Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng tích phân 12 (Phần 3: Ứng dụng Tích phân)24472

Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân :... Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân... Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân... Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x... Tính thể tíc

TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

CHỦ ĐỀ 3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Dạng 1 Tính diện tích hình phẳng

1 Diện tích hình thang cong

Dạng 1: Cho hàm số y  f x  liên tục trên   a b ; Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

( )

b

a

S   f x dx

Phương pháp giải:

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số y  f x ( )trên đoạn   a b ; .

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân : ( ) .

b

a

f x dx



Chú ý: có 2 cách tính tích phân ( )

b

a

f x dx



+ Cách 1: Nếu trên đoạn   a b ; hàm số f x  không đổi dấu thì: b ( ) b ( )

f x dx f x dx

+ Cách 2: Lập bảng xét dấu hàm số f x  trên đoạn   a b ; rồi khử trị tuyệt đối

Dạng 2: Cho hàm số x  f y   liên tục trên   a b ; Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

( )

b

a

S   f y dy

) ( :

) ( C y  f x

b

a

x y

O

b

a

x

y

0



x

O

( ) : C x  f y ( )

b

y 

a

y 

TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

2 Diện tích hình phẳng

Dạng 1: Cho 2 hàm số y  f x   và y  g x   liên tục trên   a b ; Khi đó diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f x   và y  g x   và hai đường thẳng x  a và xb là:

( ) ( )

b

a

S   f x  g x dx

x

y

)

(H

1

( C ) : y  f x ( ) 2

(C ) :yg x( )

a

O

Phương pháp giải:

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f x      g x trên đoạn   a b ; .

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ( ) ( ) .

b

a

f x  g x dx



Dạng 2: Cho hai hàm số y  f x   và y  g x   liên tục trên   a b ; Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f x   và y  g x   là: S f x( ) g x dx( )





Trong đó   , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f x       g x a      b 

Phương pháp giải:

Bước 1 Giải phương trình f x      g x  0 Giả sử ta tìm được   , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình  a      b .

Bước 2 Lập bảng xét dấu hàm số : f x      g x trên đoạn    ; .

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân: f x ( ) g x dx ( ) .









Dạng 3: Cho hai hàm số x  f y   và x  g y   liên tục trên   a b ; Khi đó diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số x  f y   và x  g y   và hai đường thẳng y  a và y  b là:

( ) ( )

b

a

S   f y  g y dy

Phương pháp giải:

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f y      g y trên đoạn   a b ; .

x

y

)

(H a

b

1

(C ) :x f y( )

2

(C ) :xg y( )

a

y 

b

y 

O

TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ( ) ( ) .

b

a

f y  g y dy



Dạng 4: Cho hai hàm số x  f y   và x  g y   liên tục trên   a b ; Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x  f y   và x  g y   là: S g y1( ) g y dy2( )





Trong đó   , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f y       g y a      b 

Phương pháp giải:

Bước 1 Giải phương trình f y      g y  0 Giả sử ta tìm được   , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình  a      b .

Bước 2 Lập bảng xét dấu hàm số : f y      g y trên đoạn    ; .

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân: f y ( ) g y dy ( ) .









Dạng 5: khi tính diện tích giới hạn 3 hàm số trở lên thì phương pháp chung là vẽ đồ thị rồi dựa vào đồ thị để tính.

Cách tính giới hạn của 3 hàm số: Cho 3 hàm số y  f x  , y  g x   và y  h x   liên tục trên   a b ; Khi

đó diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số y  f x   , y  g x   và y  h x   là:

2     3    

x x

S   f x  g x dx   h x  g x dx

Với: + là nghiệm phương trình: x1 f x      g x

+ x2 là nghiệm phương trình: f x      h x

+ x3 là nghiệm phương trình: h x      g x

Trong đó: a   x1 x2  x3 b

Tóm lại khi giải toán ta thường gặp các dạng sau:

1 Diện tích S của miền giới hạn: 0

y f ( x ) y

x a; x b









  b ( )

a

2 Diện tích S của miền giới hạn:

y f ( x )

y g( x )

x a; x b









  b ( )  ( )

a

3 Diện tích S của miền giới hạn:

x f ( y )

x g( y )

y a; y b









  b ( )  ( )

a

Bài 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y  x  x y ,  , x   , x 

c) y  x2 4 x  6, x   2, x  4, trục Ox d) y  x3, y  0, x   2, x  1

4

1

2 1

x

x

 2 2 2 ,  2 3  6,  0,  4 h)

TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

 2 4 ,  2   7 1,   1;  2

2

y

x



4 1

x y x



 y  0 , x   1 , x  1

Bài 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

2

x

x

x



e

ln x , 0, 1 ,

10

e

1

2 2 , 0, 1, 2

x

Bài 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

2

c) y   x sin ; x y  x x ;  0; x   2 d) y   x sin ;2x y    ; x 0; x  

2

y  x  x  y  x  x   y  sin x  2 cos , x y  3, x  0, x  

x

tan ; 0; ; .

y  x y  x    x  

Bài 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

x

x



Bài 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y  x3 12 , x y  x2 b) y   4 4 , x y2   1 x4

Bài 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

1

x

x

 



Bài 7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

x

TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

x

e





g) y  x2 2 x  2, y  x2 4 x  5, y  1 h) y  2 , x2 y  x2 2 x  1, y  2

i) y  2 , x2 y  x2 4 x  4, y  8 k) y  x2, 2 x y    1 0, y  0

Bài 8 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

2

27

x

x

   y   x2 6 x  5, y   x2 4 x  3, y  3 x  15



2

x y   8 3 x  2 , x y2   2 9 x  2 , x y2   x 10

e) y  x2 4 x  5, y   2 x  4, y  4 x  11 f)

Bài 9 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y2  2 , x y  x y ,  0, y  3 b) y2   x 5 0, x y    3 0

Bài 10 Tính diện tích các elip sau:

1

1

2

2 1 4

x y

Bài 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) ( ) : C y  x3 3 x2 3 x  1, và tiếp tuyến với (C) tại A(0; 1)



1

x

x

c) ( ) : P y  x2 4 x  5 và hai tiếp tuyến với (P) tại A(1;2) và B(4;5)



( ) :

1

x

Bài 12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) ( ) : C y  x3 2 x2 4 x  3, y  0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2

b) ( ) : C y  x3 3 x  2, x   1 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = –2

c) ( ) : C y  x2 2 x và tiếp tuyến với (C) tại điểm O(0 ; 0) và tại A(3; 3) trên (C)

d) 1 3 3 , và tiếp tuyến với (C) tại điểm M thuộc đồ thị có hoành độä x =

4

e) ( ) : 12 , tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3

2

x

 

f) ( ) : 2 2 1 , 0, tiệm cận xiên của (C), x = –1 và ø x = 2

2

x



TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

Dạng 2 Tính thể tích vật thể tròn xoay

Quay quanh trục Ox Quay quanh trục Oy

Dạng 1: Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f x  , trục Ox và hai

Ox

b

a

V      f x   dx

Chú ý: Hàm sốy  f x    0   x   a b ; và liên tục trên đoạn   a b ;

Dạng 2: Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x  f y  , trục Oy và hai

đường thẳng y  a và y  b  a  b quay xung quanh trục Oy là:   2

Oy

b

a

V      f y   dy

Chú ý: Hàm số x  f y    0   y   a b ; và liên tục trên đoạn   a b ;

x

y

O

f(x)

f(x) b

a

y

d

O

b

a

x

y

0



x

O

( ) : C x  g y ( )

b

y 

a

y 

) ( :

) ( C y  f x

b

a

x y

O

TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

Dạng 3: Cho hai hàm số y  f x  và y  g x   liên tục, cùng dấu trên đoạn   a b ; Hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị của các hàm số trên và hai đường thẳng x  a và xb  a  b  quay xung quanh trục Ox tạo nên một khối

V

b Ox a

Dạng 4: Cho hai hàm số x  f y  và x  g y   liên tục, cùng dấu trên đoạn   a b ; Hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị của các hàm số trên và hai đường thẳng y  a và y  b  a  b  quay xung quanh trục Ox tạo nên một

V

b Oy a

Tóm lại khi giải toán ta thường gặp các dạng sau:

1. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau: 0 quanh Ox một

y f ( x ) y

x a; x b









vòng là : 2  .

b Ox

a

V    f x dx

2. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau: quanh Ox một

y f ( x )

y g( x )

x a; x b









vòng là : 2  2  .

b Ox

a

V    f x  g x dx

3. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau: 0 quanh Oy một

x f ( y ) x

y a; y b









vòng là : 2  .

b Oy

a

V    f y dy

4. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau: quanh Oy một

x f ( y )

x g( y )

y a; y b









vòng là : 2  2  .

b Oy

a

V    f y  g y dy

Bài 1 Tính thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:



2

3

c) y  x3 3 1, x  y  0, x  0, x   1 d) y  x3 1, x   1, x  1, trục hoành



 2

1

x

x

thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:

TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093

4

y  x y  x  x   y  cos2 , x y  0, x  0, x  

2

y  x y  x x   x  

Bài 3 Tính thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:

e) y  x2 4 x  6, y   x2 2 x  6 f) y   4 x2, y  x2 2

2

1

x



( x  2)  y  9, y  0

Bài 4 Tính thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:

1

x

x



2

e) y   1 1, 0, 2 y  y  x f)

y  e y  x 

Bài 5 Tính thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Oy:

y

Bài 6 Tính thể tích hình khối sinh ra bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox ; Oy:

g) y  x2, y  x h) y  x x2(  0), y    3 x 10, y  1

1