Sử dụng phần mềm maple trong dạy học nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng chương trình giải tích lớp 12 trung họ

Tuy nhiên chưa có nhiều nghiên cứu chuyên sâu về sử dụng PMDH Toán nói chung và phần mềm Maple nói riêng trong dạy học giải toán nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng theo chương tr

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

-  -

NGUYỄN HỒNG HOẰNG

SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG

“NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG” CHƯƠNG TRÌNH GIẢI

TÍCH LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Chí Thành

HÀ NỘI- 2009

MỤC LỤC

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài 6

1.1.3 Đổi mới phương pháp dạy học ở trường THPT 7

1.2.1 Bài toán và một số cách phân loại bài toán 8

1.2.2 Vai trò, chức năng của bài toán trong quá trình dạy học 9

1.3 ứng dụng CNTT-TT trong nhà trường THPT 12

1.3.1 Vai trò của công nghệ thông tin trong nhà trường THPT 12

1.3.2 Tác động của CNTT-TT trong dạy học toán 13

Chương 2: Nghiên cứu một phần thực trạng dạy học và ứng

dụng phần mềm Maple để dạy học giải toán nội dung

2.1 Nghiên cứu thực trạng dạy học chương Nguyên hàm,

2.1.2 Nội dung Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong

các SGK nước ta hiện nay

21

2.1.3 Phân loại các bài toán nguyên hàm, tích phân và ứng

dụng trong chương trình Giải tích PTTH

2.2 Một số nguyên tắc cơ bản khi sử dụng phần mềm Maple

trong dạy học nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

39

2.3 Một số cách thức sử dụng phần mềm Maple trong dạy

học nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

44

2.4 Quy trình thiết kế bài giảng nguyên hàm, tích phân và

ứng dụng có sử dụng trợ giúp của phần mềm Maple

61

2.4.1 Xác định mục tiêu, nội dung kiến thức của Bài giảng và

khả năng áp dụng PMDH

61

2.5 Đề xuất một số ví dụ sử dụng phần mềm Maple trong

dạy học nguyên hàm, tích phân và ứng dụng theo hướng

3.4 Kế hoạch và nội dung thực nghiệm 72

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT

GD&ĐT Giáo dục và Đào tạo

CNTT-TT Công nghệ thông tin và truyền thông

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hiện nay, chúng ta đang chứng kiến sự phát triển như vũ bão của CNTT-TT

Sự ra đời của MTĐT, sau đó là sự ra đời của Internet đã mở ra một kỉ nguyên

mới, kỉ nguyên của công nghệ thông tin và truyền thông Có thể nói

CNTT-TT đã và đang xâm nhập vào mọi lĩnh vực của cuộc sống và trở thành một

công cụ không thể thiếu trong cuộc sống hiện đại Việc ứng dụng CNTT-TT

trở thành xu hướng, là nhu cầu thiết yếu để nâng cao hiệu quả hoạt động của

con người trong bất cứ lĩnh vực nào, đặc biệt trong lĩnh vực giáo dục

Xuất phát từ những ưu điểm về mặt kĩ thuật và tiềm năng về mặt sư phạm

của CNTT-TT mà Đảng và Nhà nước ta đã xác định ứng dụng CNTT-TT trong

giáo dục là một chính sách quan trọng Điều này được thể hiện qua các văn bản

như Chỉ thị số 58 của Bộ chính trị ngày 17/10/2000 về đẩy mạnh ứng dụng và

phát triển CNTT phục vụ cho sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá; Chỉ thị

số 40/CT-TW của Ban chấp hành TW Đảng ra ngày 15/6/2004 về việc xây dựng,

nâng cao chất lượng đội ngũ nhà giáo và cán bộ quản lí giáo dục; Quyết định số

47/2001/QĐ-TTg của Thủ tướng chính phủ ngày 4/4/2001; Chỉ thị số

29/2001/CT- Bộ GD&ĐT ngày 30 tháng 7 năm 2001; Luật GD năm 2005

Những quy định này phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục để giải

quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với thực trạng lạc hậu của

PPDH ở nước ta hiện nay Công cuộc đổi mới này đòi hỏi chúng ta cùng với thay

đổi về nội dung dạy học, cần phải có những đổi mới căn bản về PPDH

Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người xây dựng xã hội công nghiệp

hóa, hiện đại hóa với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nảy sinh và thúc

đẩy cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp học với định hướng đổi

mới là tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, tự

giác, tích cực, sáng tạo

Nghị quyết TW2 (khoá VIII,1997) khẳng định: “Phải đổi mới phương

pháp giáo dục- đào tạo khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành

nếp tư duy sáng tạo cho người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên

tiến hiện đại vào quá trình dạy học”

Luật Giáo dục nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 2005)

quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự

giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp

học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng

kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học

tập cho học sinh”

Tăng cường tính tự giác, sự tích cực trong hoạt độngcủa người học từ lâu

đã trở thành một nguyên tắc của giáo dục Nguyên tắc này bây giờ không mới

nhưng vẫn chưa được thực hiện một cách hiệu quả trong quá trình dạy học

Nhiều tác giả đã nghiên cứu về tính tích cực trong hoạt động học tập của

học sinh Các kết quả nghiên cứu của các công trình này đã bổ sung thêm lý

luận về PPDH và đã có một số ứng dụng vào thực tiễn

Để thực hiện được các mục tiêu giáo dục thì cần sử dụng tốt các PPDH

truyền thống và đồng thời kết hợp với các PPDH không truyền thống như:

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề; Dạy học phân hóa; Dạy học vận dụng

Lí thuyết tình huống Các PPDH này đã và đang đáp ứng được một phần

những yêu cầu được đặt ra, trong đó sử dụng CNTT-TT là một yếu tố không

tách rời

Thành phần chủ chốt của CNTT - TT là MTĐT, trong đó PMDH đóng

vai trò rất quan trọng Như vậy dạy học Toán với sự hỗ trợ của PMDH góp

phần tạo nên môi trường học tập mang tính tương tác cao, giúp HS học tập

hiệu quả hơn, giáo viên có cơ hội tốt để xây dựng các kịch bản sư phạm phù

hợp với đặc điểm nhận thức của HS, phát triển tư duy, nhân cách của HS

Trong dạy học Giải tích 12, nhiều nghiên cứu (Trần Lương Công Khanh

2006, Nguyễn Bá Kim 1995, Nguyễn Chánh Tú 2002) đã chỉ ra chương

“Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng” luôn là một chủ đề khó khăn cho cả

GV và HS Làm sao để học sinh học tập chủ đề này một cách tích cực, chủ

động, sáng tạo, không những hiểu được đầy đủ bản chất khái niệm mà còn

biết vận dụng một cách linh hoạt để giải toán luôn là câu hỏi đặt ra đối với

GV

Ở Việt Nam đã có nhiều nghiên cứu của các tác giả như Trịnh Thanh

Hải, Nguyễn Bá Kim, Đào Thái Lai, Nguyễn Quốc Lân, Nguyễn Chí Thành,

Nguyễn Chánh Tú, Phạm Huy Điển về sử dụng PMDH trong dạy học Toán

nói chung và giải tích nói riêng Tuy nhiên chưa có nhiều nghiên cứu chuyên

sâu về sử dụng PMDH Toán nói chung và phần mềm Maple nói riêng trong

dạy học giải toán nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng theo chương

trình môn toán ở Việt Nam

Xuất phát từ những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận

văn là: Sử dụng phần mềm Maple trong dạy học nội dung “Nguyên hàm, tích

phân và ứng dụng” chương trình Giải tích 12 Trung học phổ thông.

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Đề ra giả thuyết liên quan đến dạy học nội dung nguyên hàm, tích phân

và ứng dụng hiện nay và kiểm chứng bằng thực nghiệm các giả thuyết này

- Xây dựng một số cách thức sử dụng phần mềm Maple trong dạy học

một số bài toán thuộc chương “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng”, chương

trình Giải tích lớp 12 nhằm tích cực hoá HĐ học tập của HS, nâng cao hiệu

quả dạy học môn Toán

- Đề xuất các kiến nghị trong việc sử dụng phần mềm Maple trong dạy

học nội dung nguyên hàm và tích phân

3 Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng phần mềm Maple trong dạy học giải

một số bài toán Nguyên hàm và tích phân của Giải tích lớp 12 - THPT

3.2 Khách thể nghiên cứu: Học sinh lớp 12 và giáo viên dạy môn Toán 12

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục tiêu nêu trên, những nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:

4.1 Hệ thống hóa cơ sở lý luận và thực tiễn của việc khai thác các ứng dụng

của phần mềm vi tính vào nâng cao hiệu quả dạy học môn toán

4.2 Nghiên cứu việc dạy học nội dung nguyên hàm và tích phân trong Giải

tích 12 và thực trạng dạy học chủ đề này ở trường THPT

4.3 Thiết kế một số bài toán ứng dụng Nguyên hàm, tích phân vào hình học

với sự hỗ trợ của phần mềm Maple

4.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và đánh giá hiệu

quả của việc sử dụng phần mềm trên

5 Giả thuyết khoa học

Nếu tổ chức các hoạt động dạy học nội dung “Nguyên hàm, tích phân và

ứng dụng” với sự hỗ trợ của phần mềm Maple theo các cách thức nêu ra trong

luận văn thì sẽ phát huy tính tích cực hoạt động học tập của HS, góp phần

nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, PPDH Toán và

SGK, sách giáo viên, sách tham khảo có liên quan đến đề tài nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu hướng dẫn sử dụng phần mềm Maple trong dạy

học Toán và vào thiết kế bài giảng

- Nghiên cứu các bài báo về khoa học Toán học, Luận văn, Luận án, các

công trình liên quan trực tiếp đến đề tài

6.3 Thực nghiệm sư phạm

Bằng thực nghiệm sư phạm kiểm chứng tính hiệu quả của việc sử dụng

phần mềm hỗ trợ quá trình dạy học môn toán Xử lí các số liệu thực nghiệm

bằng phương pháp thống kê Toán học

7 Đóng góp của luận văn

7.1 Nghiên cứu một phần thực trạng dạy học nội dung nguyên hàm, tích phân

và ứng dụng, chương trình giải tích lớp 12

7.2 Góp phần xác định các cơ sở khoa học của việc sử dụng phần mềm Maple

trong dạy học môn Toán Xác định được các nguyên tắc, quy trình thiết kế và

sử dụng Bài giảng môn Toán với sự trợ của phần mềm Maple

7.3 Xây dựng quy trình dạy học một số bài toán Nguyên hàm và tích phân với

sự trợ giúp của phần mềm Maple Xây dựng một tài liệu tham khảo cho GV

Toán ở trường THPT và sinh viên ngành sư phạm Toán về lý luận dạy học môn

Toán

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung

luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài

Chương 2 Nghiên cứu một phần thực trạng dạy học và ứng dụng phần

mềm Maple để dạy học giải toán nội dung nội dung “Nguyên hàm, tích phân

và ứng dụng”

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học

1.1.1 Đặt vấn đề

Định hướng đổi mới PPDH đã được xác định trong nghị quyết Trung

ương 4 khoá VII (1 - 1993), nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII (12 - 1996),

được thể chế hoá luật giáo dục, cụ thể luật giáo dục nước cộng hoà xã hội chủ

nghĩa Việt Nam đã quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy

tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho

người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí

vươn lên” (Luật giáo dục 2005, chương 1, điều 5)

Những quy định này phản ánh nhu cầu đổi mới PP giáo dục để giải quyết

mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với thực trạng lạc hậu của

PPDH ở nước ta hiện nay Mâu thuẫn này đã làm nảy sinh và thúc đẩy một

cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong ngành GD&ĐT từ một số

năm nay với những tư tưởng chủ đạo được phát biểu dưới nhiều hình thức

khác nhau, như: “lấy người học làm trung tâm”, “phát huy tính tích cực”,

“PPDH tích cực”, “tích cực hoá hoạt động học tập”, “hoạt động hoá người

học” những ý tưởng này đều bao hàm yếu tố tích cực, có tác dụng thúc đẩy

đổi mới PPDH nhằm nâng cao hiệu quả GD&ĐT

Theo Nguyễn Bá Kim [26, tr 112] định hướng cho sự đổi mới PPDH là:

PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho người học tập trong hoạt động và bằng

hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo, được thực hiện độc lập hoặc trong

giao lưu Định hướng này có thể gọi tắt là: học tập trong hoạt động và bằng

hoạt động, hay gọn hơn “hoạt động hóa người học”

1.1.2 Dạy học tích cực hóa người học

Dạy học tích cực hóa người học là PPDH hướng vào việc tổ chức cho

người học học tập trong HĐ và bằng HĐ tự giác, tích cực và sáng tạo, được

thể hiện độc lập và trong giao lưu

Định hướng này còn gọi là học tập trong HĐ và bằng HĐ, hay là: HĐ

hoá người học Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ giữa mục đích, nội

dung và PPDH Nó phù hợp với luận điểm cơ bản của giáo dục học cho rằng:

Con người phát triển trong HĐ và học tập diễn ra trong HĐ

Theo Nguyễn Bá Kim [26, tr.113], định hướng HĐ hoá người học có

những đặc trưng của PPDH hiện đại Bởi vì HĐ hoá người học:

- Xác lập vị trí chủ thể của người học, bảo đảm tính tự giác, tích cực và

sáng tạo của HĐ học tập HS chỉ có thể phát huy được sáng tạo khi họ được

học tập trong HĐ và bằng HĐ

- Xây dựng những dụng ý sư phạm cho HS học tập trong HĐ và bằng HĐ

được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

- Sử dụng những phương tiện hỗ trợ dạy học trong dạy việc học, dạy tự

học thông qua toàn bộ quá trình dạy học

- Chế tạo và khai thác những phương tiện, công nghệ phục vụ quá trình

dạy học

- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân

người học

- Xác định được vai trò mới của người thầy với tư cách người thiết kế, uỷ

thác, điều khiển và thể chế hoá

Như vậy dạy học tích cực hoá người học là phương pháp có thể đáp ứng

được các yêu cầu cơ bản của mục tiêu giáo dục trong thời kỳ đổi mới theo

định hướng XHCN Đó là sự kết hợp giữa tư tưởng và thành tựu giáo dục hiện

đại của thế giới với truyền thống hiếu học, tôn sư trọng đạo và tư tưởng giáo

dục tiến bộ của dân tộc

1.1.3 Đổi mới phương pháp dạy học ở trường THPT

Với định hướng tích cực hoá người học, đổi mới PPDH sẽ thiết thực góp

phần thực hiện mục tiêu giáo dục nói chung hay giáo dục THPT nói riêng, tạo

điều kiện để cá thể hoá dạy học và khuyến khích dạy học phát hiện những

kiến thức trong bài học Từ đó phát triển được các năng lực, sở trường của

từng HS Rèn luyện, đào tạo HS trở thành những thế hệ thông minh, lao động

sáng tạo

Theo Nguyễn Hữu Châu [16] đổi mới PPDH ở trường phổ thông nên

được thực hiện theo các định hướng sau:

- Bám sát mục tiêu giáo dục phổ thông

- Phù hợp với nội dung dạy học cụ thể

- Phù hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh

- Phù hợp với cơ sở vật chất, các điều kiện dạy học của nhà trường

- Phù hợp với việc đổi mới kiểm tra, đánh giá kết quả dạy – học

- Kết hợp giữa việc tiếp thu và sử dụng có chọn lọc, có hiệu quả các

PPDH tiên tiến, hiện đại với việc khai thác những yếu tố tích cực của các

PPDH truyền thống

- Tăng cường sử dụng các phương tiện dạy học và đặc biệt là ứng dụng

CNTT

Như vậy đổi mới PPDH ở trường phổ thông là thay đổi lối dạy học

truyền thụ một chiều sang dạy học nhằm phát huy tính tích cực, tự giác, chủ

động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kĩ

năng vận dụng kiến thức vào những tình huống khác nhau trong học tập và

trong thực tiễn, có niềm vui hứng thú trong học tập

1.2 Dạy học giải toán

1.2.1 Bài toán và một số cách phân loại bài toán

Theo Lê Văn Tiến [38, tr.160], việc phân biệt một cách rõ nét hai khái

niệm bài toán và bài tập là một việc khá khó khăn và phức tạp Hiện nay có ba

quan niệm chủ yếu về các khái niệm này: Bài tập là một trường hợp riêng

của bài toán; bài toán là một trường hợp riêng của bài tập; phân biệt hai khái

niệm bài tập và bài toán Trong khuôn khổ nội dung luận văn chúng tôi quan

niệm bài tập là một trường hợp riêng của bài toán Như vậy trong phạm vi dạy

học toán thì đồng nhất hai khái niệm bài tập và bài toán

Một số tác giả cũng đưa ra cách phân loại bài toán như: bài toán có thuật

giải, bài toán không có thuật giải; bài toán đóng, bài toán mở; loại tìm tòi, loại

chứng minh; bài toán thực tiễn và bài toán toán học Trong dạy học giải toán

về nguyên hàm, tích phân và ứng dụng theo quan điểm của Nguyễn Chí

Thành và Lê Thị Hoài Châu [15, tr 178], chúng tôi chia bài toán thành hai

loại: loại đóng vai trò là đối tượng trong giải toán, loại đóng vai trò là công

cụ trong giải toán

1.2.2 Vai trò, chức năng của bài toán trong quá trình dạy học

Theo Nguyễn Bá Kim [26, tr 384] Bài toán có vai trò giá mang hoạt

động của học sinh Thông qua giải bài toán, học sinh phải thực hiện những

hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy

tắc/phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí

tuệ phổ biến trong Toán học, như vậy mọi hoạt động của học sinh liên hệ mật

thiết với mục đích, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài

toán được thể hiện:

* Đối với mục đích dạy học:

+ Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác

nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn

+ Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành

những phẩm chất trí tuệ

+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm

chất đạo đức của người lao động trong thời đại mới

* Đối với nội dung dạy học:

Bài toán là giá mang những hoạt động liên hệ với những nội dung nhất

định, làm cho bài toán đó trở thành một phương tiện để cài đặt nội dung dưới

dạng những tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho những tri thức

nào đó đã được trình bày trong phần lí thuyết

* Đối với phương pháp dạy học:

Bài toán là giá mang những hoạt động để người học kiến tạo những nội

dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác Khai

thác tốt những bài toán như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập

trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo được thực

hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Theo Lê Văn Tiến [38, tr 176] chức năng chủ yếu của bài toán trong dạy

học Toán là:

- Tạo động cơ (động cơ cho việc tiến hành nghiên cứu đối tượng mới,

động cơ nảy sinh khái niệm mới)

- Hoạt hoá kiến thức cũ

- Phương tiện đưa vào kiến thức mới

- Củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng và hình thành kĩ xảo Toán học

- Phát triển các năng lực và phẩm chất tư duy

- Công cụ chẩn đoán biểu tượng của học sinh về khái niệm

Trong thực tiễn dạy học, bài toán được sử dụng với những dụng ý khác

nhau: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới,

củng cố hoặc kiểm tra đánh giá đặc biệt là về mặt kiểm tra thì bài toán là

phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc

lập và trình độ phát triển của học sinh Như vậy bài toán không tồn tại độc lập

mà nó phụ thuộc vào chủ thể HS, mang tính cá nhân cao

1.2.3 Yêu cầu đối với lời giải bài toán

Theo Lê Văn Tiến [38, tr 183] lời giải của bài toán nói chung cần phải

đạt những yêu cầu sau:

- Lời giải không có sai lầm: lời giải không có sai sót về kiến thức toán

học, về suy luận và tính toán, về kí hiệu và hình vẽ, về trình bày…

- Lập luận phải có căn cứ chính xác: Các bước trong lời giải phải dựa

vào các định nghĩa, định lí, tính chất, quy tắc, công thức … đã học, các giả

thiết đã cho

- Lời giải phải đầy đủ

- Trình bày phải đủ rõ ràng

1.2.4 Phương pháp chung để giải bài toán

Để phát huy tác dụng của bài tập Toán học, trước hết giáo viên cần

trang bị cho học sinh một số tri thức phương pháp, phương pháp giải toán,

phương pháp toán học hóa nhằm rèn luyện và phát triển tư duy khoa học ở

học sinh

Khi dạy giải bài tập toán nói chung thường áp dụng phương pháp của

Polia [33], gồm 4 bước sau:

 Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung

bài toán, phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh; có thể dùng

công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

 Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Phân tích bài toán đã cho để tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy

nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải

chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết,

liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng,

một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng

những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh bằng phản

chứng, quy nạp Toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích

 Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Sau khi xây dựng song chương trình giải, giáo viên giúp học sinh trình

bày lời giải tường minh

 Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Kiểm tra lại xem lời giải có sai lầm hoặc thiếu gì không, nhất là những

bài toán có đặt điều kiện, hoặc bài toán biện luận Nghiên cứu khả năng ứng

dụng kết quả lời giải, đồng thời mở rộng hay lật ngược vấn đề trên

Trên cơ sở 4 bước giải một bài toán của Polya, Lê Văn Tiến [38, tr

187] đề xuất hoạt động giải bài toán theo 5 bước:

* Bước 1: Tìm hiểu bài toán

* Bước 2: Tìm kiếm phương hướng giải (chương trình giải)

* Bước 3: Lựa chọn phương hướng giải và tiến hành giải theo hướng đã

chọn

* Bước 4: Soạn thảo lời giải

* Bước 5: Kiểm tra, đánh giá kết quả và lời giải

1.3 Ứng dụng CNTT-TT trong nhà trường THPT

1.3.1 Vai trò của công nghệ thông tin trong nhà trường THPT

Sự phát triển mạnh mẽ của CNTT đã dẫn tới nhiều cuộc cách mạng trên hầu

hết các lĩnh vực của đời sống xã hội Giáo dục cũng phải chịu sự tác động sâu sắc

bởi những thành tựu của công nghệ thông tin, áp dụng những thành tựu đó để tạo

nên sự phát triển “Hội nghị về giáo dục trong thế kỉ XXI” do UNESCO tổ

chức 10/1998 tại Paris đã đưa ra 3 mô hình giáo dục, trong đó mô hình “tri

thức” là mô hình hiện đại nhất

Bảng: 1.1 Ba mô hình giáo dục

Mô hình Trung tâm Vai trò người học Công nghệ sử dụng

Truyền thống Giáo viên Thụ động Bảng, tivi, radio, đèn chiếu

Tri thức Nhóm HS Thích nghi cao độ MTĐT và Internet

MTĐT đóng vai trò quyết định trong việc chuyển từ mô hình truyền

thống sang mô hình thông tin, sự xuất hiện của mạng máy tính là nhân tố

chính tác động chuyển từ mô hình thông tin sang mô hình tri thức

Theo Đào Thái Lai [27] sử dụng CNTT-TT trong dạy học cho phép tổ

chức và kiểm soát được HĐ của HS không chỉ trên lớp mà còn cả khi HS làm

việc ở nhà, việc kiểm tra đánh giá được thực hiện liên tục thường xuyên, lâu

dài đồng thời tiết kiệm thời gian và kinh phí

CNTT-TT làm cho quá trình dạy học không còn bị ràng buộc bởi thời

gian và không gian, góp phần làm phong phú cách HĐ của chủ thể trong quá

trình dạy học; HS có thể học ở mọi lúc, mọi nơi, học suốt đời Việc học tập

của HS trở nên linh hoạt hơn, uyển chuyển hơn, khoa học hơn; phát huy tối đa

các năng lực của người học tạo cho người học phong cách HĐ độc lập với

mức độ cao Vai trò của giáo viên chuyển từ người cung cấp kiến thức sang

người hướng dẫn HS cách thức khám phá, phát hiện, tìm kiếm tri thức đồng

thời tổ chức, điều khiển quá trình nhận thức của HS

1.3.2 Tác động của CNTT-TT trong dạy học toán

Trong khuôn khổ của luận văn chúng tôi phân tích một số tác động tiêu

biểu của CNTT-TT trong dạy và học toán

Theo Trịnh Thanh Hải [20], Nguyễn Chí Thành [35], CNTT-TT tác động

đến day-học toán ở những khía cạnh sau:

* Hoạt động dạy của GV

- CNTT-TT làm thay đổi vai trò của người GV, CNTT-TT giúp giáo

viên có thể điều chỉnh quá trình học tập của HS

- Sự hỗ trợ của MTĐT với các phần mềm kiểm tra, đánh giá, giáo viên có

điều kiện kiểm soát, điều chỉnh toàn bộ quá trình học tập của HS

- Qua sử dụng MTĐT GV có thể xây dựng các mô hình trực quan

* Hoạt động học của HS

- CNTT-TT tác động trực tiếp đến HĐ của HS để HS có điều kiện hiểu

sâu kiến thức, mở rộng nội dung kiến thức

* Hình thức dạy học

- CNTT-TT tạo điều kiện để GV tiến hành dạy học phân hoá trong quá

trình dạy học toán

- Với sự hỗ trợ CNTT-TT, các hình thức dạy học như dạy học đồng loạt,

dạy học theo nhóm, dạy học cá thể có điều kiện kết hợp một cách hiệu quả,

linh hoạt

* Kiểm tra, đánh giá

- Sử dụng CNTT-TT trong dạy học toán tạo điều kiện thuận lợi để GV

kiểm soát được việc học tập của HS, với từng HS có thể đánh giá và kiểm tra

được ngay tại chỗ, giúp HS tự đánh giá được kết quả học tập của mình để từ

đó điều chỉnh việc học tập của mình

* Môi trường dạy học

- Sự xuất hiện của Internet tạo ra sự thay đổi trong môi trường dạy học,

cách thức trao đổi, tương tác giữa GV và HS trong quá trình dạy- học

- Ứng dụng CNTT-TT trong dạy học toán sẽ tạo ra môi trường dạy học

hoàn toàn mới, hấp dẫn và hỗ trợ đắc lực cho dạy và học toán qua đó góp

phần vào việc đổi mới phương pháp và hình thức tổ chức dạy học Môi

tr-ường dạy học có ứng dụng CNTT-TT góp phần làm tăng tính tích cực của

HS trong quá trình nhận thức

- Sử dụng MTĐT với các phần mềm cho phép GV và HS tạo ra các mô

hình mô tả diễn biến của các đại lượng toán học hoặc tổ chức các thực

nghiệm toán học; thông qua các phần mềm HS có thể đặt ra và kiểm định

giả thiết, HS có thể tiến hành một loạt các hành động như tìm hiểu, khám

phá, phân tích, tổng hợp qua đó rèn luyện phương pháp học tập và thực

nghiệm toán học của chính bản thân

* Rèn luyện năng lực toán học, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo và phát triển

tư duy

- Sử dụng CNTT-TT góp phần rèn luyện kĩ năng, củng cố và ôn tập kiến

thức của HS

- CNTT- TT góp phần rèn luyện, phát triển tư duy toán học

- Với sự hỗ trợ của CNTT-TT trong dạy học toán HS có cơ hội tiếp cận với

các phương tiện hiện đại, có cơ hội hình thành và phát triển các kĩ năng sử

dụng MTĐT, kĩ năng làm việc trong môi trường CNTT-TT

Có thể nói rằng dù có ứng dụng CNTT-TT đến đâu cũng không thể thay

thế hoàn toàn công việc của người GV trong dạy và học toán Việc dạy và học

toán đòi hỏi cao vai trò của người GV đặc biệt là công sức và khả năng sư

phạm của họ Người giáo viên là người tổ chức, điều khiển, tác động lên HS

và cả môi trường tin học như giáo viên phải thiết kế, tạo ra các tình huống dạy

học để HS HĐ với MTĐT

Qua sự phân tích trên, chúng tôi thấy với sự hỗ trợ của CNTT-TTcó thể

khắc phục lối dạy truyền thụ một chiều đồng thời tạo ra môi trường học tập

tương tác nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, phát triển tư duy,

phát triển năng lực của HS Đặc biệt là năng lực giải quyết vấn đề, phát triển

khả năng tự học của HS CNTT-TT góp phần tạo ra các hình thức dạy học

phong phú đa dạng, thay đổi cách thức HĐ của GV và HS, hình thành ở HS

phong cách làm việc mới phù hợp với xu hướng thời đại, trang bị cho HS

nhiều đức tính quý báu cần thiết trong xã hội ngày nay

1.3.3 Phần mềm dạy học

1.3.3.1 Phần mềm dạy học và một số chức năng của phần mềm dạy học trong

dạy học Toán

Theo Nguyễn Vũ Quốc Hưng [22], PMDH là phương tiện chứa chương

trình để ra lệnh cho máy tính thực hiện các yêu cầu về nội dung và phương

pháp dạy học theo mục tiêu dạy học

Theo Nguyễn Bá Kim [25], PMDH có các chức năng sau:

- Chức năng kiến tạo kiến thức

+ Chức năng hình thành biểu tượng như các mô phỏng, mô hình

+ Chức năng minh họa kiến thức: Khi HS đã biết nội dung qua lời nói,

văn tự và kí hiệu khi đó phương tiện dạy học chứa đựng thông tin dưới dạng

hình ảnh, mô hình

+ Chức năng làm mẫu: Mục đích nâng biểu tượng lên thành khái niệm

thì phương tiện dạy học đóng vai trò diễn đạt khái niệm đó

- Chức năng rèn luyện kĩ năng

+ Hỗ trợ rèn luyện kĩ năng sử dụng một công cụ nói chung và phần mềm

nói riêng

+ Rèn luyện kĩ năng thực hiện một HĐ nào đó như mô phỏng hình học

không gian

+ Rèn luyện các thao tác tư duy, các năng lực như: phân tích, tổng hợp,

so sánh, năng lực giải toán, năng lực phát hiện vấn đề

- Chức năng kích thích hứng thú học tập

Thông qua hình ảnh động, âm thanh, mầu sắc, nội dung thông tin như

mô phỏng hiện tượng trong tự nhiên, xã hội, con người có thể gây hứng thú

học tập của HS

- Chức năng tổ chức, điều khiển quá trình học tập

Các phương tiện dạy học đều có chức năng tổ chức và điều khiển quá

trình dạy học đặc biệt là sách giáo viên, các phần mềm vi tính hữu ích

- Chức năng hợp lí hóa công việc của thầy và trò

Phương tiện dạy học có thể hợp lí hóa việc tiến hành một số HĐ của cả

thầy và trò như: trình bày văn bản, trình chiếu bằng Powerpoint

Như vậy trong các chức năng trên, chức năng nào cũng có vị trí quan

trong trong quá trình dạy học có sự hỗ trợ của CNTT-TT nói chung, PMDH

nói riêng Tuy nhiên, theo xu hướng đổi mới PPDH hiện nay cần nhấn mạnh

vào chức năng kích thích hứng thú học tập và tổ chức, điều khiển quá trình

học tập nhằm khắc phục những mặt trái của lối dạy truyền thụ một chiều hiện

nay

1.3.3.2 Giới thiệu một số phần mềm ứng dụng trong dạy học Toán ở trường

phổ thông

Trong những năm gần đây, với sự phát triển của công nghệ thông tin,

nhiều phần mềm hỗ trợ cho việc tính toán đã xuất hiện và ngày càng được

hoàn thiện, nhiều phần mềm tính toán được sử dụng trong giảng dạy Toán

Việc sử dụng các phần mềm tính toán đã đặt ra cho các nhà quản lý giáo dục,

các thầy cô giáo vấn đề cấp thiết là sử dụng chúng như thế nào trong công tác

đổi mới PPDH Toán ở phổ thông Hiện nay có nhiều phần mềm được sử dụng

trong dạy học Toán như: Mathematica, Matlab, Cabri 2D, Cabri 3D, Maple,

GSP, Autograp Tùy theo nội dung dạy học, mỗi phần mềm lại có ưu điểm và

nhược điểm khác nhau

Maple là một trong những phần mềm hoàn thiện trong dạy học Giải tích

vì những lí do sau:

- Maple là hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số; có thể thực hiện

được hầu hết các phép toán cơ bản trong chương trình phổ thông;

- Maple cung cấp các công cụ minh họa hình học thuận tiện như vẽ đồ thị

tĩnh và động của các đường và mặt trong các hệ tọa độ khác nhau;

- Maple có hệ thống giao diện tương đối thân thiện, giúp người dùng có

thể sử dụng dễ dàng phần mềm và cung cấp các thông tin phản hồi;

- Đã có nhiều công trình nghiên cứu giáo dục sử dụng phần mềm Maple

trong dạy học, đặc biệt trong lĩnh vực giải tích, do đó giáo viên có thể ứng

dụng được nhiều nghiên cứu trong dạy học nội dung này

- Maple cho phép trích xuất ra các định dạng khác như Latex, Word,

HTML

1.3.3.3 Một số đặc điểm của phần mềm Maple

- Maple là một hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số và

minh hoạ toán học của công ty Warterloo Maple Inc, ra đời khoảng 1991, đến

nay đã phát triển đến phiên bản 12 Maple cài đặt đơn giản, chạy trên tất cả

các hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt để sử dụng tối ưu cấu hình máy và đặc

biệt có tệp trợ giúp (Help) rất dễ sử dụng Tệp trợ giúp này khá đầy đủ

và thuận lợi vì nó bao gồm cú pháp, giải thích và các ví dụ đi kèm

- Maple có thể làm việc như một máy tính bỏ túi khoa học , đặc

biệt khi làm việc với số hữu tỷ hoặc căn thức, Maple có khả năng xác định độ

chính xác của phép tính số học: evalf (f, n), trong đó f là biểu thức, n là số các

chữ số sau dấu phẩy

- Với sự hỗ trợ của Maple ta có thể phân tích đa thức thành tích các nhân

tử trên trường số thực hoặc trường số phức

- Maple có thể giải được các phương trình, bất phương trình và hệ bất

phương bậc cao hoặc nhiều ẩn với độ chính xác cao

- Maple có ứng dụng rộng rãi trong Giải tích như: tính các giới hạn dãy

số, hàm số, tính đạo hàm, nguyên hàm, tích phân

- Ngoài những đặc điểm trên, Maple có công cụ vẽ hình 2D và 3D tĩnh,

động trong miền xác định nào đó, có thể vẽ nhiều đồ thị trong cùng một hình

Không những thế Maple cho phép ta lưu giữ hình vẽ ra các định dạng khác

- Từ Maple 8.0, với gói lệnh Student hỗ trợ rất nhiều cho việc dạy -

học toán ở đại học và phổ thông vì nó đã đề cập đến tất cả các nội dung toán

học của đại học và phổ thông, GV có thể khai thác rất nhiều công cụ hỗ trợ

mới trong phương pháp dạy học Gói lệnh Calculus 1 là gói lệnh quan trọng

nhất của Student vì nó chứa các công cụ hỗ trợ từ hướng dẫn thực hiện các

phép tính tích phân cho đến khảo sát và vẽ đồ thị; từ việc minh hoạ vẽ tiếp

tuyến đường cong cho đến việc tính diện tích, thể tích khối tròn xoay

- Maple có hai môi trường làm việc là “môi trường toán học” và “môi

trường văn bản” Người dùng có thể chuyển đổi một cách dễ dàng giữa hai

môi trường này Trong môi trường văn bản, Maple cho phép biên soạn tài liệu

theo cấu trúc, cho phép hiển thị theo nhiều tầng lớp, rất phù hợp với việc giới

thiệu tổng quan hoặc tổng kết ôn tập Maple cho phép thay đổi các phông chữ,

màu sắc và đặc biệt có thể tạo ra các phím tắt (bookmark) để truy suất nhanh

chóng đến các vị trí tuỳ ý trong trang làm việc hiện hành hoặc các trang làm

việc khác; tạo ra các siêu liên kết để kích hoạt trang làm việc khác

- Maple được sử dụng như một phương tiện minh họa các khái niệm toán

học và đối tượng hình học, đồng thời Maple được sử dụng để hình thành các

khái niệm toán học, dự đoán các kết quả toán học, hỗ trợ HS trong hoạt động

tự học và thúc đẩy tìm tòi sáng tạo

Như vậy thông qua đặc điểm của Maple thì GV có thể dùng Maple để:

+ Tìm và soạn hệ thống bài tập, đề thi theo ý muốn

+ Kiểm tra các kết quả của các bài toán tính toán và dự đoán các chứng minh

+ Soạn giáo án, vẽ các đồ thị chính xác phục vụ giảng dạy, sinh hoạt

chuyên môn; viết báo cáo khoa học

+ Hỗ trợ GV trong bồi dưỡng HS giỏi hoặc hoạt động tập dượt nghiên

cứu khoa học

1.4 Kết luận chương 1

Từ sự phân tích cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài thì việc hệ thống hoá

một số vấn đề cơ bản về dạy học tích cực hoá người học, HĐ dạy và học toán

nói chung và HĐ dạy và học giải toán nói riêng; sử dụng CNTT trong dạy học

nói chung và dạy học toán nói riêng; một số vấn đề về sử dụng PMDH trong

dạy học toán nói chung và PMDH Giải tích nói riêng; một số cách thức sử

dụng PMDH trong dạy học Giải tích để tích cực hoá người học chúng tôi rút

ra được một số kết luận sau:

- Dạy học tích cực hóa người học là PPDH hướng vào việc tổ chức cho

người học học tập trong HĐ và bằng HĐ tự giác, tích cực và sáng tạo, được

thể hiện độc lập và trong giao lưu Thực chất của HĐ hoá người học là học tập

trong HĐ và bằng HĐ

- Bài tập toán có vai trò như giá mang HĐ học tập của HS Trong quá

trình dạy học, HS tự mình xây dựng các kiến thức toán học thông qua HĐ giải

toán hoặc thông qua HĐ giải toán có thể thực hiện các mục tiêu dạy học

- Trong dạy học giải toán, có thể tạo ra môi trường học tập tương tác tốt

nhờ sử dụng CNTT thông qua tổ chức các HĐ học tập cho HS, làm cho HS

trở thành chủ thể tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo trong quá trình học tập

CNTT-TT góp phần tạo ra các hình thức dạy học phong phú đa dạng, thay đổi

cách thức HĐ của GV và HS, hình thành ở HS phong cách làm việc mới phù

hợp với xu hướng thời đại

Như vậy chúng tôi cho rằng có thể tích cực hoá người học nếu GV tổ

chức các tình huống dạy học với sự trợ giúp của CNTT-TT để học sinh học

tập trong HĐ và bằng HĐ Thông qua HĐ giải toán, GV có thể khai thác các

PMDH thể hiện bằng các HĐ, để thông qua các HĐ ấy HS dự đoán, tìm kiếm

lời giải, kiểm tra kết quả

Kết quả phân tích này đặt ra một số cầu hỏi nghiên cứu mới: thực trạng

dạy học chủ đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng hiện nay như thế nào?

CNTT-TT được ứng dụng vào dạy học nội dung này như thế nào? Tổ chức

dạy học giải toán ra sao? Sử dụng phần mềm Maple theo hướng nào để tích

cực hoá người học trong các hoạt động giải toán ?

Chương 2: NGHIÊN CỨU MỘT PHẦN THỰC TRẠNG DẠY HỌC VÀ

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ DẠY HỌC GIẢI TOÁN NỘI

DUNG “NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG”

2.1 Nghiên cứu thực trạng dạy học chương Nguyên hàm - tích phân và

ứng dụng

2.1.1 Mục đích, yêu cầu đối với nội dung nguyên hàm - tích phân

Trong khuôn khổ luận văn chúng tôi chỉ phân tích nội dung “Nguyên

hàm, tích phân và ứng dụng” trong các SGK hiện đang sử dụng trong các

trường THPT (gồm SGK Giải tích 12 – sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000-

SGK[1], SGK Giải tích 12 – nâng cao- SGK [4], SGK Giải tích 12 – cơ bản-

SGK [7] chương trình hiện hành) Trong đó chúng tôi chú trọng phân tích nội

dung “Nguyên hàm, tích phân và ứng dung” của bộ SGK [4] và [7]

Đối với SGK Giải tích 12 - nâng cao, thì mục đích của việc dạy nội dung

nguyên hàm, tích phân và ứng dụng: giới thiệu cho HS những kiến thức cơ

bản nhất về nguyên hàm và tích phân, đồng thời nêu những ứng dụng của tích

phân trong việc tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay Nhờ công

cụ tích phân mà HS chứng minh được công thức tính diện tích hình elip, thể

tích của hình cầu, khối chóp cụt mà trong hình học HS đã thừa nhận Để việc

ứng dụng của tích phân đối với các bài toán hình học được thuận lợi, người

học cần phải nắm vững đồ thị một số hàm số, biết xác định đúng ranh giới

hình phẳng cần tính diện tích, biết nhận dạng đúng khối tròn xoay để tính thể

tích và cách thức thiết lập tích phân tương ứng

2.1.2 Nội dung Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong các SGK nước

ta hiện nay

2.1.2.1 Nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong SGK Giải tích 12

– sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000, SGK[1]

Trong SGK thuộc chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000, nội dung

nguyên hàm, tích phân được trình bày một cách có hệ thống từ nguyên hàm,

tích phân, phương pháp tích phân và ứng dụng

Để định nghĩa nguyên hàm, SGK [1] xuất phát từ bài toán chuyển động

thẳng của một chất điểm được xác định theo thời gian t bởi phương trình:

( )

s f t thì vận tốc tức thời tại thời điểm t là: v(t) = f’(t) Vậy nếu biết vận tốc tức

thời v(t) thì có tìm được phương trình chuyển động s = f(t) ? tức là tìm hàm số

s = f(t) khi biết đạo hàm f’(t) của nó Như vậy hàm số F(x) được gọi là nguyên

hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu  x ( ; )a b , ta có: F’(x) = f(x)

Với nội dung nguyên hàm, ngoài việc giải các bài toán nguyên hàm chỉ

dựa vào các tính chất nguyên hàm; bảng các nguyên hàm của hàm sơ cấp và

các hàm hợp thì việc tìm nguyên hàm bằng PP đổi biến

( f t dt( ) F t( )  C  f u x u x dx( ( )) '( ) F u x( ( )) C) cũng được đề cập đến

Việc xây dựng tích phân SGK [1] thông qua bài toán tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi một đường cong Như vậy ta đưa việc giải bài toán trên về

việc tính diện tích một số hình thang cong (hay tam giác cong) Các tính chất

của tích phân được xem xét một cách có hệ thống, đặc biệt tính chất bất đẳng

thức tích phân được đề cập

Việc sử dụng định nghĩa tích phân và bảng các nguyên hàm, ta có thể

tính được một số tích phân trực tiếp bằng công thức Newton-Leibniz Tuy

nhiên trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng các PP khác (PP đổi biến, PP

tích phân từng phần)

Nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng được trình bày trong

chương III của bộ sách [1] và được trình bày trong 23 tiết với nội dung sau

Bảng 2.1 Phân phối CT nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng,

SGK[1]

§ 1: Nguyªn hµm (3 tiÕt) - Bµi tËp (2 tiÕt)

§ 2: TÝch ph©n (3 tiÕt) - Bµi tËp (2 tiÕt)

§ 3: C¸c ph-¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n (2 tiÕt) - Bµi tËp (2 tiÕt)

§ 4: Ứng dông h×nh häc vµ vËt lý cña tÝch ph©n (3 tiÕt)- Bµi tËp (3 tiÕt)

¤n tËp – kiÓm tra (3 tiÕt)

2.1.2.2 Nội dung nguyờn hàm, tớch phõn và ứng dụng trong SGK Giải tớch 12

– nõng cao- năm 2006, SGK[4]

Nội dung nguyờn hàm, tớch phõn và ứng dụng được trỡnh bày trong

chương III Trong bộ sỏch này về trỡnh tự, cỏc tỏc giả trỡnh bày cơ bản giống

bộ sỏch [1], khỏi niệm nguyờn hàm, cỏc tớnh chất của nguyờn hàm Tuy nhiờn,

ngoài việc tỡm nguyờn hàm bằng định nghĩa và cỏc tớnh chất, thỡ cỏc tỏc giả đề

cập đến hai phương phỏp cơ bản để tớnh nguyờn hàm (PP đổi biến, PP nguyờn

hàm từng phần) để HS khỏi bỡ ngỡ khi thực hiện cỏc phương phỏp này trong

tớnh tớch phõn

Cỏc tỏc giả trỡnh bày khỏi niệm tớch phõn thụng qua 2 bài toỏn cơ bản

(tỡnh huống cú vấn đề): tớnh diện tớch hỡnh thang cong và tớnh quóng đường đi

của một vật khi biết phương trỡnh vận tốc

Với nội dung tớch phõn, cỏc tớnh chất cơ bản của tớch phõn cũng được

trỡnh bày một cỏch hệ thống, tuy nhiờn khỏc với bộ sỏch [1] đú là tớnh chất bất

đẳng thức của tớch phõn khụng được đưa ra trong nội dung lý thuyết mà cỏc

tớnh chất này được cỏc tỏc giả đề cập đến như một dạng bài tập Sự khỏc biệt

này phần nào cho ta thấy SGK [4] đó đảm bảo tớnh kế thừa, tinh giản, hiện đại

trong quỏ trỡnh biờn soạn

Nguyờn hàm, tớch phõn và ứng dụng của bộ sỏch [4] được trỡnh bày dự

kiến trong 20 tiết với nội dung gồm

Bảng: 2.2 CT nội dung nguyờn hàm, tớch phõn và ứng dụng, SGK [4]

Đ 1 Nguyên hàm (2 tiết)

Đ 2 Một số phương phỏp tỡm nguyờn hàm – luyện tập (3 tiết)

Đ 3 Tích phân (3 tiết)

Đ 4 Một số phương phỏp tớnh tớch phõn – luyện tập (4 tiết)

Đ 5 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng (2 tiết)

Đ 6 Ứng dụng tớch phõn để tớnh thể tớch vật thể – luyện tập (4 tiết)

Ôn tập và kiểm tra : (2 tiết)

2.1.2.3 Néi dung nguyªn hµm, tÝch ph©n vµ øng dông trong SGK Gi¶i tÝch 12

– cơ bản-năm 2006, SGK [7]

Nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng được trình bày trong

chương III Trong bộ sách này các tác giả đã trình bày trình tự giống bộ sách

[4], tuy nhiên khái niệm nguyên hàm xuất hiện từ bài toán tìm lại hàm số nếu

biết đạo hàm hoặc vi phân của nó trên một khoảng hay trên một đoạn Cụ thể:

Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của

hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x),  x K

Trong SGK [1] kí hiệu  f x dx( ) dùng để chỉ họ tất cả các nguyên hàm

của hàm số f(x), còn trong bộ sách [4] và bộ sách này thì kí hiệu  f x dx( ) còn

dùng để chỉ một nguyên hàm bất kì của hàm số f(x) Như vậy với kí hiệu

( )

f x dx

 của bộ sách [4] cho ta hiểu hai hàm số sai khác nhau một hằng số là

một hàm số, với cách hiểu trên thì thấy được mối liên hệ giữa tích phân và

nguyên hàm thông qua công thức Newton-Leibniz ( ) ( )

b b

nhiên với cách hiểu trên về mặt lịch sử chưa thật sự chính xác, bởi vì khái

niệm tích phân được định nghĩa thông qua giới hạn của tổng tích phân và độc

lập với khái niệm nguyên hàm, không những thế việc không đưa tổng tích

phân làm cho HS không nhận thấy được bản chất đích thực của phép tính tích

phân, từ đó thừa nhận hàng loạt ứng dụng của tích phân như tính diện tích, thể

tích, quãng đường đi được của một vật

Cũng như các bộ sách trên thì khái niệm tích phân cũng được xây dựng

thông qua bài toán tính diện tích hình thang cong Các tính chất cơ bản của

tích phân được đề cập không đầy đủ (có 3 tính chất cơ bản của tích phân)

Cũng giống như cỏc bộ sỏch trờn phần ứng dụng tớch phõn được chỳ

trọng đến việc tớnh diện tớch hỡnh phẳng, tớnh thể tớch khối trũn xoay do hỡnh

phẳng giới hạn bởi cỏc đường quay quanh trục toạ độ

Bảng: 2.3 CT nội dung nguyờn hàm – tớch phõn, ứng dụng, SGK [7]

Đ 1 Nguyên hàm ( 4 tiết) Đ 3 Ứng dụng tích phân trong hình học (4

tiết)

Đ2 Tích phân ( 6 tiết) Ôn tập: 2 tiết

Nh- vậy qua phân tích trên ta thấy trong ch-ơng trình lớp 12 THPT, chủ

đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng đ-ợc nghiên cứu ở ch-ơng III, SGK

Giải tích 12, chủ đề này đ-ợc chia làm 3 phần chính và đ-ợc tóm tắt bằng

Các ph-ơng pháp tính nguyên hàm

Các ph-ơng pháp tính tích phân

Ứng dụng

Ứng dụng hình học - Tính diện tích hình phẳng

- Tính thể tích khối tròn xoay ỨNG DỤNG VẬT Lí - Tính quãng đ-ờng và vận tốc

chuyển động

Trên cơ sở phân tích ch-ơng trình, SGK chúng tôi thấy việc dạy học nội dung

nguyên hàm, tích phân ở tr-ờng phổ thông phải đảm bảo những yêu cầu sau:

- Khi dạy khái niệm nguyên hàm, tích phân phải dạy cho HS thấy đ-ợc

bản chất và ý nghĩa của nguyên hàm, tích phân

- Khi dạy học các tính chất của nguyên hàm, tích phân cần thông qua

quan sát, thực nghiệm để HS phát hiện ra các tính chất sau đó dùng lập luận

suy diễn để chứng minh và tìm ra các tính chất mới, từ đó vận dụng các tính

chất vào bài tập tính nguyên hàm, tích phân cụ thể

- Khi dạy học các PP tìm nguyên hàm, tích phân cần phải dạy cho HS kĩ

năng sử dụng các PP đó vào bài tập cụ thể và những chú ý cần thiết khi sử

dụng các PP này

- Khi dạy học ứng dụng tích phân trong hình học thông qua quan sát hình

học để HS kiến thiết công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn

xoay d-ới dạng các bài toán cơ bản

Trong 3 bộ SGK trên, chúng tôi nhận thấy việc trình bày SGK [4] và [7]

chú trọng đến đổi mới PP, SGK chú trọng ph-ơng châm: Lấy HS làm trung

tâm, tăng c-ờng tính chủ động của HS, giảm lí thuyết, tăng thực hành, gắn với

thực tiễn Tr-ớc khi trình bày một khái niệm mới, SGK có ví dụ dẫn dắt, nêu

bài toán mở đầu, ngoài ra SGK thiết kế các câu hỏi và hoạt động xen kẽ trong

bài học để HS chủ động và tích cực trong học tập, tạo cơ hội cho sự thảo luận

và đối thoại giữa HS - HS, GV - HS tại lớp Tuy nhiên trong cả 3 bộ SGK trên,

khi biên soạn nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng các tác giả đều

không đề cập đến việc sử dụng CNTT để giảng dạy Do vậy việc sử dụng

CNTT trong dạy học nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng cần đ-ợc

nghiên cứu và kiểm nghiệm

2.1.3 Phân loại các bài toán nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong ch-ơng

trình Giải tích PTTH

Trong quá trình nghiên cứu nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Chúng tôi chia các bài toán thành 2 loại:

- Loại 1: Nguyên hàm, tích phân là đối t-ợng trong giải toán

- Loại 2: Nguyên hàm, tích phân là công cụ giải toán

2.1.3.1 D-ới góc độ Nguyên hàm, tích phân là đối t-ợng trong giải toán (loại

1) thì có các dạng bài tập sau:

Theo quan điểm của Nguyễn Hữu Ngọc [28], chia loại 1 thành 13 dạng

toán bao gồm : Chứng minh F(x) là nguyên hàm của f(x); tìm nguyên hàm

thoả điều kiện cho tr-ớc; tìm nguyên hàm dựa vào tính chất; tính nguyên hàm

của hàm phân thức; tính nguyên hàm của hàm luỹ thừa; tính nguyên hàm của

hàm số l-ợng giác; tính tích phân dựa vào định nghĩa; tính tích phân dựa vào

tính chất; tính tích phân hàm chứa trị tuyệt đối; Chứng minh bất đẳng thức về

tích phân; tính tích phân bằng đổi biến loại 1, loại 2; sử dụng PP tích phân

từng phần Theo mục đích và nghiên cứu của mình chúng tôi đã đã phân loại

các dạng bài toán trên thành 8 dạng cụ thể nh- bảng d-ới đây

Bảng: 2.5: Phân loại bài tập nguyên hàm, tích phân là đối t-ợng giải toán

1 Tìm nguyên hàm của hàm số bằng định nghĩa, tính chất

2 Tìm nguyên hàm bằng PP đổi biến số

3 Tìm nguyên hàm bằng PP lấy nguyên hàm từng phần

4 Chứng minh công thức nguyên hàm bằng định nghĩa

Để làm rõ vai trò của phần mềm Maple trong dạy học nguyên hàm, tích

phân và ứng dụng chúng tôi tiến hành phân tích lời giải của một số ví dụ trong

Giải tích 12

Ví dụ 2.1.3.1 Bài tập 3.23 trang 144 SGK Bài tập Giải tích 12, nâng cao

(Dạng 4: Chứng minh công thức nguyên hàm bằng định nghĩa)

Nhận xột: Qua vớ dụ trờn, cỏc tỏc giả muốn HS hiểu được mối quan hệ giữa

nguyờn hàm và đạo hàm, cụ thể HS nắm vững và hiểu định nghĩa nguyờn hàm

Vớ dụ 2.1.3.2 Vớ dụ 4 trang 107 SGK Giải tớch 12, cơ bản

Nhận xét : Thông qua ví dụ 2.1.3.2, các tác giả muốn HS làm quen với

việc tính tích phân của biểu thức lượng giác, đồng thời qua đó giúp HS nắm

vững tính chất của tích phân chứa trị tuyệt đối để chuẩn bị cho HS kĩ năng vận

dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Như vậy đối với các dạng bài tập của loại 1, HS cần phải chú ý các

phương pháp tính nguyên hàm, tích phân (phương pháp đổi biến số, phương

pháp từng phần) và hiểu được bản chất của từng phương pháp và những chú ý

khi sử dụng phương pháp đó

2.1.3.2 Dưới góc độ nguyên hàm, tích phân là công cụ để giải toán (loại 2)

chúng tôi chia các dạng toán liên quan như sau

Nguyễn Hữu Ngọc [28] đã chia nguyên hàm, tích phân là công cụ giải

toán (loại 2) thành 5 dạng bài tập gồm: Tính diện tích hình thang cong dựa

vào phép xét dấu; tính diện tích hình thang cong dựa vào đồ thị; tính diện tích

hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong; tính diện tích hình phẳng (H) hỗn

hợp; tính thể tích Cách phân chia chi tiết này sẽ giúp HS dễ dàng ứng dụng

giải bài tập tuy nhiên sự ứng dụng này còn máy móc và hình thức

Theo các đặc thù nghiên cứu của mình, chúng tôi đã phân loại như trong

9 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

10 Tính thể tích các vật thể khi biết thiết diện

11 Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng

quay quanh trục toạ độ

Ví dụ 2.1.3.3 Ví dụ 3, trang 116 – SGK Giải tích 12, cơ bản

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường x0;x và đồ

thị hai hàm số : y  cosx y ;  sin x

Giải:

- Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y  cosx y ;  sin xlà

nghiệm của phương trình: sin 0  0;

Nhận xét Với cách trình bày ở ví dụ 2.1.3.3, HS gặp rất nhiều khó khăn

và lúng túng, vì không biết làm thế nào để khử dấu trị tuyệt đối trong khi tính

tích phân, cụ thể HS phải tiến hành xét dấu của biểu thức:

 

f x cosx x  x  Để làm được điều này HS có thể áp dụng một

trong hai cách sau:

Cách 1: Vẽ đồ thị của hai hàm số: y  cosx y ;  sin x trên  0; , rồi căn

cứ vào vị trí tương đối của hai đồ thị mà bỏ dấu giá trị tuyệt đối;

Tuy nhiên sự hỗ trợ của phần mềm Maple với tính năng vẽ đồ thị các

hàm số, HS dễ dàng thực hiện cách 1, phát triển khả năng quan sát của HS

Ví dụ 2.1.3.4 Ví dụ 4, trang 158 – SGK Bài tập Giải tích 12, cơ bản

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình

phẳng giới hạn bởi các đường : y  x x2;  y2

Nhận xét: Với cách hướng dẫn giải như trên, phần lớn HS sẽ gặp khó

khăn để hiểu về bài toán cụ thể cũng như bài toán tổng quát tính thể tích khối

tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = avà x = b

quay quanh trục Ox được tính bằng công thức:  2 2 

( ) ( )

b a

V   f x g x dx bởi

vì phần lớn HS được lĩnh hội công thức tính thể tích khối tròn xoay do hình

phẳng giới hạn bởi các đường: y = f(x); y = 0; x = a và x = b quay quanh trục

Ox là: 2( )

b a

V  f x dx Như vậy để giúp HS hiểu được dạng bài toán này, GV

cần phải mô phỏng được hình dạng khối tròn xoay giúp HS nhận dạng khối tròn

xoay và từ đó HS hiểu và xây dựng công thức tính thể tích khối tròn xoay đó

Qua 2 bảng thống kê các dạng bài tập của loại 1 và loại 2 ta thấy: các

dạng bài tập thuộc loại 1 là những dạng bài tập dùng để củng cố lí thuyết

nguyên hàm, tích phân, còn các dạng bài tập thuộc loại 2 là những dạng bài

tập vận dụng nguyên hàm, tích phân vào giải toán Dựa theo phân loại trên

chúng tôi lập ra bảng thống kê như sau:

Bảng: 2 7 Tổng hợp các dạng toán về nguyên hàm, tích phân của 3 bộ SGK

Loại

bài tập Dạng

Các bộ sách giáo khoa

Sách Giải tích 12 (chỉnh

lí năm 2000)

Sách Giải tích 12 (nâng cao)

Sách Giải tích 12 (Cơ bản)

Số lượng

1 Tìm nguyên hàm của hàm số bằng định nghĩa, tính chất;

2 Tìm nguyên hàm bằng PP đổi biến số;

3 Tìm nguyên hàm bằng PP lấy nguyên hàm từng phần;

4 Chứng minh công thức nguyên hàm bằng định nghĩa;

5 Tính tích phân bằng định nghĩa, tính chất;

6 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số;

7 Tính tích phân bằng PP tích phân từng phần;

8 Chứng minh tích phân dạng truy hồi;

9 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường;

10 Tính thể tích các vật thể khi biết thiết diện;

11 Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục toạ độ

Thông qua thống kê Bảng 2.7 trên chúng tôi thấy các dạng toán thường

được đề cập trong cách SGK gồm có:

Đối với loại 1: Các dạng toán thường được đề cập gồm có các dạng:

dạng 1, dạng 2, dạng 5 và dạng 6 với số lượng bài tập chiếm 83 bài trên tổng

số 110 bài tập của loại I Trong loại 1 trọng tâm nhấn mạnh nhất là các bài

toán dạng 1, 5 là các bài toán về tính nguyên hàm và tích phân bằng định

nghĩa và các tính chất Điều đó chứng tỏ rằng các tác giả nhận thấy tầm quan

trọng của việc dạy cho HS hiểu được bản chất nguyên hàm, tích phân, hiểu và

vận dụng được các tính chất của nguyên hàm, tích phân, chú trọng đến việc

rèn luyện kĩ năng tính nguyên hàm và tích phân

Đối với loại 2: Các dạng toán thường được đề cập gồm có các dạng:

dạng 9, dạng 11 với số lượng bài tập chiếm khoảng 56 bài trên tổng số 61

bài toán của loại 2 Như vậy trong loại 2 bài tập trọng tâm là các bài tập

dạng 9, 11 là những bài tập liên quan tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

các đường, tính thể tích của khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới

hạn bởi các đường quay quanh trục toạ độ Điều đó chứng tỏ các tác giả

nhấn mạnh đến kĩ năng sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và

thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường quay quanh

trục toạ độ, kĩ năng chuyển từ bài toán tính tích phân thông thường sang bài

toán dưới góc độ sử dụng tích phân để giải toán, qua đó có thể khẳng định

tích phân là công cụ hữu hiệu trong việc giải các bài toán tính diện tích

hình phẳng và thể tích khối tròn xoay

Như vậy qua phân tích sự phân bố số lượng các dạng bài tập thuộc loại

1 trong các bộ SGK trên, chúng tôi cho rằng:

- Trong [1] (SGK Giải tích 12 chỉnh lí, năm 2000)số lượng bài toán tính

tích phân bằng PP đổi biến được chú trọng nhiều hơn các dạng bài tập khác

- Trong [4] (SGK Giải tích 12, nâng cao năm 2006) thì bài tập chủ yếu

tập trung vào các dạng toán như tính nguyên hàm, tích phân bằng định nghĩa,

tính chất, chứng minh các tính chất của tích phân (bất đẳng thức tích phân)

- Còn trong SGK [7] (SGK Giải tích 12, cơ bản năm 2006) cũng chú

trọng đến dạng bài toán tính tích phân bằng định nghĩa và các tính chất