Bài giảng toán cao cấp 2 (giải tích) chương 3 vi phân hàm nhiều biến

VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾNNỘI DUNG 1 Đạo hàm riêng và vi phân hàm hai biến 2 Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao... 3.2.1 Đạo hàm riêng và vi phân hàm hai biếnVi phân toàn phần Cho hàm

Bài giảng

TOÁN CAO CẤP A2, C2

Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

NỘI DUNG

3-1 Giới hạn và liên tục

3-2 Vi phân hàm nhiều biến

3-3 Cực trị hàm nhiều biến

3.1.1 Giới thiệu không gian Euclide n chiều

3.1.2 Hàm nhiều biến

Định nghĩa

Ánh xạ f : Rn →R gọi là hàm số n biến thực, hay gọi tắt là hàm n biến Hàm

n biến có thể chỉ xác định trên một tập hợp con D(f) ⊂ Rn

G(f) = (x,y,f(x,y)) ∈R3 : (x,y) ∈ D(f)

Ví dụ 1.

Đồ thị hàm z = p1−x2−y2 là nửa trên mặt cầu tâm O, bán kính 1

Hình:

4 Hai mặt phẳng song song: x2 = 1

5 Hai mặt phẳng giao nhau: xy = 0

3.1.4 Giới hạn của hàm nhiều biến

Định nghĩa: Giới hạn của của dãy điểm trong R2

Ta nói dãy điểm {Mk(xk,yk)}k =1,2, ⊂ R2 dần đến M0(x0 ,y0) khi k dần ra

vô cùng nếu lim

k →∞d (Mk,M0) =0

Kí hiệu: lim

k →∞(xk,yk) = (x0 ,y0)

Định nghĩa: Giới hạn của hàm số

Hàm f(x,y) có giới hạn là a khi M tiến đến M0 ta viết f(M) →a khi

3.1.4 Giới hạn của hàm nhiều biến

3.1.4 Giới hạn của hàm nhiều biến

Ta chứng minh không tồn tại giới hạn nói trên

Thật vậy, xét hai dãy điểm cùng hội tụ đến điểm (0,0) khi n → ∞ là:

3.1.5 Hàm số liên tục

Định nghĩa:

Cho hàm số y =f(x,y) xác định trên tập D ⊂ R2 và (x0 ,y0) ∈ D Ta nói

f(x,y) liên tục tại (x0 ,y0) nếu lim

x → x0

y → y0

f(x,y) =f (x0 ,y0)

3.1.5 Hàm số liên tục

Tính chất

1 lim

( x,y )→( a,b )[f(x,y) ±g(x,y)] = lim

( x,y )→( a,b )f ± lim

( x,y )→( a,b )g

2 lim

( x,y )→( a,b )[f(x,y) ·g(x,y)] = lim

( x,y )→( a,b )f · lim

( x,y )→( a,b )f = lim

( x,y )→( a,b )h = M, thì lim

( x,y )→( a,b )g =M

xy 2

y 2

= |x|, mà lim x → 0

y → 0

|x| = 0 do đólimx→ 0

y → 0 f(x,y) = 0 Vậy để hàm số liên tục tại (0,0) thì a = 0

3.2 VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

NỘI DUNG

1 Đạo hàm riêng và vi phân hàm hai biến

2 Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao

3.2.1 Đạo hàm riêng và vi phân hàm hai biến

Đạo hàm riêng

Định nghĩa

Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên tập mở D ⊂ R2 và (x0 ,y0) ∈ D.Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

3.2.1 Đạo hàm riêng và vi phân hàm hai biến

3.2.1 Đạo hàm riêng và vi phân hàm hai biến

3.2.1 Đạo hàm riêng và vi phân hàm hai biến

3.2.1 Đạo hàm riêng và vi phân hàm hai biến

Vi phân toàn phần

Cho hàm số z =f(x,y) xác định có các đạo hàm riêng liên tục D Khi đó, viphân toàn phần của hàm số z = f(x,y) trênD, kí hiệu dz hay df được chobởi biểu thức

3.2.1 Đạo hàm riêng và vi phân hàm hai biến

Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp

Cho z = f(x,y) trong đó x = x(t),y = y(t) Khi đó, hàm hợp

z = f(x(t),y(t)) có đạo hàm riêng theo biến t, được cho bởi công thức

3.2.1 Đạo hàm riêng và vi phân hàm hai biến

Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp

Cho z = f(x,y) trong đó x = x(u,v),y = y(u,v) Khi đó, hàm hợp

z = f(x(u,v),y(u,v)) có đạo hàm riêng theo biến u,v, được cho bởi côngthức

3.2.1 Đạo hàm riêng và vi phân hàm hai biến

Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp

3.2.1 Đạo hàm riêng và vi phân hàm hai biến

Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp

Cho z = f(x) trong đó x = x(u,v) Khi đó, hàm hợp z = f(x(u,v)) cóđạo hàm riêng theo biến u,v, được cho bởi công thức

dz(u,v) = ∂z

∂x ·dx(u,v) +

∂z

∂y ·dy(u,v) = zx0dx(u,v) +zy0dy(u,v)

3.2.1 Đạo hàm riêng và vi phân hàm hai biến

Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn

Nếu phương trìnhF(x,y) xác định một hàm y = y(x) trong một lân cận củađiểm x0, được gọi là hàm ẩn cho bởi phương trình F(x,y) = 0

Khi đó, đạo hàm theo biến x hai vế của phương trình F(x,y(x)) =0 ta được

3.2.1 Đạo hàm riêng và vi phân hàm hai biến

3.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao

Đạo hàm riêng cấp cao

Định nghĩa

Tương tự hàm một biến, nếu hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng

∂f

∂x, ∂ ∂fy, thì các đạo hàm riêng này cũng là hàm theo hai biến Do đó, ta có

thể tiếp tục lấy đạo hàm riêng (được gọi là đạo hàm riêng cấp hai)

1 Đạo hàm hai lần theo x được gọi là đạo hàm riêng cấp hai theo biến x

3.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao

Đạo hàm riêng cấp cao

3.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao

3.3 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

NỘI DUNG

1 Cực trị địa phương (tự do)

2 Cực trị có điều kiện

3.3.1 Cực trị địa phương (tự do)

Định nghĩa

Cho hàm số z = f(x,y) xác định tại (x0 ,y0) Ta nói

1 f đạt cực đại địa phương tại (x0 ,y0) nếu với mọi điểm (x,y) khá gần(x0 ,y0) ta có f(x,y) < f(x0 ,y0)

2 f đạt cực tiểu địa phương tại (x0 ,y0) nếu với mọi điểm (x,y) khá gần(x0 ,y0) ta có f(x,y) > f(x0 ,y0)

Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương

3.3.1 Cực trị địa phương (tự do)

Định lí (điều kiện cần của cực trị)

Nếu hàm z =f(x,y) có cực trị địa phương tại (x0 ,y0) và giả sử các đạo hàmriêng cấp một f0

3.3.1 Cực trị địa phương (tự do)

Quy tắc tìm cực trị của hàm z = f(x, y) (có các đạo hàm riêng hữu hạn)

Bước 1 Tính các đạo hàm riêng

Bước 2 Giải hệ phương trình sau để tìm các điểm dừng

3.3.1 Cực trị địa phương (tự do)

Quy tắc tìm cực trị của hàm z = f(x, y) (có các đạo hàm riêng hữu hạn)

Bước 3 Ứng với mỗi điểm dừng (x0 ,y0), ta đặt

A = f00

xx(x0 ,y0),B =f00

xy (x0 ,y0),C = f00

yy(x0 ,y0),∆ =AC −B2

1 Nếu ∆ >0 thì f đạt cực trị địa phương tại (x0 ,y0)

A > 0 thì đạt cực tiểu địa phương tại (x0 ,y0)

A < 0 thì f đạt cực đại địa phương tại (x0 ,y0)

2 Nếu ∆ <0 thì không đạt cực trị địa phương tại (x0 ,y0)

3 Nếu ∆ =0 thì ta chưa có kết luận gì Cần sử dụng định nghĩa để xét

3.3.1 Cực trị địa phương (tự do)

Quy tắc tìm cực trị của hàm z = f(x, y) (có các đạo hàm riêng hữu hạn)

3.3.2 Cực trị có điều kiện

Định nghĩa

Cho hàm số z = f(x,y) với điều kiện ràng buộcϕ(x,y) =0 Ta nói

1 f đạt cực đại tại (x0 ,y0) với điều kiệnϕ(x,y) = 0 nếu với mọi điểm(x,y) thỏa mãn ϕ(x,y) =0 và khá gần (x0 ,y0) ta có

3.3.2 Cực trị có điều kiện

Trường hợpϕ( x, y ) = 0 rút được x theo y hoặc y theo x

Ví dụ 11.

Tìm cực trị của hàm số z = 1−x2−y2 với điều kiện x +y =1

Ta có y =1−x, thay vào ta được z = 1−x2− (1−x)2 = 2 x −x2

⇒ z0 = 2(1−2x) = 0⇔ x = 1

2



y = 12



Ta thấy z = 2 x −x2

đạt cực đại tại x = 12. Do đó z =f(x,y) đạt cực đạitại 12,12

3.3.2 Cực trị có điều kiện

Trong trường hợpϕ( x, y ) = 0 không tính được x theo y hoặc y theo x

Bước 1 Lập hàm Lagrange L(x,y) = f(x,y) +λϕ(x,y) (λ là tham sốđược thêm vào)

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 3

Bài tập 1.

Cho hàm ẩn y =f(x) xác định bởi phương trình

1+xy −ln exy +e− xy

= 0 Tính y0.Bài tập 2.

Cho hàm ẩn y = f(x,y) xác định bởi phương trình x3+y3+z3+6xyz = 1.Tính z0

3 .2. 2 Đạo hàm riêng cấp cao vi phân cấp cao< /small>

Đạo hàm riêng cấp cao< /small>

Định nghĩa

Tương tự hàm biến, hàm số z = f(x,y)... class="text_page_counter">Trang 33

3 .2. 1 Đạo hàm riêng vi phân hàm hai biến< /small>

Đạo hàm riêng vi phân hàm ẩn

Nếu... Đạo hàm riêng vi phân hàm hai biến

2< /small> Đạo hàm riêng cấp cao vi phân cấp cao

3 .2. 1