Sử dụng phần mềm matlab trong dạy học nội dung nguyên hàm tích phân và ứng dụng chương trình toán lớp 12 ban cơ bản2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤCỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH PELL TRONG CÁC BÀI SỐ HỌC PHỔ THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆPNGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS.. Ngoà

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH PELL

TRONG CÁC BÀI SỐ HỌC PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆPNGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS ĐÀO PHƯƠNG BẮC Sinh viên thực hiện khóa luận: NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC

Hà Nội - 2018

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS ĐàoPhương Bắc Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn và tri ân sâu sắctới thầy - người thầy đã luôn tận tình dẫn dắt tác giả trong quá trình tácgiả thực hiện khóa luận này Thầy là người luôn sát cánh, dành nhiềuthời gian, công sức để nhắc nhở, hướng dẫn và kiểm tra để tác giả có thểhoàn thành khóa luận này Tác giả tin rằng đây là những bước đi chậpchững đầu tiên trong chặng đường học tập còn dài phía trước nhưngcũng là bước đệm quan trọng để tác giả có thể tự bước tiếp Một lầnnữa, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy TS Đào Phương Bắc

Tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến lãnh đạo và các thầy côtrong trường Đại học Giáo Dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội về những kiếnthức, những điều tốt đẹp mà tác giả đã nhận được trong suốt quá trìnhhọc tập tại Trường Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến khoa Sư phạm củanhà trường đã tạo điều kiện giúp tác giả hoàn thành các thủ tục trongquá trình hoàn thành và nộp khóa luận này

Do thời gian và khả năng nghiên cứu có hạn nên khóa luận có thểcòn nhiều sai sót vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp ý và nhậnxét quý báu của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận cóthể hoàn thiện hơn Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng gửi về email:nguyenthibichngoc1703vn@gmail.com Xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2018

Nguyễn Thị Bích Ngọc

Mục lục

1.1 Đồng nhất thức Brahmagupta-Fibonacci 41.2 Bổ đề Dirichlet 5

2.1 Định nghĩa phương trình Pell 72.2 Sự tồn tại nghiệm và công thức nghiệm 7

3.1 Định nghĩa phương trình Pell âm 143.2 Sự tồn tại nghiệm và công thức 14

4 PHƯƠNG TRÌNH PELL CHỨA THAM SỐ 20

5 MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP ÁP DỤNG 245.1 Một số ví dụ 245.2 Bài tập áp dụng 31

= 1 đã được nghiên cứu từ 400năm trước Công nguyên Kết quả là những người Ấn Độ đã tìm ra cáchgiải phương trình Pell (ít nhất là đối với phương trình x2

−61y2

= 1)trước 500 năm so với người Châu Âu (chẳng hạn P Fermat, J Wallis,

W Brounker) Chính J Pell đã sửa chữa bản dịch tiếng Anh của một sốcuốn sách vào quãng năm 1660 và thảo luận lời giải của W Brounker chophương trình này Vì thế mà L Euler đã nhầm lẫn khi gọi đó là phươngtrình Pell Lý thuyết chung về phương trình Pell dựa trên phân số liêntục đã được phát triển bởi J L Lagrange vào quãng năm 1766-1769.Hiện nay, trong các đề thi học sinh giỏi và các đề thi Olimpiad thườngxuất hiện các bài toán số học có liên quan đến phương trình Pell hoặcphương trình kiểu Pell Chính tính hấp dẫn của vấn đề cùng với việcmong muốn được giới thiệu tới các bạn sinh viên ngành sư phạm Toánhọc của trường Vì vậy, tác giả đã có thêm động lực để nghiên cứu đềtài và chọn đề tài là: "Ứng dụng của phương trình Pell trong các bài sốhọc phổ thông" dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy TS Đào PhươngBắc

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của khóa luận này là trình bày những hiểu biết cơbản về phương trình Pell và những biến thể của nó Ngoài ra tác giảcòn đưa ra một số ví dụ về bài tập số học liên quan đến phương trìnhPell xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi và một số bài tập áp dụng

lý thuyết phương trình Pell trong cuốn sách Edward, J.Barbeau, Pell’sEquation, Problem Books in Mathematics (2003)

3 Đối tượng nghiên cứu

- Lý thuyết cơ bản về phương trình Pell

- Các bài tập số học liên quan đến phương trình Pell xuất hiện trongcác đề thi học sinh giỏi cũng như trong các đề thi toán Olimpiad

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phương trình Pell

- Nghiên cứu các bài tập số học liên quan đến phương trình Pell

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc giáo trình, tài liệu liên quanđến phương trình Pell và các bài tập số học

- Phương pháp tổng kết lý luận: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáotrình tổng kết được những lý thuyết cơ bản về phương trình Pell đồngthời tổng kết được một số bài tập số học tiêu biểu liên quan đến phươngtrình Pell

6 Ý nghĩa khoa học thực tiễn

Khóa luận này có thể làm tài liệu tham khảo các sinh viên chuyênngành sư phạm Toán đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho đốitượng là các giáo viên phổ thông và các bạn học sinh

7 Cấu trúc khóa luận

Cụ thể trong khóa luận này, tác giả đề cập đến phương trình Pell,liên hệ nó với xấp xỉ Diophantine Ngoài ra, tác giả thảo luận vài điểm

về tính giải được của phương trình Pell âm Để chỉ ra phương trình Pell

là giải được, tác giả sử dụng Bổ đề Dirichlet nổi tiếng về xấp xỉ một số

vô tỷ bởi những số hữu tỷ Tiếp đến tác giả trình bày cách dùng đồngnhất thức Brahmagupta-Fibonacci để dẫn ra công thức truy hồi củanghiệm (được trình bày trong chương 1 và 2) Khác với phương trìnhPell (dương): x2 −dy2

= 1 mà ta đề cập ở trên, phương trình Pell âm

x2

−dy2 = −1 và phương trình Pell chứa tham số x2

−dy2

= m không phảibao giờ cũng có nghiệm Chương 3 và 4 dành cho việc nghiên cứu nhữngcâu hỏi kiểu này Đặc biệt xem như ứng dụng, chương 5 của khóa luậnnhằm tìm hiểu một số bài tập số học Trung học Phổ thông xuất hiệntrong các đề thi học sinh giỏi liên quan đến phương trình Pell

Khóa luận được trình bày trong năm chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Phương trình Pell dương

Chương 3: Phương trình Pell âm

Chương 4: Phương trình Pell chứa tham số

Chương 5: Một số ví dụ và bài tập áp dụng

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trước hết chúng ta đề cập đến đồng nhất thức Brahmagupta-Fibonaccisau đây mà ta sẽ cần đến khi thiết lập công thức truy hồi cho phươngtrình Pell Thêm vào đó bổ đề Dirichlet sẽ được dùng để chứng minh sựtồn tại nghiệm

[0, 1] = B1∪ ∪ Bq,trong đó Bi = [

∣(t1−t2)α − ([t1α] − [t2α])∣ ≤ 1

q,kéo theo

∣α − [t1α] − [t2α]

t1−t2 ∣ ≤

1q(t1−t2)

∣α − m

n∣ ≤

1

qn, với n ≤ q.

Vậy, với q là số nguyên dương tùy ý, tồn tại m, n ∈ Z , n ≤ q ∈ Z+ saocho:

) ∈A Suy ra mâu thuẫn với giả thiết Vậy Bổ đề được chứngminh

Nhận xét : Ở chương sau chúng ta sẽ tìm hiểu áp dụng của Bổ đềnày vào việc chứng minh tính chất tồn tại nghiệm của phương trìnhPell Ngoài ra theo hiểu biết của tác giả, đây là tình huống đầu tiênP.G.L.Dirichlet sử dụng nguyên lý "nhốt thỏ vào lồng" nổi tiếng củamình

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH PELL DƯƠNG

2.1 Định nghĩa phương trình Pell

Định nghĩa 2.1.1 Phương trình có dạng

x2−dy2 = 1, (2.1)trong đó d là một số nguyên dương nào đó được gọi là phương trình Pell

Ở đây ta chỉ xét nghiệm của phương trình là cặp nghiệm (x, y) trong đó

x, y là các số nguyên dương

2.2 Sự tồn tại nghiệm và công thức nghiệm

Định lý 2.2.1 (Về sự tồn tại nghiệm, xem [4, Định lý 5.5, trang 129]).Phương trình nguyên (2.1) có nghiệm nguyên dương (x, y) khi và chỉ khi

d không là một số chính phương

Chứng minh Trường hợp 1 : d là một số chính phương có dạng d = m2,khi đó phương trình Pell (2.1) có dạng

x2−m2y2 = 1,kéo theo

(x − my)(x + my) = 1

Do đó (x, y) = (1, 0) là nghiệm nguyên duy nhất, không là nghiệm nguyêndương.

Trường hợp 2 : d không là một số chính phương, ta cần chứng minh tồntại cặp (x, y) là nghiệm của phương trình (2.1)

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.2 Tồn tại vô hạn cặp số nguyên dương (x, y) sao cho

∣x2 −dy2∣ <1 + 2

√d

Chứng minh Từ Bổ đề 1.2.1 Dirichlet suy ra tồn tại vô hạn cặp sốnguyên dương (x, y) thỏa mãn

∣

x

y −

√d∣ < 1

y2,kéo theo

∣x − y

√d∣ < 1

y.Mặt khác ta cũng có

0 < ∣x

y −

√d∣ + 2

√

d < 1

y2 +2

√d,

kéo theo

0 < ∣x

y +

√d∣ < 1

y2 +2

√d

Vậy Bổ đề được chứng minh

Quay lại chứng minh định lý Từ Bổ đề trên suy ra tồn tại vô hạncặp số nguyên dương (x, y) sao cho

∣x2 −dy2∣ <1 + 2

√d

Suy ra tồn tại số k ∈ [−1 − 2

√

d, 1 + 2

√d] ∖ {0} để có vô hạn cặp số nguyêndương (x, y) thỏa mãn

2 Phương trình Pell tồn tại nghiệm nguyên dương nhỏ nhất (x, y) =(a, b), trong đó b là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho 1 + db2 là một sốchính phương

Ví dụ 2.2.4 1 Phương trình x2−2y2

= 1 có vô số nghiệm nguyên khôngâm

2 Xét hai dãy số (xn), (yn) xác định bởi:

x1 =3, y1 =2, xn+1 = 3xn+4yn, yn+1 = 2xn+3yn, với n = 1, 2, ,hay biểu thị ở dạng ma trận bởi:

(2): Giả sử (x, y) là một nghiệm nguyên dương nhỏ nhất (theo nghĩax+y nhỏ nhất) không có dạng (xn, yn).Vậy theo chứng minh (1) thì (x′

=3x − 4y, y′

= 3y − 2x) cũng là một nghiệm của phương trình x2

−2y2

=1.Nhận thấy (x′, y′

) cũng là một nghiệm của phương trình x2

Từ ví dụ trên ta nhận thấy công thức nghiệm tổng quát của phươngtrình Pell còn có thể biểu diễn thông qua phép nhân ma trận Sau đây tatrình bày dạng khác của công thức nghiệm thông qua các hệ thức truyhồi của dãy số

Định lý 2.2.5 (Công thức nghiệm của phương trình Pell) Giả sử (a, b)

là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell (dương):

x2−dy2 = 1, d ∈ Z+, (2.3)

(hay b là số nguyên nhỏ nhất sao cho 1+db2 là chính phương) Tập tất cảcác nghiệm nguyên dương của phương trình (2.3) được cho bởi hệ thứctruy hồi:

λ2 = a − b

√d

√

d, d2

= −12

√d)n+ (a − b

√d)n

yn =(a + b

√d)n+ (a − b

√d)n

2√d ,Kéo theo

Nhận thấy từ công thức truy hồi {xn}, {yn} là dãy tăng các số nguyêndương Do đó (xn, yn) là các nghiệm nguyên dương của phương trìnhPell.

Đảo lại, giả sử (xn, yn) là một nghiệm dương tùy ý, ta chứng minh tồntại n ∈ Z+ sao cho

x + y

√

d = (a + b

√d)n =xn+yn

√d

Trái lại kéo theo tồn tại m ∈ Z+ sao cho

(a + b

√d)m < x + y

√

d < (a + b

√d)m+1.Nhân các vế của bất đẳng thức trên với (a − b

√d)m

>0 thu được

1 < (x + y

√d)(a − b

√d)m < a + b

√d

Mặt khác (a − b

√d)m

= xm−ym√d, suy ra 1 < u + v√d < a + b√d, trongđó

xm >

√

dym.nên xxm > dyym Do đó u > 0 Vì u + v

Nhận xét 2.2.6 1 Từ chứng minh trên chúng ta đưa ra thêm hai côngthức nghiệm mới cho phương trình Pell:

√d)n+ (a − b

√d)n

yn =(a + b

√d)n+ (a − b

√d)n

2√d ,

√

d = (a − b

√d)n.với (a,b) là nghiệm cơ bản

2 Các nghiệm (xn, yn)thỏa mãn điều kiện xấp xỉ cho trong Bổ đề let:

Chương 3

PHƯƠNG TRÌNH PELL ÂM

Định nghĩa 3.1.1 Phương trình Pell loại 2 (âm) là phương trình códạng:

x2 −dy2 = −1, d ∈ Z+.Nhận xét 3.1.2 1 Ta chỉ xét các nghiệm nguyên dương của phươngtrình này, và d không là một số chính phương

2 Nếu d có ước nguyên tố dạng p = 4k + 3, thì phương trình vô nghiệmvì

x2+1 = dy2p + 4k + 3,kéo theo x2 ≡ −1 (mod p), kéo theo xp−1 ≡ (−1)2k+1 ≡ −1 (mod p) Điềunày mâu thuẫn với Định lý Fermat nhỏ

3.2 Sự tồn tại nghiệm và công thức

Định lý 3.2.1 Nếu d là một số nguyên tố, thì phương trình Pell âm cónghiệm khi và chỉ khi d ≠ 4k + 3

Chứng minh Ta chỉ còn phải chứng minh nếu d ∈ P, d ≠ 4k+3 thì phươngtrình Pell âm có nghiệm

Trường hợp 1 : d = 2 Phương trình x2−2y2 = −1 có nghiệm (x, y) = (1, 1).Trường hợp 2 : d ≡ 1 (mod 4) Xét phương trình Pell liên kết với phươngtrình Pell âm nói trên:

x2−dy2 = 1,

và xét nghiệm (a, b) nhỏ nhất của phương trình này:

a2−db2 =1 (3.1)Nếu a chẵn, thì b lẻ, suy ra b2

≡ 1 (mod 4), suy ra db2

≡ 1 (mod 4).Điều này mâu thuẫn với việc db2

Nếu (3.3) xảy ra, thì v2−du2

= 1 Đây là một nghiệm nhỏ hơn của phươngtrình Pell, kéo theo mâu thuẫn Do đó trường hợp này không xảy ra Nếu(3.2) xảy ra, thì phương trình Pell âm có nghiệm (u, v)

Định lý 3.2.2 (Điều kiện để phương trình Pell âm có nghiệm, xem [4,Định lý 5.8]) Gọi (a, b) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell liênkết với phương trình Pell âm x2

−dy2 = −1 Khi đó phương trình Pell âm

có nghiệm khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm nguyên dương:

Hơn nữa, hệ phương trình (3.4) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duynhất và nghiệm duy nhất đó chính là nghiệm cơ bản của phương trìnhPell âm:

a + b

√

d = (u + v

√d)2,

là nghiệm cơ bản của x2

⎞

⎠,

cũng vét tất cả các nghiệm của phương trình Pell âm, trong đó (u, v)(tương ứng, (a, b)) lần lượt là nghiệm cơ bản của phương trình Pell âm(tương ứng, phương trình Pell)

Định lý 3.2.5 (xem [7, p 921]) Giả sử d ≡ 1, 2 (mod 4) là một sốnguyên không chính phương Khi đó phương trình Pell âm có nghiệm

nếu và chỉ nếu x0 ≡ −1 (mod 2d) trong đó (x0, y0) là nghiệm cơ bản củaphương trình Pell liên kết x2−dy2 = 1.

Chứng minh Nếu x2−dy2 = −1 có nghiệm cơ bản (a0, b0), thì nghiệm cơbản của x2 −dy2

−1 = s2, kéo theo

s2

−dr2 = −1 và phương trình Pell âm giải được

Nhận xét 3.2.6 (xem [4, Bài 5.7, p 157]) Phương trình Pell âm x2

−34y2 = −1 không có nghiệm nguyên dương

Chứng minh Phương trình Pell liên kết x2 −34y2 = 1 có nghiệm nhỏnhất là (a, b) = (35, 6) Vậy ta xét hệ phương trình:

Phương trình này vô nghiệm, nên theo định lí 3.2.2, phương trình Pell

âm vô nghiệm

Nhận xét 3.2.7 Tuy nhiên phương trình Pell âm nói trên có nghiệmhữu tỷ (x = 3

Định lý 3.2.8 (xem [8, Định lý 2.4.2, p 20]) Cho p1, p2 là các sốnguyên tố dạng 4k + 1 sao cho (p1

p2) = −1 Khi đó phương trình Pell

âm x2 −p1p2y2 = −1 có nghiệm Hơn nữa nếu p là số nguyên tố dạng8k + 5, thì phương trình Pell âm x2−2py2 = −1 có nghiệm

Chứng minh (1): Làm tương tự định lý 3.2.1, ta có phương trình

a1(a1 +1) = p1p2b21.Vậy ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1 : a1 = p1p2u2, a1 +1 = v2 Thế thì v22−p1p2u2

= 1, dẫn đếnthu được nghiệm nhỏ hơn của phương trình Pell x2

−p1p2y2

= 1, dẫn đếnmâu thuẫn

≡ 1 (mod p1) nếu v không chia hết cho p1) Do đó

−p2v2

= 1 Tương tựnhư trên cũng suy ra mẫu thuẫn

Trường hợp 4 : a1 = u2, a1 +1 = p1p2v2 Khi đó u2 −p1p2v2 = −1, rút raphương trình Pell âm có nghiệm

(2): Làm tương tự như trên ta cũng có a1(a) + 1 = 2pb2

Trường hợp 1 : a1 = 2pu2, a1+1 = v2 Thế thì v22 −2pu2 = 1, dẫn đến thuđược nghiệm nhỏ hơn của phương trình Pell x2−2py2 = 1, dẫn đến mâuthuẫn.

Trường hợp 2 : a1 = 2u2, a1 +1 = pv2 Thế thì pv2−2u2 = 1 Thế thì v lẻ,kéo theo pv2 ≡ 5 (mod 8), kéo theo u chẵn và rút ra mâu thuẫn

Trường hợp 3 : a1 = pu2, a1 + 1 = 2v2 Thế thì 2v2 −pu2

= 1, kéo theo(

2

p) =1 Điều này mâu thuẫn vì p ≡ 5 (mod 8).

Trường hợp 4 : a1 = u2, a1+1 = 2pv2 Khi đó u2

−2pv2 = −1, rút ra phươngtrình Pell âm có nghiệm

−dy2 = −1 và phương trình Pell chứa tham số

x2

−dy2

= m không phải bao giờ cũng có nghiệm Hơn nữa, tập nghiệm

cơ bản của phương trình Pell với m ≠ ±1 còn có thể có hơn một nghiệm,nghĩa là nói chung ta cần xuất phát từ một tập gồm n ≥ 1 phần tử vàdùng n công thức truy hồi mới rút ra được tất cả các nghiệm của phươngtrình Pell nói trên

Định nghĩa 4.0.1 Phương trình Pell chứa tham số là phương trình códạng

x2−dy2 = n, với d không chính phương (n ∈ Z) (4.1)Khi đó dùng đồng nhất thức Brahamagupta-Fibonacci, ta cũng cócông thức kiến thiết nghiệm bằng phép nhân ma trận

Định lý 4.0.2 (xem [4, Định lý 5.10, p 139]) Phương trình (4.1) hoặc

vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm

Tuy nhiên, khác với trường hợp N = ±1, tập nghiệm cơ bản củaphương trình (4.1) có thể có nhiều hơn một phần tử

Để tìm được công thức vét hết các nghiệm của phương trình Pell cótham số n ta cần có các kết quả sau:

Định lý 4.0.3 Xét phương trình Pell với tham số n:

ở đây (a, b) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell loại

I tương ứng với phương trình x2

βi2 ≤ max {nb2;−na

2

d }.Xét m dãy sau đây Dãy thứ i ∶ {xn,i; yn,i}, với i = 1, m được xác địnhnhư sau:

xn+1,i = xn,ia + dyn,ib,

yn+1,i= xn,ib + yn,ia,

ở đây (a, b) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell loại

I tương ứng với phương trình x2 −dy2 = n là:

x2−dy2 = 1