Silde bài giảng Toán cao cấp 2 chương 10

Tích phân bất định 1 Định nghĩa: Biểu thức Fx+C trong đó Fx là 1 nguyên hàm của fx trên a,b và C là hằng số tùy ý được gọi là tích phân bất định của fx, ký hiệu x: biến lấy tích phân

Trang 1

TOÁN CAO CẤP 2

Giảng viên: Nguyễn Thị Quỳnh Lan Email: lannq@neu.edu.vn

Trang 2

Ch.10 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

Trang 4

§1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

I Nguyên hàm

1) Định nghĩa

Hàm F(x) được gọi là 1 nguyên hàm của

hàm f(x) trên (a,b) nếu

F’(x)=f(x), với mọi x ∊ (a,b)

cos x

 

Trang 5

cũng là nguyên hàm của f(x) trên (a,b).

b) Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a,b) đều biểu diễn được dưới dạng F(x)+C, với C là

hằng số nào đó

Nhận xét:- Từ a) suy ra nếu biết 1 nguyên

hàm của f(x) thì biết được vô số các nguyên

hàm của nó

- Từ a)+b) Nếu biết 1 nguyên hàm của f(x)

thì biết được tất cả các nguyên hàm của nó.

Trang 6

II Tích phân bất định

1) Định nghĩa: Biểu thức F(x)+C trong

đó F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên

(a,b) và C là hằng số tùy ý được gọi là tích

phân bất định của f(x), ký hiệu

x: biến lấy tích phân

f(x): hàm số dưới dấu tích phân

f(x).dx : biểu thức dưới dấu tích phân



Trang 7

Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên khoảng đóng

[a,b] có nguyên hàm trong khoảng đó.

Trang 8

Chú ý: Có một số hàm số liên tục có

nguyên hàm, nhưng các nguyên hàm này

không phải là hàm sơ cấp:

Trang 11

3) Công thức tích phân cơ bản: SGK

III Các phương pháp tính tích phân

(SGK)

1)Phương pháp đổi biến

2) Phương pháp tích phân từng phần

Trang 12

§2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

I.Khái niệm tích phân xác định

1) Định nghĩa

Xét hàm số y=f(x) xác định trên [a,b].

Chia [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm

chia a=x0<x1<…<xn=b; Trên mỗi đoạn

[xi-1,xi] lấy 1 điểm ti tùy ý: ti ∊ [xi-1,xi] ,

ký hiệu Δxi=xi-xi-1 ; Lập tổng tích phân:

Trang 13

Khi cho n +∞ →+∞ sao cho maxΔxj 0 →+∞ nếu

dãy số Sn luôn có giới hạn là số I, không

phụ thuộc vào cách chia [a,b] và cách

lấy ti thì số I được gọi là tích phân xác

định của hàm f(x) trên [a,b], ký hiệu

Vậy

Ta nói f(x)khả tích trên [a,b] x: biến lấy tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân,

f(x).dx biểu thức dưới dấu tích phân,

a-cận dưới, b-cận trên của tích phân.

b a

f (x).dx



i i n

i 1 a

I f (x).dx lim f (t ) x

 



Trang 15

● Chú ý: Tích phân xác định không phụ

thuộc vào ký hiệu biến lấy tích phân theo

nghĩa:

● Ý nghĩa hình học: Nếu f(x)≥ 0 với mọi

x thuộc [a,b] thì là diện tích của

hình thang cong bị giới hạn bởi các

đường: y=f(x), y=0, x=a, x=b.

f (x).dx



Trang 18

iv) Nếu f(x)≤ g(x) với mọi x ∊ [a,b] thì

Trường hợp riêng: Nếu

m ≤ f(x) ≤ M với mọi x ∊ [a,b]

Trang 19

v) Định lý giá trị trung bình

Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên [a,b] thì tồn

tại ít nhất c ∊ (a,b) sao cho

Ý nghĩa hình học của định lý:

-VT: Diện tích hình thang cong.

-VP: Diện tích hình chữ nhật.

- f(c)-giá trị trung bình làm cho diện tích của

miền lõm vào so với hình chữ nhật bằng diện tích của miền thừa ra so với hình chữ nhật

b

a



Trang 20

- gọi là hàm cận trên của f(x).

Tương tự: Hàm cận dưới của hàm f(x) là

x a

Trang 21

Định lý: Nếu hàm số f(x) liên tục trên

[a,b] thì hàm cận trên Ф(x) khả vi trên

Trang 22

x x x

f (t).dt f (c) x



Trang 23

F (x)   2x  5x

5

2 x

dt G(x)

Trang 25



Trang 26

dt H(x)

Trang 28

dt H(x)

Trang 29

2) Định lý Niu-tơn –Lepnhitz

Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là

1 nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì

Chứng minh: Do f(x) liên tục trên [a,b]

nên hàm cận trên Ф(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên [a,b] Vì F(x) cũng là 1

nguyên hàm của f(x) trên [a,b], nên tồn tại hằng số C0 sao cho

Ф(x)=F(x)+C0, mọi x ∊ [a,b].

b

b a a

f (x).dx F(x)   F(b) F(a) 



Trang 32

§3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Đặt vấn đề: Theo định nghĩa tích phân xác

định, hàm f(x) khả tích trên [a,b] nếu giới

hạn của các tổng tích phân hữu hạn:

Ta thấy các hạn chế của định nghĩa này:

- Miền lấy tích phân hữu hạn: a,b ∊ R

Trang 33

§2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

NHIỀU BIẾN SỐ.

I Tích phân suy rộng với miền lấy tích

phân vô hạn ( với cận vô hạn).

●Xét hàm số f(x) xác định trên [a,+∞ ) và

khả tích trên mọi đoạn [a,b], a ≤ b<+ ∞

Tích phân suy rộng của hàm f(x) trên [a,

+∞ ) được ký hiệu và xác định như

sau:

Nếu giới hạn vế bên phải tồn tại và hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ Trường hợp ngược lại ta nói tích phân suy rộng phân

Trang 35

+ Nếu α≠1 , ta có

Kết luận: Với 0<α≤ 1 thì tích phân suy

rộng phân kỳ Với α >1 thì tích phân suy rộng hội tụ và bằng .

 

Trang 36

● Tương tự, nếu f(x) xác định trên (-∞,b]

và khả tích trên mọi đoạn [a,b],

Trang 38

Tích phân suy rộng của hàm f(x) trên [a,b]

được ký hiệu và xác định như sau

Nếu giới hạn vế bên trái tồn tại và hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ; Trong trường hợp ngược lại ta nói tích phân suy

Trang 39

● Tương tự, Xét hàm số f(x) xác định trên [a,b), và khả tích trên mọi

Trang 41



Trang 43

§4 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

(Trang 545 đến 550)

I Xác định hàm tổng khi biết hàm cận biên.

Xét hàm số y=f(x) , x,y- các biến kinh tế

x



Trang 44

f (x)   f (x).dx 

Trang 46

Xét dự án tiến hành trong một thời gian;

Ký hiệu K(t) là giá trị quỹ vốn của dự án tại thời điểm t, I(t) là giá trị của khoản vốn

đưa vào dự án tại thời điểm t, do đó tại thời điểm t giá trị của quỹ vốn tăng thêm I(t),

Trang 47

và quỹ vốn tại thời điểm xuất phát

K(0)=150 Hãy xác định quỹ vốn tại t.

K(t)   I(t).dt

Trang 48

Chú ý:

K(t0), K(t1) là giá trị quỹ vốn tương ứng tại

t0,t1; K(t1)-K(t0):là tổng giá trị vốn đưa vào

và bằng

Suy ra

1

1 0 0

t

t t



Trang 49

Giả sử giá thị trường là p0, lượng cầu thị

trường là Q0=D(p0) Khi đó thặng dư của người tiêu dùng (tổng số hưởng lợi của người tiêu dùng hàng hóa này khi giá

mua hàng hóa là p0) được xác định bởi công

1

0 0 0

Trang 50

Xét hàm cung thị trường của 1 loại hàng

hóa

Q=S(p)- hàm tăng

Giả sử giá thị trường là p0, lượng cung hàng

hóa trên thị trường là Q0=S(p0) Khi đó

thặng dư của người sản xuất (tổng số hưởng lợi của tất cả DNSX hàng hóa

này khi giá bán hàng hóa là p0) được xác

Trang 51

Ch.11 PHƯƠNG TRÌNH VI

PHÂN

Trang 52

Ch.11 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

 Khái niệm chung về phương trình vi

phân và phương trình vi phân

Trang 53

§1 KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

I Khái niệm chung về phương trình vi phân.

Phương trình vi phân là phương trình

chứa hàm số phải tìm dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân Nếu hàm số phải tìm là hàm

1 biến thì gọi là phương trình vi phân

thường Nếu hàm phải tìm là hàm nhiều biến thì gọi là phương trình đạo hàm

riêng.

Cấp cao nhất của đạo hàm hoặc vi phân

có mặt trong phương trình gọi là cấp của

phương trình vi phân đó.

Trang 54

§1 KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN.

Ví dụ: a) Tìm hàm số y=y(x) thỏa mãn

phương trình

(x+1)y’-2x4y=sinx

là phương trình vi phân thường cấp 1.

b) Tìm hàm số u=u(x,y) thỏa mãn phương trình

là phương trình đạo hàm riêng cấp 2.

Trang 55

II Phương trình vi phân thường cấp 1 1) Cách cho phương trình vi phân

Trang 56

2) Nghiệm, tích phân, nghiệm tổng

quát,nghiệm riêng, tích phân tổng quát, tích phân riêng.

φ’(x)=f(x,φ(x)) với mọi x ∊ (a,b)

Nếu nghiệm của phương trình (1) viết dưới dạng hàm ẩn thì gọi là tích phân của

phương trình vi phân (1).

Trang 57

Ví dụ: a) CM rằng hàm số y=xe 2x là 1 nghiệm của phương trình

xy’-y=2x 2 e 2x

b) Xét phương trình vi phân: y’=x 2

- Hàm số là 1 nghiệm của phương trình.

- Các hàm , C hằng số tùy ý, cũng là các nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình vi phân có vô số nghiệm.

Ví dụ: Sử dụng định nghĩa đạo hàm riêng, tính các đạo hàm

riêng f x ’(1,-2), f’ y (1,-2) của hàm số

3

x y

Trang 58

Giải: y’=x 2

- gọi là nghiệm tổng quát của phương trình Cho C=C 0 thì ta có 1

nghiệm riêng, chẳng hạn 1 nghiệm riêng ứng với C0 =-20 là:

dy

x dy x dx dx

3

Trang 59

● Khi giải phương trình vi phân phải tính

tích phân bất định Nghiệm của phương trình vi phân có dạng: y= φ(x,C), C là

hằng số tùy ý được gọi là nghiệm tổng quát của phương Nếu trong công thức

nghiệm tổng quát cho C=C0 thì nghiệm

y= φ(x,C0) được gọi là nghiệm riêng

Nếu nghiệm tổng quát và nghiệm riêng

viết dưới dạng hàm ẩn thì gọi tương ứng

là tích phân tổng quát, tích phân riêng

của phương trình (1).

Trang 60

3) Bài toán Cô si

Xét phương trình vi phân: y’=f(x,y) (1)

Hàm số f(x,y) xác định với mọi (x,y) ∊ D

Bài toán Cô si: Với (x0,y0) ∊ D, tìm

nghiệm y=y(x) của phương trình (1) thỏa

mãn y(x0)=y0.

Ví dụ: Xét phương trình: y’=x2

Nghiệm tổng quát: y=x3/3 +C;

với (x0=1,y0=3),tìm nghiệm y=y(x) thỏa

mãn y(1)=3, suy ra: 3=1/3+C, nên C=8/3

Trang 61

§2 CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

THƯỜNG CẤP 1

I Phương trình phân ly biến số.

Phương trình phân ly biến số là phương trình vi phân có dạng:

Trang 62

Trang 63

Chú ý: Cần xét các trường hợp f2(y)=0,

N1(x)=0, M2(y)=0 và bổ sung nghiệm

bị mất trong khi chia (nếu có).

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

Trang 64

Trang 65

Trang 66

Trang 67

- là phương trình phân ly biến số của x,z.

-hệ số co dãn của w theo biến y tại (x0,y0).

Ý nghĩa ε xw (x 0 ,y 0 ): Tại (x 0 ,y 0 ), với đk biến y không thay đổi

(y=y0) nếu biến x tăng 1 % thì biến w thay đổi xấp xỉ





Trang 68

3) Phương trình dạng

(6)

Trường hợp 1: Nếu

thì 2 dòng của định thức tỷ lệ với nhau

a2=k.a1, b2=k.b1, khi đó đặt z=a1x+b1y

Suy ra z’=a1+b1y’, thay vào (6) ta có

Trang 69

u=x-x0, v=y-y0, v=v(u)

Suy ra du=dx, dv=dy

Thay vào phương trình ta có

Trang 70

(6) tương đương với

Đây là phương trình vi phân thuần nhất của u,v.

Trang 71

Trang 72

Trang 73

Do y=0 là nghiệm ứng với C=0, nên công

thức nghiệm tổng quát của phương trình (8) là

(9)

Bước 2: Giải phương trình

y’ +p(x).y= q(x) (7)

Cách 1:(Phương pháp biến thiên hằng số )

Trong công thức (9) coi C=C(x), tìm C(x) sao cho (9) là nghiệm của (7) Đạo hàm

Trang 74

Trang 75

Trang 76

Trang 77

Đây là phương trình tuyến tính của x, z.

Ví dụ: Giải phương trình vi phân

Trang 78

được gọi là phương trình vi phân toàn

phần nếu tồn tại hàm số F(x,y) khả vi

sao cho

dF(x,y)= M(x,y).dx + N(x,y).dy

Cách giải: Giả sử phương trình (11) là

phương trình vi phân toàn phần, khi đó

Trang 79

tồn tại hàm số F(x,y) khả vi sao cho

dF(x,y)= M(x,y).dx + N(x,y).dy

Trang 80

0

F(x, y)   M(x, y ).dx   N(x, y).dy

Trang 81

Ví dụ: Giải phương trình

Trang 82

2) Phương pháp thừa số tích phân

Giả sử phương trình vi phân

M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 (12)

không là phương trình vi phân toàn phần, khi đó

Hàm khả vi p=p(x,y)≠0 được gọi là thừa số tích phân của (12) nếu

Trang 83

thuộc vào 1 biến x hoặc 1 biến y.

Trường hợp 1: Phương trình (12) có thừa

Trang 84

Trang 85

Trang 86

Trường hợp 2: Phương trình (12) có thừa

số tích phân chỉ phụ thuộc y: p=p(y).

Khi đó phương trình (14) tương đương

Trang 87

Trang 88

Ví dụ: Giải phương trình:

Trang 92

Khi giải phương trình vi phân cấp 2 phải tích phân 2 lần, nghiệm của phương trình (1) có dạng

y=φ(x,C 1 ,C 2 ), với C 1 ,C 2 các hằng số tích phân, được gọi là nghiệm tổng quát của (1) Nếu trong

công thức nghiệm tổng quát cho C 1 =C 10 ,C 2 =C 20 thì nghiệm

y=φ(x,C 10 ,C 20 ) là 1 nghiệm riêng.

2)

Trang 93

§3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

2) Bài toán Cô si

Cho phương trình vi phân cấp 2

Trang 95

II Một số phương trình cấp 2 hạ bậc được

1) Phương trình khuyết y,y’:

Trang 96

Thay vào phương trình (4) ta có

là phương trình vi phân cấp 1 của y,z.

y y

Trang 98

I Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình

Trang 99

Định lý : Nếu các hàm số p(x), q(x), g(x) là các hàm liên tục trên

[a,b] thì với mọi

x 0 ∊ (a,b) và y 0 ,y 0 ’ là các số thực bất kỳ luôn tồn tại duy

nhất một nghiệm y=y(x) của phương trình (5) thỏa mãn điều

kiện y(x 0 )=y 0 , y’(x 0 )=y 0 ’.

Trang 100

Định lý 2: Nếu y1(x), y2(x) là hai nghiệm

của phương trình thuần nhất (6) thì hàm tổng y1(x)+y2(x) và hàm tích c.y1(x) với

mọi c ∊ R cũng là các nghiệm của phương trình (6).

Trang 101

Định nghĩa: Xét một hệ m hàm số xác định trên (a,b)

y 1 (x), y 2 (x),…,y m (x)

Hệ các hàm số này được gọi là phụ thuộc tuyến tính trên (a,b) nếu tồn tại m số

k 1 ,k 2 ,…,k m không đồng thời bằng không sao cho

k 1 y 1 (x)+k 2 y 2 (x)+…+k m y m (x)=0

với mọi x ∊(a,b)

Trong trường hợp ngược lại ta nói hệ hàm này là độc lập tuyến tính trên (a,b).

Trang 102

Trường hợp riêng, m=2

tuyến tính trên (a,b) nếu tồn tại k1,k2

không đồng thời bằng không sao cho

tính trên (a,b) khi và chỉ khi tỷ so giữa hai

hàm số này không là hàm hằng trên (a,b).

Trang 103

● Ví dụ: a) Hai hàm số

y 1 (x) =2x-1 và y 2 (x)=-6x+3

là phụ thuộc tuyến tính trên R vì

(-3).y1(x) +y2(x) =0 , với mọi x

Trang 104

lập tuyến tính trên (a,b) khi và chỉ khi

với mọi x ∊ (a,b).

lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (6)

thì nghiệm tổng quát của (6) là

Trang 105

Định lý 5: Nếu y1(x), y2(x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (6) và y0(x) là một nghiệm riêng

của (5) thì nghiệm tổng quát của (5) là

y(x)=C1.y1(x)+C2.y2(x)+y0(x)

với C1,C2 là các hằng số tùy ý.

Trang 107

riêng của (5), nên tất cả các định lý ở mục

trên đều áp dụng được cho (7); Do đó giải

phương trình (7) dựa vào các định lý

này.

Trang 109

Trường hợp 1: Δ >0, phương trình đặc

trưng có 2 nghiệm riêng biệt k1, k2 nên

phương trình thuần nhất (8) có 2 nghiệm độc lập tuyến tính là

Trang 110

Trường hợp 2: Δ = 0, phương trình đặc

trưng có 1 nghiệm kép (bội 2) k0, nên

phương trình thuần nhất (8) có nghiệm

Dễ dàng kiểm tra cũng là 1

nghiệm của (8) và 2 nghiệm này độc lập

tuyến tính Vậy nghiệm tổng quát của

phương trình (8) là

0

k x1

Trang 114

Nếu k=0 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (10) thì

nghiệm riêng y0(x) được tìm dưới dạng

y 0 (x)=Q(x)

Trong đó Q(x) là một đa thức cùng bậc với P(x)

Nếu k=0 là nghiệm bội s (s=1,2) của phương trình đặc trưng (10) thì

nghiệm riêng y 0 (x) được tìm dưới dạng

y 0 (x)=x s Q(x)

trong đó Q(x) là một đa thức cùng bậc với P(x)

Trang 116

Trường hợp 2: g(x)= e ax P(x)

Nếu k=a không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (10) thì nghiệm

Trong đó Q(x) là một đa thức cùng bậc với P(x)

Nếu k=a là nghiệm bội s (s=1,2) của phương trình đặc trưng (10) thì nghiệm

trong đó Q(x) là một đa thức cùng bậc với P(x)

Tiêu đề	Phép Tính Tích Phân
Người hướng dẫn	Nguyễn Thị Quỳnh Lan
Trường học	neu
Chuyên ngành	Toán cao cấp
Thể loại	bài giảng
Năm xuất bản	2021

Định dạng
Số trang	122
Dung lượng	0,99 MB