Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Phép tính vi phân hàm 1 biến cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm tại 1 điểm, đạo hàm phải - trái, hàm số đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm 2, đạo hàm của hàm ngược,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Trang 1

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM

MỘT BIẾN

CHƯƠNG 2

Đạo hàm tại một điểm

• Định nghĩa: Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký hiệu f’(a) là:

(nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn).

• Chú ý: đặt h=x-a, ta có:

x a

f a









h

f a

h





Ví dụ

tại a=2 theo định nghĩa

Ta xét giới hạn sau:

Vậy:

  2

f x x  x

2

 

0

lim

h



Đạo hàm phải – trái

• Đạo hàm trái của f(x) tại a là:

• Đạo hàm phải của f(x) tại a là:

f a



f a





Định lý

• Định lý:Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và

chỉ khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và

hai đạo hàm này bằng nhau

• Định lý:Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm

số liên tục tại a Chiều ngược lại có thể không

đúng



Ví dụ

• Cho hàm số:

Tìm

Ta có:

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0

  e01/x ,,x 00

f x

x



 





   

' 0 ; ' 0

1/

h

u h

u

f





 

Trang 2

Hàm số đạo hàm

• Với a cố định ta có:

• Thay a bằng x ta có:

• Với mỗi giá trị khác nhau của x ta tính được f’(x) nếu

giới hạn tồn tại hữu hạn Như vậy giá trị của f’(x) phụ

thuộc vào biến độc lập x nên có thể xem f’ là một hàm

theo x và gọi là đạo hàm của hàm f

  0    

h

f a

h





' lim

h



 



Hàm số đạo hàm

• Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x).

• Ký hiệu:

• Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao cho f’(x) tồn tại Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x).

 

'; ';df dy; ; d

dx dx dx

Ví dụ 1

• Tìm hàm số đạo hàm của hàm y=x2

• Ta có:

• Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc

TXĐ

• Vậy đạo hàm của hàm số:

     2 2

f x h f x x h x

x

Ví dụ 2

• Tìm đạo hàm của hàm:

• Ta có:

• Vậy:

• Chú ý: tập xác định của hàm f(x) là: [0; )

2

f x h f x x h x

f x

2

x

 

f x  x

Qui tắc tính đạo hàm 1

• Cho u, v là hai hàm theo x Khi đó đạo hàm theo x của

các hàm sau là:

• Đạo hàm dạng:u v

• Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số:

' '

u u v u v iii u v u v u v iv



 

' ln

u u v u v

u

v

yu

Qui tắc tính đạo hàm 2

• Đạo hàm của hàm hợp:

• Ví dụ: Hàm là hàm hợp của 2 hàm:

Vậy:

 

y f g x  y  f g 

ln cos

  ln   ; cos 

f x  x g x  x

1

cos

x g x

x

Trang 3

Công thức tính đạo hàm 1

 

1

2

3.

1

4 ln

1

7 tan

cos

1

8 cot

sin

x

x x

x

   



 



 

Đạo hàm hàm hợp

 

2

1

5 sin ' cos

1

cos 1

s

'

in

e e u

u

u u

 





 





Công thức tính đạo hàm 2

 

2

1

10 log

ln 1

11 arcsin

1 1

12 arccos

1 1

13 arctan

1 1

14 arc cot

1

a

x

x a x

x x

x x x

 





 



 



 









Đạo hàm hàm hợp

 

9.

10 log

11 arcsin

12 arccos

13 arctan

14 arc cot

u

a

a u u u u u

 



 

Ví dụ

• Tìm f’(x) biết:

• Ta có:

  ln 3

1 cos

x

e

f x

x





1

ln 1 cos 3

y



Ví dụ

• Tìm f’(x) biết:

• Ta có:

• Vậy:

  3 14 27

sin

x



2

4

3

1



2

3 4 7

2 4 7 cos

si n 1 3 sin

x x

x y

x

     







Hàm số cho bởi tham số

• Hàm số y=f(x) thỏa điều kiện:

• Khi đó hàm số đã cho gọi là hàm cho bởi phương trình

tham số.

Đặt: ta có dạng tham số sau:

 

x x t

y y t

 



 



ln x y x



t

x e

t

x e t y e

 



 



Công thức đạo hàm tham số

• Cho hàm y=f(x) dạng tham số:

• Khi đó:

• Ví dụ:

 

x x t

y y t

 



 



/ /

t x

t

y

dy dy dt y



1 1

t t

t

x e t y e t

e y

  



  







t

x

e

 



 



Trang 4

Đạo hàm của hàm ngược

• Hàm số có hàm ngược là:

• Khi đó:

• Ví dụ 1: Hàm y=arctanx có hàm ngược x=tany

 

1

x  f y

x

y

 

y  f x

Đạo hàm của hàm ngược

• Ví dụ 2: Hàm y=arcsinx có hàm ngược x=siny

• Ví dụ 3: Hàm y=arccosx có hàm ngược x=cosy

cos 1 sin 1

x y

y

    

0

x y

y

do y 

Hàm ẩn

trình F(x,y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳng

thức đúng

• Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b)

• Ví dụ: Phương trình:

xác định hai hàm ẩn:

2

 

2

 

Đạo hàm hàm ẩn

• Cho phương trình: F(x;y)=0

• Để tính: y’x

• B1 Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x

Chú ýy là hàm theo x

• B2 Giải phương trình tìm y’

• B3 Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình

Ví dụ: Cho phương trình:

Tính đạo hàm của y theo x

• B2 Giải tìm y’

 3 ln 2 y 0

x

2 2

3 2

'

1

'

y y

ye

y

x ye

y



 



3x y 2x.e y e y.y' x 0 *

y

• B3 Tính y’(0)

• Ta có:

• Thay x=0 và y(0)=1 vào ta có:

 

y

     

2 2

3 2 '

1

y y

y

x ye







1 1

0 0

3 2 .

1

0 1

e y

e



Trang 5

Đạo hàm cấp cao

• Cho f là hàm khả vi Đạo hàm (nếu có) của f’ gọi

làđạo hàm cấp 2của hàm số f(x)

• Ký hiệu:

• Đạo hàm cấp 3của hàm f là đạo hàm của đạo

hàm cấp 2

 

  

     

 

 

  

     

 

• Đạo hàm cấp ncủa hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1)

• Ví dụ: Cho hàm:

Tìm đạo hàm cấp n của hàm số

Giải:

1



 

  

   

 

  .x

   .x . x x .x  1 x

• Ta có:

• Tương tự:

• Tổng quát:

   1 x x  1 x  2 x

 n    x

Đạo hàm cấp cao thường gặp

        

 

  

      

  

1

1 !

2

n n

ax n ax

n

n n

iii e a e

n

iv x

x









 





 

Chú ý

   

1

1 !

2

n

n n

n

iv ax b

ax b

a a







Ví dụ

• Tính đạo hàm cấp n của:

1

x x



Trang 6

Đạo hàm cấp cao hàm ẩn

• Đạo hàm 2 vế theo x:

• Do đó:

• Thay y’ vào:

7

48x

y y

   3

3

y

2

x x y x y y

y





 

3

2

3

48

x

x y

y



 

Đạo hàm cấp cao tham số

• Ta đã biết:

• Theo công thức đạo hàm hàm hợp:

• Do đó:

 

t x t

y

 

   

 



x t x x t x t x

t

y

x



      



 3

.

x

t

y

x

    

 



Ví dụ

• Tìm y’’ biết:

• Ta có:

• Vậy:

2

sin

 



 



cos ; sin

    

   

2 ;

cos

2 cos 2 sin 2 cos 2 sin

cos cos

x

t

y

t

y

t t

 

Công thức Leibnitz

• Dễ thấy:

• Mở rộng:

 

   

          

0

n

n k





Gần giống khai triển nhị thức Newton

Ví dụ

• Tính đạo hàm:

VI PHÂN

• Vi phân tại một điểm

• Vi phân trên một khoảng

• Ứng dụng vi phân tính gần đúng

Trang 7

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Vi phân tại một điểm

• Định nghĩa Hàm số f(x) gọi là khả vi tại x0nếu:

: hằng số hữu hạn

VCBù bậc cao hơn

Người ta còn ký hiệu là

0

h

A

h

h x





• Cho hàm f khả vi tại x0 Khi đĩA.hgọi làvi phân

củahàm số f(x) tại x0

Ký hiệu:

Định lý:Hàm y= f(x) khả vi tại x0khi và chỉ khi tồn tại f’(x0)

Ta chứng minh được:

 

 00

.

df x A h



 0

'

Af x

• Vi phân của hàm số f(x)tại x0

• Tính chất:

 00  00



 

2

)

) )

)

i d C

iii d f g df dg

iv d fg gdf fdg

f gdf fdg

v d



  

 

 

Vi phân của hàm hợp

• Cho hàm hợp:

• Vi phân:

• Hai cơng thức này cĩ dạng giống nhau

• Vậy vi phân cấp 1 cĩ tính bất biến

 

f u x hay f u x

 .     ' ' .

df f x dx f u u x dx f u du

Ứng dụng vi phân

0

y

0

x x0 x

 0

f x

 0 

f x  x

x



f



 0

f x x

 0

Ứng dụng vi phân tính gần đúng

• Cho hàm f(x) khả vi trong lân cận của x0 Ta cĩ:

• Hay cơng thức:

 0   0 ' 0

f x  x f x f x x

   0 '  0 0

f x f x f x xx

Trang 8

Ví dụ

• Cho hàm số:

a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1

b) Tính gần đúng:

Giải:

4, 03

4 4

2 1 3



Ví dụ

• Cho hàm số:

a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 b) Tính gần đúng:

Giải:

Nếu tính bằng máy tính:

4, 03

     

1

4

4, 03  2, 00748599

Vi phân cấp cao

• Vi phân cấp 1:

• Là một hàm theo x Nếu hàm số này có vi phân thì vi

phân này gọi là vi phân cấp 2 của hàm f(x).

• Vậy:

• Tương tự vi phân cấp n là vi phân của vi phân cấp

(n-1).

df x f x dx

 

2

'

 

   1   n  .

Vi phân cấp cao của hàm hợp

• Cho hàm hợp: f(g(x))

• Vi phân cấp 2:

 

       

2

' ' '

   

d f x f x dx

CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI

• Định lý về giá trị trung bình (tham khảo)

• Công thức Taylor

• Qui tắc L’ Hospitale

Định lý Fermat

• Cho hàm số y=f(x) xác định trong lân cận x0

• Nếu f(x) đạt cực đại tại x0và có đạo hàm tại x0 thì:

 0

Trang 9

Định lý Rolle

• Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b)

và f(a)=f(b) thị tồn tại điểm c thuộc (a,b) sao

cho f’(c)=0

• Đặc biệt nếu f(a)=f(b)=0 thì định lý Rolle có

nghĩa giữa hai nghiệm của hàm số có ít nhất

một nghiệm của đạo hàm

Định lý Lagrange

• Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c thuộc (a,b) sao cho:

    ' 

f c







Định lý Cauchy

• Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong

(a,b) và g(x) khác 0 trên (a,b) thì tồn tại c thuộc

(a,b) sao cho:

   

       

' '







Công thức Taylor

• Khai triển một hàm số phức tạp thành dạng đơn giản

• Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức

• Ví dụ: khai triển Taylor tại x=0

 

2

n



Công thức Taylor

Cho hàm số f(x):

• Liên tục trên [a,b]

• Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b)

• Xét x0(a,b) Khi đó trên [a,b] ta có:

2

1

1 0



Phần dư trong công thức Taylor

• Dạng Lagrange:

• Dạng Peano: (thường dùng hơn)

  

1

1 0

1 !

n

n n

n



 0

n x

R

x x

Trang 10

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Cơng thức Maclaurin

Cho hàm số f(x):

• Liên tục trên [a,b]

• Cĩ đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b)

• Xét x0=0 (a,b) Khi đĩ trên [a,b] ta cĩ:

 

  ' 0  " 0  2   0  

n

f x

n



Cơng thức L’Hospital

• Áp dùng tìm giới hạn dạng:

 

Định lý: Cho giới hạn: có dạng

0

f x

g x







0; 0



 

     

L



Ứng dụng hàm liên tục

• Định lý Weierstrass

• Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nĩ

đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [a;b],

tức là tồn tại x1, x2 ∈ ; sao cho:

[ , ] [ , ]

( ) max ( ) ( ) min ( )

x a b



• Định lý giá trị trung gian

• Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)≠f(b) Khi đĩ lấy một giá trị c bất kỳ nằm giữa f(a) và f(b) thì tồn tại x0∈ ( ; )sao

•

 0

• Hệ quả Định lý giá trị trung gian

• Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và

f(a).f(b)<0 thì tồn tại x0∈ ( ; ) sao cho f(x0)=0

• Tức là phương trình f(x)=0 cĩ ít nhất một

nghiệm thuộc (a;b)

• Cho mơ hình cân bằng thị trường QS=QD Trong đĩ:

• Chứng minh rằng mơ hình trên cĩ giá cân bằng thuộc khoảng (3;5)

2

P



Trang 11

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

• 1 Ý nghĩa của đạo hàm

• 2 Giá trị cận biên

• 3 Hệ số co dãn

• 4 Lựa chọn tối ưu trong kinh tế

1 Ý nghĩa của đạo hàm

• Cho hàm số y=f(x)

• Tại x0khi x thay đổi một lượng Δx

• Thì y thay đổi: Δy = f(x0+ Δx)-f(x0)

• Tốc độ thay đổi của y theo x tại điểm x0chính là đạo hàm f’(x0)

' lim

x

 

  





'

y

x



• Ví dụ 1 Hàm cầu của một loại hàng hóa là

p=50-Q2

• Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi

• Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=1

• Ví dụ 2 Hàm cầu của một loại hàng hóa là

= 45 − 2

• Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi

• Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=4

2 Giá trị cận biên

• Đo tốc độ thay đổi của y theo x, ký hiệu My(x)

• Ta thường chọn xấp xỉ ( ) ≈ ∆ tức là

My(x) gần bằng lượng thay đổi của y khi x thay

đổi một đơn vị ∆ =1

Giá trị cận biên của chi phí

• Cho hàm chi phí C=C(Q)

• Hàm cận biên của chi phí: MC(Q)=C’(Q)

• Lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên 1 đơn vị

Trang 12

Ví dụ

• Giả sử chi phí trung bình để sản xuất một sản

phẩm là:

• A) Xác định hàm tổng chi phí để sản xuất ra Q

sản phẩm

• B) Tìm giá trị cận biên của hàm chi phí Nêu ý

nghĩa khi Q=50

Q

Giá trị cận biên của doanh thu

• Cho hàm doanh thu R=R(Q)

• Hàm cận biên của doanh thu: MR(Q)=R’(Q)

• Lượng thay đổi của doanh thu khi Q tăng lên 1 đơn vị

Ví dụ

• Số vé bán được Q và giá vé p của một hãng xe

bus được cho bởi công thức:

• A) Xác định hàm tổng doanh thu

• B) Xác định doanh thu cận biên khi p=30 và

p=32

Độ thay đổi tuyệt đối và tương đối

• Định nghĩa: khi đại lượng x thay đổi một lượng

Δx thì ta nói:

• Δx là độ thay đổi tuyệt đối của x

• Tỷ số ∆ 100% gọi là độ thay đổi tương đối của x

Hệ số co dãn

• Hệ số co dãn của y theo x là tỷ số giữa độ thay

đổi tương đối của y và của x thay đổi một lượng

Δx

• Ký hiệu:

• Thể hiện % thay đổi của y khi x thay đổi 1%

 

'

/

y

x

f x

Ví dụ

• Cho hàm cầu Q=30-4p-p2 Tìm hệ số co dãn khi p=3

Trang 13

Lựa chọn tối ưu trong kinh tế

• Trong kinh tế ta quan tâm các bài toán sau:

• + Tìm p để sản lượng Q đạt tối đa

• + Tìm p hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa

• + Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu)

• Ta đưa các bài toán trên về dạng tìm cực trị của

hàm một biến số đã học

Ví dụ 1

• Cho hàm cầu Q=300-p, hàm chi phí C=Q3 -19Q2+333Q+10

• Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất

Ví dụ 2

• Cho hàm cầu Q=100-p, hàm chi phí C=Q3

-25Q2+184Q+15

• Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	265,6 KB