Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 6 - Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất - Lê Hoành Phò - File word | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Dựa vào giả thiết, các quan hệ cho để xác lập hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.. 2..[r]

Cho hai dãy số tăng a1a2   a n và b1b2   b n (n 2)

Nếu  1, 2, ,n là một hoán vị của dãy 1, 2, ,n thì:

Đối với y ' 0 thì ta có bất đẳng thức ngược lại.

Việc xét dấu y' đôi khi phải cần đến y y'', ''', hoặc xét dấu bộ phận, chẳng hạn tử số của một phân số có

mẫu dương,… Nếu y '' 0 thì y' đồng biến từ đó ta có đánh giá f x'  rồi f x ,…

Lập phương trình tiếp tuyến tại x b : yAx B

Nếu f x Ax B trên K, dấu bằng xảy ra khi x b

Khi đó f a 1  f a 2   f a n A a 1a2 a nnB

Trang 2

   

Dấu bằng xảy ra khi a1a2   a n b

Còn nếu f x  Ax B trên K, dấu bằng xảy ra khi x b thì có ngược lại

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Đối với hàm số yf x  trên D Xét dấu đạo hàm y' hoặc từ bảng biến thiên có kết luận về GTLN,

GTNN Nếu cần thì đặt ẩn phụ t g x  với điều kiện đầy đủ của t.

Nếu yf x  đồng biến trên đoạn a b;  thì: min f x  f a  và max f x  f b  Ngược lại vớihàm nghịch biến

Nếu yf x  liên tục trên đoạn a b;  và f x '  0 có nghiệm x i thì:

Nếu f lồi trên đoạn a b;  thì GTLN max f a  ; f b  

và nếu f lõm trên đoạn a b;  thì GTNN

Bài toán 6.1: Chứng minh các bất đẳng thức:

a) 2sinxtanx3x với mọi

x

x x x

Xét hàm số   3sin , 0;

2cos

n n

1'

x  n thì f x  f x 0  1 0

Nếu x00;2n thì f đạt cực tiểu tại đó.

Trang 6

f x

xy x

Do x, y thuộc 0;1 nên thừa số thứ hai luôn dương, như thế f x'  đổi dấu từ âm sang dương tại y, suy ra y

là điểm cực đại, suy ra f x  f y  0: đpcm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xy

Trang 8

Bài toán 6.6: Cho x y z , , 0 và x y z  1 Chứng minh:

3

x y z 

Giả sử

13

x  y z

Bài toán 6.7: Chứng minh bất đẳng thức:

a) cosb cosa  b a với a, b tùy ý.

 Không mất tính tổng quát, giả sử b a

Hàm số f x  cosx liên tục trên a b;  và có đạo hàm f x'   sinx

Theo định lý Lagrange, tồn tại ca b;  sao cho:

Bài toán 6.8: Cho các số thực dương Chứng minh.

Chứng minh rằng:

1 1

111

n

n

n i i

Áp dụng ta có:

1 2

n n

x x x

e e e

x

n i i

Ta chứng minh: f n1 x   0, x 0;  Giả sử có số x00;  mà f n1 x0 0 Vì f n1 x liên tục

và có đạo hàm nên tồn tại điểm cực tiểu x1 để: f n1 x1 0,0x1 Ta có

F a b c d abc bcd cda dab    abcd

Không mất tổng quát ta giả sử a là số lớn nhất, d là số bé nhất trong 4 số a, b, c, d Ta có:

27

F a b c d bc a d ad b c   bc

Nếu

176

027

thì:

31, , ,

 1 a n1,b n2,c n1,d n1 là 4 số theo thứ tự giảm dần của 4 số

Trở lại bài toán Ta xét hai trường hợp

- Tồn tại 1 trong 3 số, chẳng hạn c, sao cho

  Khi đó do điều kiện a b c , , 1, ta phải có hai số âm

và 1 số dương (Nếu ngược lại, giả sử b c , 0 thì ta có a b c      1 1 1 1, vô lý) Giả sử, chẳng hạn

a b2 a c2 a d2 b c2 b d2 c d2 0

Dấu “=” xảy ra khi a b c d  

Bài toán 6.18: Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x y z  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy min y 2 2 2 tại x  1 2.

Bài toán 6.20: Cho các số nguyên dương p, q, n.

a) Tìm giá trị lớn nhất của ycos sinp x qx với 0

p q

p q

p q y

thì cotxtanx0,sin 4x0

Ta có y' ntann 1x1 tan2x n.cotn 1x1 cot2x

Trang 22

Bài toán 6.21: Cho các số thực x, y thỏa mãn x y 34xy2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

A 

dấu = xảy ra khi

12

     

2 2

tại

34

M 

khi 2x2 3y2, min M 0 khi y 0.

Bài toán 6.24: Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x3 2,y z 0

Vậy min P 34, đạt được khi x3 2,y z 0

Do đó dấu đẳng thức xảy ra nên x 2 y2 và y 2 x2

x   

  nên P 25.

Dấu đẳng thức xảy ra khi x2,y z 1 hoặc các hoán vị

Vậy min P 25, đạt được khi x2,y z 1 hoặc các hoán vị

Bài toán 6.29: Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Do đó P 5, dấu đẳng thức xảy ra khi a b c  1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −5, đạt khi a b c  1

Bài toán 6.30: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1sin

Bài toán 6.32: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện: 3a2b2c2ab bc ca  12

max f t f 3 32;min f t f 2 22

nên 2 P 4.Vậy max P 4, đạt khi a b c  1

2

Min P  , đạt khi a2,b c 0 hoặc các hoán vị

Bài toán 6.33: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x2y2z2 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 21

y z x

Dấu đẳng thức xảy ra khi x  y z 1

Vậy giá trị lớn nhất của P là 12, dấu = khi x  y z 1

Bài toán 6.34: Cho các số thực x, y, z đều thuộc đoạn 0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

x 

Bài toán 6.37: Cho hàm số f, xác định trên  và thỏa mãn:

cot  sin 2 cos 2 ,

2 2

a)

3tan

4

a b c

và a b c  1

Trang 36

Hướng dẫn

a) Chuẩn hóa: a b c  3 và dùng tiếp tuyến tại x 1

b) Tiếp tuyến tại

13

Bài toán 6.5: Chứng minh

S 

,

19116

min S 