ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I.. Kiến thức: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành, Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, Thể tích của vật
Trang 1ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I Mục tiêu:
1 Kiến thức: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành,
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, Thể tích của vật thể, thể tích của khối chóp và khối chóp cụt, thể tích khối tròn xoay
2 Kỹ năng: biết cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành, diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, thể tích của vật thể, thể tích của khối chóp và khối chóp cụt, thể tích khối tròn xoay
3.Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ
4.Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của
Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội
II Phương pháp:
Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và vấn đáp gợi mở
III- Chuẩn bị của GV&HS
-Giáo viên: SGK, Giáo án, đồ dung dạy học, bảng phụ, câu hỏi thảo luận.
-Học sinh: SGK, Bài cũ, đồ dung học tập, vở ghi.
IV Nội dung và tiến trình lên lớp.
Treo hình vẽ hình
thang vuông trong
HĐ1 sgk
Thảo luận nhóm để:
+ Tính diện tích hình thang vuông được giới
I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành:
Trang 2Giáo án gi i tích 12 ải tích 12
Cho HS tiến hành
hoạt động 1
Xây dựng công
thức tính diện tích
S của hình phẳng
giới hạng bởi đồ
thị hàm số f(x) liên
tục trên đoạn
a; b, trục hoành
và hai đường thẳng
x = a, x = b
Hướng dẫn giải
VD1
Hãy bỏ dấu trị
tuyệt đối
Cho HS giải VD1
Giới thiệu công thức
tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi
hai đường cong
hạn bởi các đường thẳng y = - 2x – 1, y =
0, x = 1, x = 5 được S = 28
+ So sánh với diện tích hình thang vuông trong hoạt động 1 của bài 2 ( bằng nhau )
Nghe hiểu nhiệm vụ
0 x nêìu x
-0 x nêìu 3 3
x
Giải VD1
Nghe hiểu nhiệm vụ
Diện tích S của hình phẳng giới hạng bởi
đồ thị hàm số f(x) liên tục trên đoạn
a; b, trục hoành và hai đường thẳng x =
a, x =b được cho bởi công thức
b
a
dx x f
Vd1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = x3, trục hoành và hai đường thẳng x = -1 và x = 2
0
1
2
0
3 3
2
1
3dx ( x )dx x dx x
S
4
17 4
4
2
0
4 0
1
4
x x
1 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường
cong: Diện tích S của hình phẳng giới hạng bởi đồ thị của hai hàm số
f1(x) và f2(x) liên tục trên đoạn a; b và hai đường thẳng x = a, x = b được cho bởi công
b
a
dx x f x f
Cách tính tích phân theo công thức
Giải phương trình f1 (x) f2 (x)0 trên đoạn [a; b] giả sử có 2 nghiệm c, d và c
< d
b
a
dx x f x f
c
a
dx x f x
f1 ( ) 2 ( )
Trang 3Từ công thức
b
a
dx x f x
f
Hướng dẫn rút ra
cách tính tích phân
theo công thức
Đưa ra Vd2
Hãy giải phương
trình
0 )
(
)
( 2
f
Vậy
0
sin cosx x dx
S
=?
Hiểu được trên từng khoảng (a; c), (c; d), (d;
b) hiệu f1 (x) f2 (x)
không đổi dấu nên dẫn đến cách tính
Ghi nhận Vd2
Giải phương trình
0 ) ( ) ( 2
f
Tính
0
sin cosx x dx S
d
c
dx x f x
b
d
dx x f x
Vd2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hs f1 (x)cosx;f2 (x)sinxvà hai đường thẳng x0 ;x
Giải Ta có
0 sin cos 0 ) ( ) ( 2
f
; 0
4
x
Vậy diện tich cần tính là
0
sin cosx x dx S
sin cos sin cos 2 2
sin cos sin
cos
4
4 0
4
4 0
x x
x x
dx x x dx
x x
Vd3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong yx3 x vaÌ yx - x 2
Kq:
12 37
II TÍNH THỂ TÍCH
1 Thể tích của vật thể:
Cắt vật thể V bởi hai mặt phẳng (P)
Trang 4Giáo án gi i tích 12 ải tích 12
Cho hs tiến hành
hoạt động nhóm giải
ví dụ 2
Hoạt động 2 :
Em hãy nêu lại
công thức tính thể
tích khối lăng trụ
có diện tích đáy
bằng B và chiều
cao h
Hình thành công
thức tính thể tích
của vật thể
Hình thành công
thức tính thể tích
khối lăng trụ thông
qua Vd4
Hãy nhắc lại công
thức tính thể tích
khối chóp, khối
Tiến hành hoạt động nhóm
Trình bày lời giải Nhận xét bài làm
Thể tích khối lăng trụ V=B.h
Nghe hiểu nhiệm vụ
Thể tích khối chóp
3
Bh
V
Thể tích khối chóp cụt
) ' ' (
h
và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại
x = a, x = b(a < b) Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại x (a x b) cắt V theo thiết diện có diện tích S(x).Người ta chứng minh được rằng thể tích V của vật thể V giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính bởi công thức
V = ( )
b
a
S x dx
Vd4: (sgk)
2 Thể tích khối chóp và khối chóp cụt:
+ Thể tích khối chóp: V = 1
3B h (B: diện tích đáy, h: chiều cao khối chóp) + Khối chóp cụt: V =
' '
1
3 B BB B h
(B: diện tích đáy lớn, B’: diện tích đáy nhỏ, h: chiều cao khối chóp cụt)
III THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Bài toán: (SGK)
Trang 5chóp cụt
Hướng dẫn chứng
minh công thức
Chú ý: hai hình
đồng dạng thì tỉ số
diện tích bằng bình
phương tỉ số đồng
dạng
Hoạt động 3 : Em
hãy nhắc lại khái
niệm mặt tròn xoay
và khối tròn xoay
trong hình học
Xây dựng công thức
tính thể tích vật thể
tròn xoay qua bài
toán sgk
Hướng dẫn hs giải
vd5, Hãy nhắc lại
công thức tính thể
tích khối cầu
Hướng dẫn hs
Thảo luận nhóm để nhắc lại khái niệm mặt tròn xoay và khối tròn xoay trong hình học
Nghe hiểu nhiệm vụ
Hoạt dộng nhóm giải vd5, Thể tích khối cầu
3
3
4
R
Hoạt động nhóm giải vd6
Phương trình đường tròn tâm O bán kính R
2 2 2
x R y
R y x
Thể tích khối tròn xoay sinh
ra bởi hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
)
( x
f
y , trục Ox và hai đường thẳng x =
a, x b quay quanh trục Ox
Vd5: sgk
Vd6: sgk Khối cầu bán kính R là vật thể tròn xoay sinh ra bởi nữa đường tròn y R2 x2
) (RxR và đường thẳng y = 0 khi quay quanh trục Ox
R
R
R dx
x R
3
4 )
b
a
dx x f
Trang 6Giáo án gi i tích 12 ải tích 12
chứng minh qua vd6
Hãy nhắc lại công
thức phương trình
đường tròn tâm O
bán kính R
Ta có thể xem khối
cầu bán kính R là
vật thể tròn xoay
sinh ra bởi nữa
đường tròn
2
2 x
R
)
(RxR và
đường thẳng y=0
khi quay quanh trục
O vậy V = ?
b
a
dx x f
R
R
R dx
x R
3
4 )
IV Củng cố:
+ Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sâu kiến thức + Dặn BTVN: 1 5 SGK, trang 121
Trang 7LUYỆN TẬP VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I.
Mục tiêu:
1 Kiến thức: luyện giải các bài tập về diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay
2 Kỹ năng: vận dụng thành thạo các công thức diện tích và thể tích trong bài
3 Tư duy: thấy được ứng dụng của bộ môn giải tích trong hình học cũng như trong thực tế
4 Thái độ: cẩn thận chình xát trong lời giải, nghiêm túc trong học tập
II.
Phương pháp:
Đàm thoại gợi mở đan xen hoạt động nhóm
III.
Chuẩn bị của thầy và trò:
IV.
Tiến trình bài giảng:
1 kiểm tra bài cũ:
HS1: Viết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành
AD: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường y = x2- 4 , trục Ox và hai đường thẳng x =1, x = 4
HS2: Viết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong AD: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường y = x2 4, y = 3x và x =
-2, x = 3
HS3: Viết công thức tính thể tích khối tròn xoay
AD: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra do hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số yx1, trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 3
2 luyện giải bài tập:
Hđ1 Giải bài t p 1: Tính di n tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
động của Hs
Ghi bảng
Chia hs thành 2 nhóm
mỗi nhóm giải một câu
Cho tiến hành hoạt
Tiến
x y x y
x2 – (x + 2) = 0 x2 – x – 2 = 0
x = - 1, x = 2
Trang 8Giáo án gi i tích 12 ải tích 12
động nhóm
Hãy nhận xét bài làm
của 2 nhóm
Bài tập tương tự: Tính
diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường
x y x
4
,
x
c)
2
2 , 6
)
6
và x = 1, x = 5
hành hoạt động nhóm Trình bày lời giải Nhận xét
và sửa chữa Ghi nhận bài tập
về nhà
2 3 )
2 (
2
1
2 3 2
1
2
S
c) y(x 6 ) 2 ,y6x x2
6 ,
x x
6
3
2 18 36 ) 2
S
9 36
9 3
3 2
3
Hđ2 Giải bài tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2
+1, tiếp tuyến tại M(2;5) và trục Oy
Hoạt động
của Gv
Hãy nhắc lại
công thức
phương
trình tiềp
tuyến của
đồ thị hàm
số y = f(x)
tại một điểm
Trục Oy có
phương
trình ?
) )(
(
y
Trục Oy có phương trình x = 0
Phương trình tiềp tuyến tại M(2:5) f’(x0) = 2x0 = 4
y – 5 = 4(x-2) y = 4x – 3 đặt f1(x) = x2+1, f2(x) = 4x – 3
f1(x) – f2(x) = 0 x2 – 4x + 4 = 0 x = 2
2
0 2
3 2
0
3 )
4 4 (
x x dx x x x
S
3 8
Trang 9Bài tập tương tự: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường 2 4 3
tiếp tuyến của nó tại M1(0; - 3) và M2(3;0)
Hđ3 giải bài t p 4: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox
Hướng dẫn về nhà xem lại các bài tập đã giải Giải tiếp các bài tập còn lại
Chuẩn bị ôn tập chương
Bài tập tổng hợp:
y
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) và đường thẳng y = -x + 4
2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số yx33x2
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) trục hoành và các đường thẳng x 2 x 1
Trang 10Giáo án gi i tích 12 ải tích 12
c) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi độ thị (C )
và đường thẳng y = 0 quay quanh trục Ox
3 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số y2x3 3x2
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) và đường thẳng y = 2x
c) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi độ thị (C )
và đường thẳng y = 0, x = 1 khi nó quay quanh trục Ox
4 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số 3 3 2
y
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) và đường thẳngy = x – 2 c) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi độ thị (C )
và đường thẳng y = 0 quay quanh trục Ox
d) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi độ thị (C ) và các đường thẳng y = x – 2, x = 0, x = 2 quay quanh trục Ox
Củng cố: ( 3’) Củng cố lại các kiến thức đã học trong bài