GT 12 c3 bài 3 ứng dụng của tích phân

Câu 2: Cho hàm số liên tục trên , diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng được tính theo công thức Câu 3: Cho hàm số liên tục và không âm trên

Toanthaycu.com BÀI 3 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC TÍCH PHÂN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn [a ; b], trục hoành và hai đường thẳng x a x b ,  được xác định: S b| ( ) |f x dx

Chú ý:

Nếu trên đoạn , hàm số không đổi dấu thì:

2 Hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x y( ), g x( ) liên tục trên đoạn $[a ; b]$ và hai đường thẳng x a x b ,  được xác định: b| ( ) ( ) |

a

CHÚ Ý

Khi áp dụng công thức trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân Muốn vậy, ta giải phương trình

1( ) 2( ) 0

f x  f x  trên đoạn [a ; b] Giả sử phương trình có ha nghiệm , (c d c d ) Khi đó,

1( ) 2( )

f x  f x không đổi dáu trê các đoạn [a ; c],[c ; d],[d ; b] Trên mōi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn [a ; c], ta có c 1( ) 2( ) c 1( ) 2( ) d 

a f x  f x dx a f x  f x x

II TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRÒN XOAY

f x dx  f x dx









 



( ) : ( ) ( ) : ( ) ( )

C y f x

C y f x H

x a

x b

1

( ) C

2

( C )

 b  a

S f x1( ) f x dx2( )

a c1

y

 

 



 



 



( ) ( )

y f x

y 0 H

x a

x b

a c1 c2

 ( )

y f x y

 b

a

Toanthaycu.com

1 Thể tích vật thể

Gọi là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm , Giả sử là hàm số liên tục trên đoạn

2 Thể tích khối tròn xoay

Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

, trục hoành và hai đường thẳng , quanh trục Ox:

Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

, trục hoành và hai đường thẳng , quanh trục Oy:

Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

x ( a   x b ) ( )

( )

( )

( )

b

a

V  f x  g x dx

 b

a

S x dx

x

( )

S(x)

x

( ) : ( ) ( ) :



 



 



C y f x

Ox y 0

x a

x b

 2 ( ) b x a

V   f x dx a

 ( )

y f x y

c

y

O

d

x

( ): ( ) ( ):



 



 



C x g y

Oy x 0

y c

y d

 2

( )

d y c

V    g y dy

Toanthaycu.com

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Tính Diện Tích Giới Hạn Bởi 1 Đồ Thị Câu 1: Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , Mệnh đề

nào dưới đây đúng?

Câu 2: Cho hàm số liên tục trên , diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành và hai đường thẳng được tính theo công thức

Câu 3: Cho hàm số liên tục và không âm trên đoạn , diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số , các đường thẳng và trục là

Câu 4: Ký hiệu là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, đường

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 5: Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn , Diện tích

hình phẳng trong hình vẽ bên bằng

2

0

3 d x

0

3 d x

0

3 d x

0

3 d x

S  x

 

 

y f x  x a x b a b  ,    

 d

b

a

S  f x x  d

b

a

b

a

S f x x 2 d

b

a

S f x x

 

 

 d

b

a

f x x

b

a

f x x

d

b

a

f x x

a f x x



,

x a x b  

 d

b

a

S f x x f x x

 d  d

S  f x x f x x

 

a

f x x m 

0

d

b

f x x n 



Toanthaycu.com

Câu 6: Cho hàm số có đồ thị như hình dưới đây

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục là

Câu 7: Gọi là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục

hoành, trục tung và đường thẳng Biết Tính

Câu 8: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình bên dưới

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục hoành và hai đường thẳng ,

là

Câu 9: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình bên Diện tích

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và hai đường thẳng là

.

 

y f x 

 

y f x  Ox

S  2   0  

f x x f x x





1

d

S f x x





  2

1

d

S f x x



S f x x f x x



 

1

x  S  a 2  b a b ,  a b 

1 6

2

3

a b   a b   0

 

f x x  f x x

0

d

f x x



f x x f x x

0

d

f x x



( )

0, 2

x  x 

Toanthaycu.com

Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành được xác định

theo công thức nào dưới đây

Câu 11: Cho đồ thị hàm số như hình vẽ

Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục được tính bởi công thức

Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi bằng

Dạng 2: Tính Diện Tích Giới Hạn Bởi 2 Hai Đồ Thị Câu 1: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào

sau đây?

( )d ( )d

( )d ( )d

S f x x f x x

2

0

( )d

0

( )d

S f x x

2 2 8

y  x  x 

2 2 4

2 8 d



2

2 8 d



  

2 2 4

2 8 d



2



  

 

y  f x

 

3

3

dx

S f x



3

dx

S f x









 

y  x y  x  x  4

3

7 3

8

Toanthaycu.com

Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số và

Câu 3: Diện tích hình mặt phẳng gạch sọc trong hình vẽ bên bằng

Câu 4: Cho hàm số bậc hai và hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ Diện tích

phần gạch chéo được tính bằng công thức nào sau đây?

2

4 2 1

4 d

2x x 2x x



    

1

1 d

2x x 2x x



    



2

4 2 1

1 d

2x x 2x x



    

1

4 d

2x x 2x x



    



2

y  x   x y  x 2  3

9.

2

5. 2

3

1

2 d x x

1

2 2 d  x x

1

2 x  2 d x

1

2 x  2 d x



 

y  f x y g x   

S f x g x x g x f x x



      2    

3

d

S f x g x x



   

S g x f x x f x g x x



      1     2    

S g x f x x g x f x x



     

Toanthaycu.com Câu 5: Cho hàm số và có đồ thị giao nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ

và Gọi là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số này

Diện tích của được tính theo công thức

Câu 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số và ?

Câu 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng

Câu 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ; và trục hoành

Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ; và các đường ;

được xác định bởi công thức:

Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng bằng

 

b  H

 H

    d

b

a

S f x  g x  x    d

b

a

S g x  f x  x

   d

b

a

b

a

S  f x  g x  x

2 4

y    x y    x 2 5

7

8 3

9

2 1

9

2

13 3

11 3

7 2

y  x y   6 x 22

3

16

23 3

3

y  x  x y  2 x x  1 1

x  





   

1 3 1



1



 

2

y   x y    x 2 9

2

5 2

11 2

1 2

2 

Toanthaycu.com Câu 11: Cho là hình phẳng giới hạn bởi parabol , cung tròn có phương trình

và trục hoành Tính diện tích tính bởi công thức nào

Câu 12: Cho đồ thị hai hàm số và như hình sau

Diện tích phần hình phẳng được gạch sọc tính theo công thức nào dưới đây?

Câu 13: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ được tính theo công thức nào dưới đây?

 H

2

2 0

2 x  8  x d x

2 d x x  8  x x d

2 2

2 0

( 2 x  8  x )d x

0

( 2 x  8  x )d x



y  x  x   x y    x 2 2 x  1



2

1

2 2 d



  





2

1



   



Toanthaycu.com

Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol đường cong và trục hoành

bằng

Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol và bằng

A

C

Câu 16: Diện tích phần tô đậm trong hình bên được tính theo công thức nào trong các công thức

sau?

2

2 1

2 x 2 x 4 d x



 

1

2 x 2 d x



 



2

1

2 x 2 d x





1

2 x 2 x 4 d x



  



2

( 2) ,

11

2

73 12

7 12

5 2

2

1 2

y  x y   6 x 2

2

2

x dx





2 3

6 2

x dx



  

2

2

x dx



   

2 3

6 2

x dx



   



Toanthaycu.com

Câu 17: Gọi là phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi đồ thị của

các hàm số , và trục hoành Diện tích của là bằng bao nhiêu?

Câu 18: Diện tích miền phẳng giới hạn bởi parabol và đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán

kính thuộc khoảng nào sau đây

Câu 19: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số và đường thẳng

bằng

1

0

3 2 d

  

0

3 2 d

x  x  x x



2

0

3 2 d

  

0

3 2 d

x  x  x x



 H

2

3

11

2

9 2

13 2

7 2

2

2

x

y 

2 2

ln ,

2

Toanthaycu.com Câu 20: Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường , , , Đường thẳng

chia thành hai phần có diện tích là và như hình vẽ bên Tìm

Câu 21: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số , và trục được

tính theo công thức nào dưới đây?

Dạng 3: Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay Dựa Vào Định Nghĩa Câu 1: Trong không gian , cho vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng , vuông góc

với trục lần lượt tại , Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với tại điểm có hoành độ , cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là với

là hàm số liên tục trên Thể tích của thể tích đó được tính theo công thức

 H y  e x y  0 x  0 x  ln 4

x  k 0   k ln 4  H S1 S2

k S1 2 S2

4

ln 2 3

3

3

y  x y  x 2  4 x  4 Ox

2

0

4 4 d

x  x  x  x

   

x x  x  x  x

x x  x  x  x

 

Toanthaycu.com

Câu 2: Cho phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình và Cắt

phần vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ

, ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng Tính thể tích của phần vật thể

Câu 3: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và , biết rằng khi cắt vật

thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì được thiết diện là hình chữ nhật có hai cạnh là và

Câu 4: Cho vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng , , biết rằng thiết diện của vật thể với

mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là một đường tròn

có bán kính Thể tích của vật thể đó là

Câu 5: Cho phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình và Cắt

phần vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ

, ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng Tính thể tích V của phần vật thể

x

z

S(x)

 

2 d b

a

b a

b a

b a

V S x x

2

  4

3

3

1

3

0

2

0

2

cos

2

 T 4

Toanthaycu.com Câu 6: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi

cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x

thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và

Câu 7: Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt

phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ là một hình tròn có diện tích bằng 3π Thể tích của vật thể là

Dạng 4: Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay Khi Quay Hình Phẳng Giới Hạn Bởi 1 Đồ Thị Câu 1: Cho hình giới hạn bởi các đường , trục hoành Quay hình phẳng

quanh trục ta được khối tròn xoay có thể tích là:

Câu 2: Cho hình phẳng được giới hạn bởi elip có phương trình Tính thể tích

của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng quanh trục

Câu 3: Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai

đường thẳng Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành bằng

Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường

thẳng Quay xung quanh trục hoành ta được khối nói tròn xoay có thể tích là:

A

C

1 x 3

2

32 2 15

3

V 124

3



1; 1

x  x

x   x

2

Ox 496

15

15

3

15



25 16

160

3

3

3

320 3

1; 3

16

15

15

4 3

3

1, 2

x x ( )H

2 2 1

1

2 2

2 3 2

Toanthaycu.com Câu 5: Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường , , và

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay xung quanh trục được tính theo công thức?

A

Câu 6: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và trục hoành Tính

thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình quay quanh trục

Câu 7: Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành và các đường thẳng , quanh trục hoành là

Câu 8: Cho hàm số liên tục và có đồ thị như hình bên Gọi là hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hàm số đã cho và trục Quay hình phẳng quanh trục ta được khối tròn xoay có thể tích được xác định theo công thức

Câu 9: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

, , xung quanh trục là

A

1 0

2 1d

0

2 1 d

V   x x

1 0

2 1 d

0

2 1d

V  x x

π

3

π

tan

4

π 4

2

4

4

 

V

 

3

2 1

d

1

1

d 3

V  f x  x

 

3

2 2

1

d

1

d

V  f x  x

ex

y x 0

1

2 2 0

e dx

0

e dx

0

e dx

0

e dx

V x x

y

3

Toanthaycu.com Câu 10: Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường , , và

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay xung quanh trục được tính theo công thức

A

C

Câu 11: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng

; Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới khi nó quay quanh trục hoành có thể tích được xác định bởi

Câu 12: Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số và trục hoành, quanh trục hoành

Câu 13: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng

, Khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?

Câu 14: Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng

giới hạn bởi các đường , , , , Tìm a để V = 2

Câu 15: Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số Thể tích

V của khối tròn xoay thu được khi quay hình xung quanh trục Ox là

0 sin d





0 sin d





 

0





0 sin d





1

V

1 ln d

1 ln d

V  x x x

1 ln d

1 ln d

V  x x x

2 3

81

10

10

7

7



0

2

1

1 y x

π a

π 2





π a

π 2





π 2 a

π



π



x



Toanthaycu.com Câu 16: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay xung quanh trục hoành một elip có

phương trình V có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

Câu 17: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi , quanh trục

là với , là số nguyên Khi đó bằng

Dạng 5: Ứng Dụng Tích Phân Trong Vật Lý Câu 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển

động chậm dần đều với vận tốc , trong đó là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Câu 2: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc phụ thuộc thời gian có đồ thị của vận

tốc như hình bên Trong khoảng thời gian giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó

là một phần của đường parabol có đỉnh với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong giờ đó

Câu 3: Một vật chuyển động trong giờ với vận tốc phụ thuộc thời gian có đồ thị

là một phần của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong giờ đó

2 2

1

25 16

x  y 

2 1

y x y0

b

3

 2; 9 I

26,5

 2;9 I

Toanthaycu.com

Câu 4: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc phụ thuộc vào thời gian có

đồ thị vận tốc như hình bên Trong thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó

là một phần của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãng đường mà vật chuyển động được trong 3 giờ đó

Câu 5: Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc phụ thuộc vào thời gian có đồ thị là

một phần parabol với đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên Tính quảng đường người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy?

 

26,75 km

 

24,25 km

( / )

(2;9) I

s

15,50( )

13,83( )

1; 8 2

I 

s