Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 6 bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất lê hoành phò file word

Nếu ab thì bất đẳng thức tương đương: cos cos1 −.. Không mất tính tổng quát, giả sử ba... Trở lại bài toán... Giả sử, chẳng hạn... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y... Suy ra f x

Cho hai dãy số tăng a1a2   a n và b1b2   b n (n 2)

Nếu  1, 2, ,n là một hoán vị của dãy 1, 2, , n thì:

Nếu hai dãy: a1a2   a n ; b1b2   b n

Đối với y ' 0 thì ta có bất đẳng thức ngược lại

Việc xét dấu y' đôi khi phải cần đến y y'', ''', hoặc xét dấu bộ phận, chẳng hạn tử số của một phân số có mẫu dương,… Nếu y '' 0 thì y' đồng biến từ đó ta có đánh giá f'( )x rồi f x( ),…

Lập phương trình tiếp tuyến tại x=b: y= Ax+B

Nếu f x( ) Ax+B trên K, dấu bằng xảy ra khi x=b

Khi đó f a( )1 + f a( )2 + + f a( )n  A a( 1+a2+ + a n)+nB

Dấu bằng xảy ra khi a1=a2 = = a n =b

Còn nếu f x( ) Ax+B trên K, dấu bằng xảy ra khi x=b thì có ngược lại

Bài toán 6.1: Chứng minh các bất đẳng thức:

a) 2sinx+tanx3x với mọi 0;

+   + 

Xét hàm số ( )

1 1

11

n n n n

1'

xy x

Do x, y thuộc  0;1 nên thừa số thứ hai luôn dương, như thế f'( )x đổi dấu từ âm sang dương tại y, suy ra y

là điểm cực đại, suy ra f x( ) f y( )=0: đpcm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x= y

Bài toán 6.6: Cho x y z , , 0 và x+ + =y z 1 Chứng minh:

Bài toán 6.7: Chứng minh bất đẳng thức:

a) cosb−cosa  −b a với a, b tùy ý

Nếu ab thì bất đẳng thức tương đương: cos cos

1

− Không mất tính tổng quát, giả sử ba

Hàm số f x( )=cosx liên tục trên  a b; và có đạo hàm f '( )x = −sinx

Theo định lý Lagrange, tồn tại c( )a b; sao cho:

x

=+

Theo định lý Lagrange, tồn tại c(x x; +1) sao cho:

arctan 1 arctan 1'

f = nên tiếp tuyến tại x =1 là:

+

Tương tự: 4 13 17

y

y y

n n

n i i

n n

x x x

1 2 1

x

n i i

Ta chứng minh: f n+1( )x   0, x ( )0; Giả sử có số x0( )0; mà f n+1( )x0 0 Vì f n+1( )x liên tục

và có đạo hàm nên tồn tại điểm cực tiểu x1 để: f n+1( )x1 0,0 x1  Ta có

F a b c d =abc+bcd +cda+dab− abcd

Không mất tổng quát ta giả sử a là số lớn nhất, d là số bé nhất trong 4 số a, b, c, d Ta có:

b + −c b c  thì tương tự lí luận trên:

thỏa 2 tính chất sau đây:

( )1 a n+1,b n+2,c n+1,d n+1 là 4 số theo thứ tự giảm dần của 4 số

Trở lại bài toán Ta xét hai trường hợp

- Tồn tại 1 trong 3 số, chẳng hạn c, sao cho 1

− 

  Khi đó do điều kiện a b c  −, , 1, ta phải có hai số âm

và 1 số dương (Nếu ngược lại, giả sử b c , 0 thì ta có a b c+ +  − + + =1 1 1 1, vô lý) Giả sử, chẳng hạn

Dấu “=” xảy ra khi a= = =b c d

Bài toán 6.18: Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x+ + =y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x y

Khi 0 x 1 thì y  1 2 2−2

Vậy min y =2 2−2 tại x = −1 2

Bài toán 6.20: Cho các số nguyên dương p, q, n

a) Tìm giá trị lớn nhất của y=cosp x.sinqx với 0

p q

p q

p q y

Bài toán 6.21: Cho các số thực x, y thỏa mãn ( )3

A  dấu = xảy ra khi 1

Suy ra f x( ) là hàm lõm trên nên có tiếp tuyến tại mọi điểm luôn nằm dưới đồ thị Tiếp tuyến của

M = khi 2x2 =3y2, min M =0 khi y =0

Bài toán 6.24: Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện:

3 3 3

2 3

x +y +z = + xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x2+2y2+3z2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= 3 2,y= =z 0

Vậy min P = 3 4, đạt được khi 3

Bài toán 6.25: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện:

minP=min f t = f 0 =18, đạt khi t =  =0 x 1,y=1

Bài toán 6.27: Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn:

Suy ra x y , 0 và x2+ y2 =2

Đặt t= +x y Khi đó ( 2 2)

0 t 2 x +y =2 Đặt t= +x y Khi đó ( 2 2)

   nên P 25 Dấu đẳng thức xảy ra khi x=2,y= =z 1 hoặc các hoán vị

Vậy min P =25, đạt được khi x=2,y= =z 1 hoặc các hoán vị

Bài toán 6.29: Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Do đó P  −5, dấu đẳng thức xảy ra khi a= = =b c 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −5, đạt khi a= = =b c 1

Bài toán 6.30: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

max f t = f 3 =32;min f t = f 2 =22 nên 2 P 4

Vậy max P =4, đạt khi a= = =b c 1

2

Min P = , đạt khi a=2,b= =c 0 hoặc các hoán vị

Bài toán 6.33: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x2+ y2+z2 =3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Dấu đẳng thức xảy ra khi x= = =y z 1

Vậy giá trị lớn nhất của P là 12, dấu = khi x= = =y z 1

Bài toán 6.34: Cho các số thực x, y, z đều thuộc đoạn  0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Vậy giá trị lớn nhất của P là 9

2, đạt được khi trong ba số a, b, c có nhiều nhất một số bằng 1, các số còn lại

Bài toán 6.37: Cho hàm số f, xác định trên và thỏa mãn:

(cot ) sin 2 cos 2 ,

2 2

a b c −

và a b c+ + =1

Hướng dẫn

a) Chuẩn hóa: a+ + =b c 3 và dùng tiếp tuyến tại x =1

b) Tiếp tuyến tại 1

Bài toán 6.5: Chứng minh

a= = = =b c d

b) Kết quả 3

10 khi

13