b c d   

b) Kết quả 3

10 khi

13