Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng tích phân 12 (Phần 2: Tích phân)24109

Phương pháp tính tích phân.. – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho dễ tính hơn... TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093VẤN ĐỀ 1 Tính tích phân bằng cách

Trang 1

TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093

CHỦ ĐỀ 2 TÍCH PHÂN

1 Khái niệm tích phân

 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

F(b) – F(a) đ ược gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là b ( ) :

a

f x dx

a

f x dxF b F a



 Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x dx f t dt f u du F b F a

 Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình

thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: b ( )

a

Sf x dx

2 Tính chất của tích phân

0

( ) 0

f x dx

f x dx  f x dx

kf x dxk f x dx

 b ( ) ( ) b ( ) b ( )

f x g x dx f x dx g x dx

 b ( ) c ( ) b ( )

f x dx f x dx f x dx

 Nếu f(x)  0 trên [a; b] thì b ( ) 0

a

f x dx



 Nếu f(x)  g(x) trên [a; b] thì b ( ) b ( )

f x dx g x dx

3 Phương pháp tính tích phân

( )

( ) '( ) u b ( )

b

f u x u x dx f u du

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b

 K.

b) Phương pháp tích phân từng phần

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b  K thì:

b a

udv uv  vdu

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho dễ tính hơn

b

a

vdu

a

udv



– Khi tính f x dx cần chú ý xem hàm số y = f(x) cĩ liên tục trên khơng ? Nếu cĩ thì áp

b

a

) (

dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho cịn nếu khơng thì kết luận ngay tích phân này khơng tồn tại.

Trang 2

VẤN ĐỀ 1 Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

+ Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.

+ Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: b ( ) ( ) ( )

a

f x dxF b F a



Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:

– Bi ến đổi biểu thức để cĩ nguyên hàm.

– Nắm vững bảng các nguyên hàm.

– Nắm vững phép tính vi phân.

Bài 1 Tính các tích phân sau:

2

1

3 x

x



1

x dx x



1

2 2

4

x

dx x







1

1 1

e

x x

    

1

2

dx x





2

1

e

dx x

 



3ln 2

e  e

2



3

e

2

1

x dx

1

x dx x

1

1 4 3

x





1

x x x dx

1

x x x x dx

dx

x  x



3 3 2 2

2 1 8



5

71 8 2 9 3

7 7 3 3 8

1 2

0

4

2

x

e

dx e





0 2

x x

e dx

1

x





1 2 1 3

0

1

x

dx e

   

1

1 0

2

x x

e

dx e





1

3 0

2015x 1

x dx

e





2

ln 2

e  e

4

1 e

e

2

9e 4e 4e 1

e

2

3 2

3 3

2

1

2015 3

2015 ln ln

x

e e



Bài 4. Tính các tích phân sau:

Trang 3

TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

Trang 3

0

sin 2

6



3

2 sinx 3cosx x dx



0

sin 3x cos 2x dx







3

2

4

3 tan xdx



2

6

2 cot x 5 dx





01 sin

dx x







2

3 3 6

2 18



4



3 3 3

4



4



Bài 5. Tính các tích phân sau:

2

0

1 cos

x dx x







0

sin xcos xdx



6

tanx cotx dx







2

sin

4

sin

4

x dx x





  

  

0

cos xdx



0

tan cos

x dx x





2



8 2 4



  

3 7

3

2

0

cos

3



  





 2

3

1 sinx cosx dx

x





6 3 0

cos xdx





4

0

sin x dx



3 2 4

cos x dx









3

2 6

(tanx cot )x dx







2

01 2sin cos

dx







 3

6

1 cos

2

1 cos

2

x dx x





2

0

sin cosx xdx

VẤN ĐỀ 2 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến

Dạng 1: Giả sử cần tính tích phân: b ( )

a

f x dx

Nếu f x( ) f u x u x ( ) '( ) thì :   ( )

( )

( ) u b ( )

b

f x dx f u du

Dạng 2: Giả sử cần tính tích phân: b ( ) Nhưng tính theo dạng 1 không được, lúc này ta chuyển về hàm

a

f x dx

lượng giác Ta thường gặp các dạng sau:





1

a x dx

dx

 sin

đặt : x cosa t





1

a x dx

dx

 tan

đặt : x cota t

ThuVienDeThi.com

Trang 4

Đặt hoặc đặt





1

x a dx

dx

 sin

a x

cos

a x

t

ĐỔI BIẾN DẠNG 1 Bài 1 Tính các tích phân sau

0

1

x x dx

3 2

0 1

x dx x



01

x dx x





1

xdx

x

0

1

x x dx

0

1

x x dx



420

7 16

4

3

1 3

1 4

Bài 2 Tính các tích phân sau

1

2

xdx

x 

0 1

xdx x



0 1

x dx x





4

2

0

9

x x  dx

dx

x x 

0

2 1

dx x





ln 2

2

3

9 1 2

3

1 9 ln

2 10

15

ln 2

4 

1

x

e dx

e 



1

1 ln

e

xdx x



0

x x

e e

dx

e e







2

1

1 ln

x

dx



x x

e dx

e 

0

sin

x





ĐS: a) lne1 b) 2  c) d) e) f)

2 2 1

2

e e

 ln 2 ln 2   ln 3 ln 2 e1

1

2 ln

2

e

x dx x





1

1 3ln

ln

e

x xdx x





ln 3

3

x

e dx

e 



1

0

x

xe dx

1

x

e dx x



1

ln

e

x dx x



3

1

2 e e 1

2

Bài 5 Tính các tích phân sau :

2

0

sin 2 cos 4 sin

x

dx





0

cos sin

1 sin

dx x





0

sin 2

2 sin cos

xdx







4

2 0

tan

cos

x dx x









 2

2

sin 4 sin 4

x dx x

6 2015

0

cos xsin 2xdx





Trang 5

3

1 ln 2 2

ln 4

2

1

x dx

2

dx

x 2  x2

x dx x

 





2

0 1

xdx dx x





1

2

0

3

1

x

dx x

1 0

1

1 x dx e



1

ln

dx

1

ln 1 ln

dx

ĐỔI BIẾN DẠNG 2 Bài 1 Tính các tích phân sau

1

2

0 1

dx

x



0 4

x dx x



1

4

x x dx



3

2

dx

x 

1

dx

x  x 

xdx

x x 



6

3 3

9



1

2

2 0

1

dx x



0

4x dx

01

dx x





3 1

2

dx



 

dx

1

x dx x





6

4



12



8



1

3 2

dx

x





2 3

2

dx

x x 



2 2 2

2

0 1

x dx x





2

0

2

x xx dx

1

0 1 x2 5

dx

1

2

4 x

dx x



8

3

VẤN ĐỀ 3 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

Trang 6

( )

b

x a

P x e dx

a

P x xdx

a

P x xdx

1

0

x

x e dx

0

.cos





1

ln

e

xdx



1

ln

e

0cos

x dx x



2 3

1

x





2 8 4

 

1

4

1 32

ln

28



ln 2

0

x

xe dx

0

2 x

x e dx

0

sin 2





2

0

sin cos





0

cos





1

ln

e

x xdx



ĐS: a) 2 ln 2 1 b) 5 12 2 c) d) e) f)

e e

4

2

2 3



4

e 

1

ln

e

xdx

1

ln

e

x dx x



2 4

0

cos





3

2

4

tan



1

1 ln

e

x dx



2

0

ln x 1x dx



e

2



0

.sin

x



0

sin 2

x



0

sin 5

x





1

cos ln

e

x dx



1

cos ln

e

x dx

0

1 sin

1 cos

x

e dx x







2

10

e



2

e  



VẤN ĐỀ 4 Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

Trang 7

Dạng 1: Giả sử cần tính tích phân ( ) , ta thực hiện các bước sau:

b

a

I  f x dx

+ Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

I  f x dx f x dx f x dx f x dx

Dạng 2: Giả sử cần tính tích phân ( ) ( ) , ta thực hiện:

b

a

I   f x  g x dx

I   f x  g x dx f x dx g x dx

Cách 2.

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).

Dạng 3: Để tính các tích phân max ( ), ( ) và , ta thực hiện các bước

b

a

I  f x g x dx min ( ), ( )

b

a

J  f x g x dx

sau:

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số ( )h x  f x( )g x( ) trên đoạn [a; b].

Bước 2

+ Nếu h x( )0 thì maxf x( ), ( )g x f x( ) và minf x( ), ( )g xg x( ).

+ Nếu h x( )0 thì maxf x( ), ( )g xg x( ) và minf x( ), ( )g x f x( ).

2

0

2

x dx

0

x x dx

0

2 3

x  x dx



3

2

3

1



2



  

0

2x4dx



2

40 3

1 4

ln 2



4

1

2

x dx

1

4 x dx



1



 



1

0

x x a dx

1

6 9

x  x dx

0

x  x  xdx



ĐS: a) 5 b) c) 0 d) e) f)

2

16

3 3

3 2

a

2

18 3 16 2

2

5  5 

2

0

1 cos 2xdx







0

1 sin 2xdx





2

sin x dx









0

1 cos 2xdx







0

1 cos 2xdx







x a x1 x2 b f(x) + 0 - 0 +

Trang 8

3

6

tan x cot x 2dx



2

cosx cosx cos xdx







ĐS: a) 4 2 b) 2 2 c) 2 d) 4 2 e) 4 2 f) 2 2 g) ln 3 2 ln 2 h) 0

2

0

max x 1, 4x2 dx

0

min 3 , 4x x dx

2

0

min 1, x dx



2

0

max x x dx,

0

max sin , cosx x dx





3 4

0

sinx cosx dx







2

min x x, 3 dx



2

max x , 4x 3 dx



1

x x  x x dx



VẤN ĐỀ 5 Tính tích phân các hàm số hữu tỉ

- Lo ại 1: Nếu bậc của P(x)  bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.

- Lo ại 2: Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng

của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).

Các dạng dùng phương pháp hệ số bất định thường gặp:

D ạng 1:Mẫu số cĩ nghiệm đơn:

( ) ( ) ( ) ( )( )

Q x x a x b x a x b

Q x x a x b x c x a x b x c

D ạng 2:Mẫu số cĩ nghiệm đơn và bậc 2 vơ nghiệm:



2

D ạng 3:Mẫu số cĩ nghiệm bội:

( )

Q x  x a  x a x a



( )

Q x  x a  x a  x a x a



- Lo ại 3: Một số nguyên hàm ta dùng phương pháp đổi biến hoặc từng phần

Trang 9

3

1

dx

xx

dx

x  x

x dx

x  x



1

3

0 1 2

x

dx x



2 1

x dx x



dx

x x



ĐS: a) ln 3 ln 2 b) c) d) e) f)

2



2 ln 2 ln 3 3 10 ln 2

4

9

3

ln 5 3ln 2

4

 

2

1



4



x

1

3

4

dx

x x

0

4 11

5 6



 



ĐS: a) 1 25ln 2 16 ln3  b) 3ln 21ln 53 c)

2 4 13 7 14

3 3 15 6 5

1

ln 2 2

1

dx

x  x 

1

2 0

4 2

x

dx



dx

x  x



1

2 2

dx

x  x

2

1 1

x dx

x x





dx

x  x



2



9

4 ln 3

2

ln 3 3ln 2

3 

1 3

0

1 1

x x

dx x

 



1

3 2

dx



 

2

3 2

dx

 

 



3

0 3 1

x

dx

x

2 2

x dx

x 

2008 1

1 1

x dx







ln 2

2

ln 2

3

9 ln 2 ln 1 2 ln 1 2 ln 2



2

0

1

2 2dx

x  x

2 0

1

x

dx x



0

4

dx x





1

0

1

x x

0

1 1

x x

dx x

 



x dx

x 



2



3 3 3



16



12

2 3





8



2

4 1

1

x x

0

1

4x dx

1

1 1

x dx x







Trang 10

2

0

2

1

x

dx x





x

4 0

( 1) (2 1)





x

99 1

101 0

7 1

2 1

4



8

ln

  

  

2

4 3

9 1 21001

900

1

0

(1 )



x x

4 3 4 1

1

x x

2

10 2



7 1

1

3

x

2 2001

2 1002 1

(1 )

ĐS: a) 1 b) c) d) e) f)

168

1 3ln

4 2

117 41 3

135 12



1001

1 2002.2

2 3

3

1

4

x

dx

x x



x dx

x  x 

x

1

0

5 ( 4)



x

2 5

0(1 )



x

4 1

1 1





x

4 1

1 1

  

  

1 ln 2 1



 x dx

x x

2 2

3

1



x

1 4 6 0

1

x

3 2 3 4

 

1



 

1 5

2 2

1

2014 1007

ln

5



3



1 ln(2 3)



6 3



4

Vấn đề 6 Tính tích phân các hàm số vơ tỉ

+ Dạng 1:       đặt:



 ,m 

ax b

f x R x

ax b t

cx d







+ Dạng 2:      đặt:

1

f x R

x a x b t x a  x b

+ Dạng 3: f x  R x,n ax b ,m ax b   đặt: tn m. ax b

+ Dạng 4: Đặt hoặc:





1

a x dx

dx

 sin ,   

x a t t x a cos , 0t  t 

Trang 11

+ Dạng 5: Đặt hoặc:





1

a x dx

dx

 tan ,   

x a t t x acot , 0t  t 

+ Dạng 6: Đặt

a x dx

a x

a x dx

a x











x acos2t

+ Dạng 7:  x a b  x dx Đặt   2

sin

x  a b a t

1

2

x

1

2



 

x

4

2 0

1

1 1 2





x

8 2 3

1 1





27

3 2 1

2

27

3

3 8

4 2

2 5

2 ln 2

4

 1 ln 3 2    ln 8 3      

2 5

5 3 1 ln

3 12



x x

1 2

0 1



x

4 0

2 1

6

1

0

1

0

 

2 0

1

ĐS: a) b) 2 ln 2 c) ln3 1 d) e) f)

2 12

2

2 15

4 3



x

1

0

1



  

3 0

3

0 3 1



x x

1

3 1

 



x

0

2 ( 1) 1

4 ln 2

3

3 6 ln

9

100 9 ln

54 5



16 11 2 3

 

1

2

0

1

x

2

x

3

4 1

2011

1

3

Trang 12

ĐS: a) 3 2 3 b) c) d) e) f)

ln

1 2

2

3

14077 21 7

4

12 42 ln

3

  

  



ln

x

3

4

1

3



x

1

4

2 5

3

2

x dx

x x 

0

10

x x dx



ĐS: a) 6 b) 3 ln 2 3 c)

2 3

1 15ln

4 7

d) 5 2ln 2 1   1ln 2 e) f)

x

1

0

1

2 ln 1

2

4 1

3 4 2



 x dx

x

6

0 4





x

2 0

2

x x

2

0 3 2

7 2 3 16



1

2

1

2

xx dx

dx dx



1 2

2 0

1 2 1 





x

2014

2

2 2

2 3

dx x





2 2 2

2

0 1

x dx x





ĐS: a) b) c) d) e) f)

16



ln 2   3 1

12 8 8

0

2

1dx

x

3

1

dx x

x

1  

dx

11 x 1dx

dx

x  x

4

1

dx x

x

10

dx

x x

0

2

3 x 1dx

3 4

dx x x

7

0

3 3 1

1

dx x

2

dx

x x 

0 1

dx x





Trang 13

2

0

1

x dx x







2 3 2

dx

x x 

dx

x x 

dx

1

0

1

x x dx

1

1 1

x

dx

x x



dx x





2014

2 0

0

1 x dx



5 4

2 1

12x4x 8dx



VẤN ĐỀ 7 Tính tích phân các hàm số lượng giác

Dạng 1: Các dạng:

sin sin

ax bxdx













Phương pháp giải: Dùng công thức biến đổi thành tổng:

1 cos cos cos cos

2 1 sin sin cos cos

2 1 sin cos sin sin

2





Dạng 2: sin  

cos

n

axdx

n N axdx







+ Với n lẻ : sinn axdxsinn1ax.sinaxdxsinn1ax.sinaxdx

      Đặt :





n n

sin cos

1 sin

1 2 2

1 2

cos

u x

cosn axdx Phân tích như trên sau đó đặt: usinx

2

2 cos 1 cos2ax  ax



2

2 cos 1 sin2ax  ax



Dạng 3 : sinn ax.cosm axdx (n, m  N)

+ Với n lẻ hay m lẻ : n lẻ Đặt u = cosax ; m lẻ Đặt u = sinax

+ Với n và m chẵn: Sử dụng công thức hạ bậc:

2

2 cos 1 cos2ax  ax

2

2 cos 1 sin2ax  ax

x x

2

1 cos

Dạng 4 :

1

1 cos

1

1 cos

dx ax dx ax



 





 





2 cos 2 cos

1 ax 2 ax

2 sin 2 cos

1 ax 2 ax

Trang 14

Cần nhớ:

sin cos 2 sin

4

sin cos 2 cos

4

sin cos 2 cos

4







Dạng 5 :

1 sin

1 cos

dx ax dx ax













Phương pháp: 1 sin2 sin 2 Đặt



1 cos2 cos 2 Đặt



1 sin

1 cos

n

dx ax

n N dx

ax











sin

n

ax





2

1

sin

n

ax



cos

n

ax





2

1

cos

n

ax



Dạng 7: tan  

cot

n

axdx

n N axdx







Phương pháp: + Biến đổi sao cho 2 làm thừa số chung

tan ax

cos

1 tan2  2 

ax ax

Dạng 8: 2   Phương pháp: đặt hoặc

2

tan

cos

cot

sin

n

ax dx ax











ax

utan u cotax

Dạng 9:

.sin cos

dx

a x b x c



Cách 1: Phương pháp chung: Đặt : 2 2

2 1 tan

sin ; cos ; tan

1-dt dx

t

 

 





Cách 2:Phương pháp riêng: Nếu c a2b2 .

Ta có:

2

x

a x b x c c  x   c 

Trang 15

Trong đó :

Khi đó :

2

tan

2

x





Dạng 10: sin cos

.sin cos

dx





Phương pháp: Phân tích

x d x c

x d x c B A x d x c

x b x a

cos sin

) sin cos ( cos

sin

cos sin











Sau đó dùng đồng nhất thức tìm A, B.

Dạng 11: sin cos

.sin cos

dx



Phương pháp:

Phân tích

n x d x c

C n

x d x c

x d x c B A n x d x c

m x b x a











cos sin cos

sin

) sin cos ( cos

sin

cos sin

Sau đó dùng đồng nhất thức tìm A, B, C.

Dạng 12:

sin sin

dx

xa x b



Ta thực hiện theo các bước sau :

+ Bước 1: Sử dụng đồng nhất thức :  

sin sin

1 sin

a b

+ Bước 2: Ta được :

sin 1

dx



-1

dx



1

1  ln sin  ln sin 



sin 1

ln

x b

C



* Chú ý: phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau :

sử dụng đồng nhất thức :

cos cos

dx

xa x b

sin

a b







sử dụng đồng nhất thức : .

sin cos

dx

xa x b

cos

a b







Dạng 13:

sin sin

dx

x 



* Dùng công thức tổng thành tích biến đổi về dạng 12 rồi giải bình thường

* Chú ý : Phương pháp trên cũng áp dụng cho các dạng tích phân sau :

cos cos

dx

x 

sin

dx

m





Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	371,5 KB