Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng tích phân 1234538

Các tính chất của nguyên hàm 1.. Phương pháp tính nguyên hàm: 1... 1 ; tanx.dxlncosxC cotx.dxlnsinx C VẤN ĐỀ 1 Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Để sử dụng phươ

Trang 1

TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

CHỦ ĐỀ 1 NGUYÊN HÀM

I Định nghĩa:

Giả sử y f x  liên tục trên khoảng  a b, , khi đó hàm số yF x  là một nguyên hàm của hàm số

 

Nếu yF x  là một nguyên hàm của hàm số y f x  thì  f ( x )dxF( x ) C , C ฀

II Vi phân:

Giả sử y f x  xác định trên khoảng  a b, và có đạo hàm tại điểm x a b,

Vi phân của hàm số y f x  là: dy f ' x dx

Quan hệ giữa đạo hàm  nguyên hàm và vi phân:

             

III Các tính chất của nguyên hàm

1 Nếu f x  là hàm số có nguyên hàm thì :   f x dx    f x  ; d  f x dx   f x dx 

2 Nếu F x  có đạo hàm thì: d F x   F x C

3 Phép cộng, phép trừ: f x   g x dx f x dx  g x dx 

4 Phép nhân với một hằng số thực khác 0: kf x dx  k f x dx  , k  0

IV Phương pháp tính nguyên hàm:

1 Phương pháp đổi biến số:

Nếu  f u du F u( )  ( )C và u u x ( ) có đạo hàm liên tục thì: f u x u x dx ( ) '( ) F u x ( ) C

2 Phương pháp từng phần

Nếu hai hàm số uu x  và vv x  có đạo hàm liên tục trên K thì:

           

u x v' x dxu x v x  u' x v x dx

Hay: u.dv u.vv.du

V Nguyên hàm của một số hàm thường gặp

Nguyên hàm của những hàm số

sơ cấp Nguyên hàm số hợp của những hàm Nguyên hàm của những hàm số thường gặp

C

x

dx 



 1 1

1







 dx x C

x

C u

du 



 1 1

1







u

  ax b C

a b ax

1







C b

ax a dx b ax C

x

cos sin



C u

cos sin



a dx b

Trang 2

C x dx

cos

1

2

C x dx

sin

1

2

C u du

cos

1

2

C u du

sin

1

2

a dx b

ax bdxa axbC



cos

1

2

ax bdx a axbC



sin

1

2

 0



x

dx

C e

dx

e x  x 



0 1



a

dx

a

x

 0



u du

C e du

e u  u 



0 1



a

a dx a

u u

 0 ln





a b ax dx

C e

a dx

e axb  axb 

1

ln

x

a

 







V Nguyên hàm mở rộng







x dx

1 ln 2

1 1

1

a x

a x a

dx a









2

1

2

1

2



a

x a

dx a x

arcsin 1

1

x dx

x a

arcsin 1

2

C x

x dx x











1

a x











2

a

x a

x dx x

2

2 2 2 2

2

.

 x a dx x x a a x x2 a2 C

2 2 2 2

2

dx b a

b a dx b a

a

x x x

x

'



x 

ln 1

;

tanx.dxlncosxC cotx.dxlnsinx C

VẤN ĐỀ 1 Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

Để sử dụng phương pháp này cần phải:

+ Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng nguyên hàm cơ bản.

+ Nắm vững bảng các nguyên hàm.

+ Nắm vững phép tính vi phân (phần này học lớp 11)

Cho hàm số: y f x  xác định trên  a b; và có đạo hàm tại x a b;

Vi phân của hàm số trên là: dy f ' x dx

Bài 1 Tìm nguyên hàm F x của các hàm số f x  sau:

3

x

4

Trang 3

x

4 2

3 ln

5

c) F x  x C d)

6

5

sin 5

x

ln 2 ln3

Bài 2 Tìm nguyên hàm F x của các hàm số f x sau: (m là tham số)

3

2

m

2

x

x a

a

Bài 3 Tìm các nguyên hàm sau:

1

9x 12x4dx

3



x



1

3



Bài 4 Tìm nguyên hàm F x của hàm số: f x sin 3x1 biết 0

6

F   

 

cos 3

Bài 5 Tìm nguyên hàm F x của các hàm số f x sau:

x



x





2 2 2

f x

x



Bài 6 Tìm nguyên hàm F x của các hàm số f x  sau:

2

x

1 ( )

sin cos

f x

sin cos

x

f x

a)  x2  dx13 b)  x2 x12dx c) 2 1



1

dx

x

1

3



x

1

x

1

dx

x



Trang 4









 

dx x

x

3

d)   x1 x x1dx e)    dx f)

x

x x

4

3 2 1 2









dx x

x

3

3 2

x

x x

3

4 4

2

x

2x 1 2x1dx



dx x

x 2 2 1

2 3

d)  3x5x2dx e) e3x.3x dx f)   dx

e

e x x

1

3





cos

x





dx e e

e e x x

x x

Bài 10 Tìm nguyên hàm F x  của các hàm số f x với:

a) f x( )x34x5 biết F(1) 3 b) f x( ) 3 5cos  x biết F( ) 2 

( ) x

f x

2

F



 





3 3

2

( )

( 1)

f x

2

x



 

2

( )

f x

3

F

Bài 11.Chứng minh F x  là một nguyên hàm của hàm số f x với:

a) F x( ) (4 x5)e x vàf x( ) (4 x1)e x.



2 2

4 ( ) ln

3

x

F x

x





2 ( )

x

f x

2 2

2 1 ( ) ln

2 1

F x







2 4

( )

1

x

f x

x

d) F x( ) tan 4x3x5 và f x( ) 4 tan 5x4 tan3x3.

Bài 12 Tìm m để F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  với:

a) F x( )mx3(3m2)x24x3 và f x( ) 3 x210x4.

2

( )

x

f x

Bài 13 Tìm a b c, , để F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  với:

a) F x( ) ( ax2bx c ) x24x và f x( ) ( x2) x24x.



2

( )

f x

x

Trang 5

TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093

d) F x( ) ( ax2bx c e ) 2x và f x( ) (2x28x7)e2x.

VẤN ĐỀ 2 Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

 Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = g u x u x ( ) '( ) thì ta đặt t u x ( )dt u x dx '( ) .

Khi đó:  f x dx( ) = g t dt( ) , trong đó g t dt( ) dễ dàng tìm được.

Chú ý: Sau khi tính g t dt( ) theo t, ta phải thay lại t = u(x).

 Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:





2 2

1

dx





2 2

1

dx

Bài 1 Tìm các nguyên hàm sau: (đổi biến dạng 1)

1

x dx

x

x dx



5 2

x dx x





2

3

2

dx x



3 2014 4

4

x dx

1

2 1

x dx



sin cos

x dx x

tan cos

xdx x

tan

2

cos

x

e

dx x

x

x.ln10

dx x



3

x

e dx

x

1



2

4

dx

x



x



1

x dx x







3

dx

dx x

dx

x



dx x





Trang 6

VẤN ĐỀ 3 Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

V ới P(x) là hàm đa thức của x, ta thường đặt như sau:

( ) x

P x e dx

sin

x



x

x e dx



4

x

ln

2

1

dx x



ln cos cos

x dx x



Bài 4 Tìm các nguyên hàm sau: (từng phần 1 lần)

a) x cos xdx b)  12xsin2xdx c)  x1cosxdx d)  1x.e x dx

e) ln(x21)dx f)  23x  .ln x1dx g)   x1.lnxdx h) x.2x dx

Bài 5 Tìm các nguyên hàm sau: (từng phần nhiều lần)

a)  x22x3.sinxdx b)  x2x e2x dx c) d)

4



x

2 2

1

2 ln

1 sin

2

x

2x ln 2xdx



Bài 6 Tìm các nguyên hàm sau: (kết hợp đổi biến và từng phần)

Trang 7

TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093

x

e x

3

1

x

2

sin

1 2

  dx x

x

2

cos 1

Bài 7 Tìm các nguyên hàm sau: (kết hợp đổi biến và từng phần)

dx

x

2











dx x x

2 tan ln 2

2 cot

x

e

3

tan

cos

x

x x x

e

2 cos sin sin

dx e

x sinx cos x 2

cos

Bài 8 Tìm các nguyên hàm sau: (T ừng phần đặc biệt e ax.sinbxdx và e ax.cosbxdx )

2

x x

x

2 sin

3 cos

2

x

e

.sin

x



2

ln x

dx x

2

log

x



1 cos

x

x e dx x



2

x

x e dx

x

ln

x dx





VẤN ĐỀ 4 Tính nguyên hàm của một số hàm số hữu tỉ ( ) ( )

( )

P x

f x

Q x



- Lo ại 1: Nếu bậc của P(x)  bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.

- Loại 2: Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng

của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).

Các dạng dùng phương pháp hệ số bất định thường gặp:

Dạng 1: Mẫu số cĩ nghiệm đơn:

Dạng 2: Mẫu số cĩ nghiệm đơn và bậc 2 vơ nghiệm:



2

D ạng 3:Mẫu số cĩ nghiệm bội:

( ) ( ) ( )

Q x  x a  x a x a



Trang 8

( ) ( ) ( )

Q x  x a  x a  x a x a



- Lo ại 3: Một số nguyên hàm ta dùng phương pháp đổi biến hoặc từng phần

1

4x 3x1dx

1

1dx

1



ln

1

x

C x



1 ln

x

C x





.arctan



arctan

x

C



x

dx



x

dx



x

dx



x

dx





2

x



ln x 4x 3 C

2

dx

2 2

dx

1

x

dx





x

3ln x 1 7 ln x 2 5 ln x 4 C

ln

x

C

x



x

2

3

1

2

1 1

x dx x





x

x x

1

1 7

2 3 2

x dx



2

x

dx

x

 x23x11dx

x

x x x

2

1 3

8 2

2

dx



x 1

1

dx

x dx

 

  dx

x

1

dx x



x x x

x

1 3 3

2

x dx



dx

x dx

1

x x

2

3 2

x

1

1 2

x dx

5

x

dx



1

dx



Trang 9

  2 2

1

1 1

x dx

x x



1

x dx x



x x

1

2 3

2

x

dx

x

1

2

x

dx



x

dx



1

 

x

3 2

x

1

8

3

  dx x

x

3

3 2

















dx x

x

1

x dx

6

dx



1

x

dx





x

1

4

3















dx x

2

1

2

x dx

1

x

dx





2

x

dx



 

2

x dx

2

x

dx



1

x

dx





VẤN ĐỀ 6 Tính nguyên hàm của một số hàm số vô tỉ

+ Dạng 1:       đặt:



ax b

ax b t

cx d







+ Dạng 2:      đặt:

1

+ Dạng 3: f x  R x,n ax b ,m ax b   đặt: tn m. ax b

+ Dạng 4:





2 2

1

dx





2 2

1

dx

Đặt

dx











x acos2t

Đặt

x a b  x dx

sin

3

1

x dx

x



3 1 2





Trang 10

3

d) 2 ln x 1 x 2 C

1

dx

x



dx

1

x dx



1

dx x





2

1

x

C x





2 2

2

ln

C

2

1

x C x



2

1

xdx

dx



2

dx



x

C

3

dx

16x x 4dx

ĐS: a) 2 1 x 3 13  x 6 16  x 6 ln 16   x 1 C

b)

4 2

2

4 2

9

4 2

2

4 2

4

x

x x

4

3 3

x

3 2

1

1 x1dx

dx

1

x dx

x x





x

2

1

x

2 1

x x

x

2 2

1





dx x

1 1

a) x 1x2dx b)  3x1 3x2dx c)x5 1 dx x3 d)   dx

x

3

1

Trang 11

x

x 1

1

x.3 1 dx x 31 dx x x3 1 dx x2

1 x1dx

2

x dx

x x





1

dx



x

dx

2

1

dx

x

2

1 1

2

  dx

x

2 7

3 2

dx

x

x x

3 2

1

x dx

x x

x

1

4 3

2

1

dx

4xx dx



2

4

dx

x 

1 x dx



2

x

dx x

dx

1

dx x

dx



VẤN ĐỀ 6 Tính nguyên hàm của một số hàm số lượng giác

Dạng 1: Các dạng:













Phương pháp giải: Dùng công thức biến đổi thành tổng:

1

2 1

2





cos

n n

axdx







+ Với n lẻ : sinn axdxsinn1ax.sinaxdxsinn1ax.sinaxdx

      Đặt :





n n

sin cos

1 sin

1 2 2

1 2

cos

cosn axdx Phân tích như trên sau đó đặt :usinx

+ Với n chẵn: Sử dụng công thức hạ bậc : ;

2

2 cos 1

2

2 cos 1

Dạng 3 : sinn ax.cosm axdx (n, m  N)

+ Với n lẻ hay m lẻ : n lẻ Đặt u = cosax ; m lẻ Đặt u = sinax

Trang 12

2

2 cos 1

2

2 cos 1

x x

2

1 cos

1

1 cos

1

1 cos

dx ax dx ax



 





 





cos 2 cos

ax



2 sin 2 cos

ax



Cần nhớ:

4







Dạng 5 :

1 sin

1 cos

dx ax dx ax













Phương pháp: 1 sin2 sin 2 Đặt



1 cos2 cos 2 Đặt



1 sin

1 cos

n n

dx ax











sin

n

ax





2

1

sin

n

ax



cos

n

ax





2

1

cos

n

ax



cot

n n

axdx







Phương pháp: + Biến đổi sao cho 2 làm thừa số chung

tan ax

cos

1

ax ax

Dạng 8: 2   Phương pháp: đặt hoặc

2

tan

cos

cot

sin

n n

ax dx ax

n N ax

dx ax











ax

Dạng 9:

dx



Trang 13

2 1 tan

1-dt dx

t

 





Cách 2: Phương pháp riêng: Nếu c a2b2 .

Ta có:

2

x

Trong đó :

Khi đó :

2

tan

2

x





Dạng 10: sin cos

dx





Phương pháp: Phân tích

x d x c

x d x c B A x d x c

x b x a

cos sin

) sin cos ( cos

sin

cos sin











Sau đó dùng đồng nhất thức tìm A, B.

Dạng 11: sin cos

dx



Phương pháp:

Phân tích

n x d x c

C n

x d x c

x d x c B A n x d x c

m x b x a











cos sin cos

sin

) sin cos ( cos

sin

cos sin

Sau đó dùng đồng nhất thức tìm A, B, C.

Dạng 12:

dx



Ta thực hiện theo các bước sau :

+ Bước 1: Sử dụng đồng nhất thức :  

sin sin

1 sin

a b

+ Bước 2: Ta được :

sin 1

dx



-1

dx



1



sin 1

ln

x b

C



* Chú ý: phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau :

sử dụng đồng nhất thức :

dx

sin

a b







Trang 14

sử dụng đồng nhất thức : .

dx

cos

a b







Dạng 13:

dx



* Dùng công thức tổng thành tích biến đổi về dạng 12 rồi giải bình thường

* Chú ý : Phương pháp trên cũng áp dụng cho các dạng tích phân sau :

dx

sin

dx

m





dx









dx



x





dx



+ Biến đổi về dạng :

1

dt



Bài 1 Tính các nguyên hàm sau:

sin xsin 3 x dx

sin x.cos 3xcos x.sin 3x dx



cos sin

1 sin

dx x



cos sin

x dx x



Trang 15

x

sin 4







x

dx

2

cos

8





1

x



x

2

x

2

1

ln cos 3

dx

x

2011 2011 2009

5

sin

x

C x



4024 8046

2011 2011

dx





tan

2 ln

2

x C



tan 2

2

x



x

3 sinxcosx dx





x

C



ln tan

x

C



cos cos

4

dx

x

4



Trang 16

2 ln

cos

4

x

C

x  

  

6 sin

ln

6 3

cos 12

x

C x







cos ln

cos

4

x

x C

x   

  

a) cosx.sin3xdx b) sin2x.sin3xdx c) cos2x.sin2 xdx

d) cos2x.cos5xdx e) sin3x.cos22xdx f) sinx.cos42xdx

a) cosx.sin3xdx b) cos2x.sin2 xdx c) cos22x.sin23xdx

d) cos22x.sin33xdx e) sin4 x.cos33xdx f) cos22x.sin63xdx

2

x

dx

cos 2xdx

sin 3xdx



x

2 4

cos sin

x

6 2

cos

sin

cos22x.sin42xdx  dx

x

4 cos sin 1

x

sin

1

x

sin 1

1

x

2 sin 1

1

x

2

cos sin 1

x

2 cos

1

x

cos 1

1

2

1

dx

x

2

sin

2 cos

x

2

sin

1

x

3 cos

1

x

sin

1

x

sin 1

x

cos

1

x

sin

sin 2x 3.cos 2x dx

dx



x

4

cos

1

x

2 sin

1

x

3 cos

1

6

2012

1 cos

2

dx x



e) cot32xdx f) cot43xdx g) cot6 xdx h)  dx

x

4 6

sin cot

x

2 cos

2 tan

4

6

tan52xdx

x

2

5

cos

tan

x

2 sin

2 cot

2

6

x

3 cos

3 tan

2

2011

x

2 10

sin cot

Trang 17

3

2

tan

2

cos

2

x

dx x

cot sin

x dx x

tan cos

x dx x

cot 2 sin 2

x dx x



sin 2

x dx x

x

1 cos

2

x x

dx x







e) sin2x.esin2x dx f)   dx g) h)

x

2 sin 1

sin 2

x.sin

1

x.sinx2dx  dx

x

cos sin3

x

cos

1

x

3 3

sin

cos

x

2

sin

cot

3

cos sin

x dx x



x

x x

cos 3

1

sin 2

sin

sinx.ecosx dx e2x.sin(e2x)dx cos2x.esin x dx

x

2

cos

1

x x

x

3

2 cos sin

2 cos

sin22xdx cos3 xdx

x

2

cos

1

4

sin

x x

cos sin

2 cos 2 sin 1

x

4 6

sin

cos

x x

x

cos sin 1

2 cos

x

cos

sin

1

x x

x

2 2

sin 4 cos

2 sin







 

dx x x

x

cos sin

4

x

4 6

sin cos

dx

sin

1 cos

x dx x





sin cos

4

dx

sin sin

6

dx



1 3cos

dx x



sin 2

x dx

sin 2

x

dx



dx







2

sin

xdx

dx





2 sin

dx x



dx





sin cos

dx



Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	337,33 KB