Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - Nguyễn Văn Tiến (2017)

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm tại một điểm, đạo hàm phải – trái, ý nghĩa đạo hàm tại điểm, hàm số đạo hàm, đạo hàm của hàm ngược,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Trang 1

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

CHƯƠNG 2

Đạo hàm tại một điểm

• Định nghĩa: Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký hiệu f’(a) là:

(nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn).

• Chú ý: đặt h=x-a, ta có:

x a

f a









h

f a

h





Ví dụ

• Tìm đạo hàm của hàm:

tại a=2 theo định nghĩa

Ta xét giới hạn sau:

Vậy:

2

 

0

lim

h



Đạo hàm phải – trái

• Đạo hàm trái của f(x) tại a là:

• Đạo hàm phải của f(x) tại a là:

f a



f a





Định lý

• Định lý:Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và

chỉ khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và

hai đạo hàm này bằng nhau

• Định lý:Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm

số liên tục tại a Chiều ngược lại có thể không

đúng

f a L  f a  f a L

x a



Ví dụ

• Cho hàm số:

Tìm

Ta có:

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0

  e01/x ,,x 00

f x

x



 





   

' 0 ; ' 0

1/

h

u h

u

f





 

Trang 2

Ý nghĩa đạo hàm tại điểm

• Ta có:

• Là hsg của tiếp tuyến tại

điểm (a;f(a)).

• f’(a+): hsg của nửa tiếp

tuyến bên phải điểm (a;

f(a))

• f’(a-): hsg của nửa tiếp

tuyến bên trái điểm (a;

f(a))

• Thể hiện tốc độ biến thiên

của hàm số tại a.

  0    

h

f a h f a

f a

h



Hàm số đạo hàm

• Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x).

• Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao cho f’(x) tồn tại Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x).

• Ký hiệu:

 

Lagrange : '; ' Leibnitz : ; ; Cauchy : ;

f y

df dy d

f x

dx dx dx

Dy Df x

Ví dụ 1

• Tìm (hàm số) đạo hàm của hàm y=x2

• Ta có:

• Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc

TXĐ

• Vậy đạo hàm của hàm số:

     2 2

f x h f x x h x

x

' 2

y  x

Qui tắc tính đạo hàm 1

• Cho u, v là hai hàm theo x Khi đó đạo hàm theo x của các hàm sau là:

• Đạo hàm dạng:u v

• Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số:

i u v u v ii ku k u

u u v u v iii u v u v u v iv



 

u u v u v

u

v

yu

Qui tắc tính đạo hàm 2

• Đạo hàm của hàm hợp:

Vậy:

 

y  f g x  y  f g 

ln cos

y x

f x  x g x  x

1

cos

x g x

x

Ví dụ

• Tìm f’(x) biết:

• Ta có:

• Vậy:

sin

x



2

4

3

1



2

3 4 7

2 4 7 cos ' 1 .

x x

x y

x

     







Trang 3

Đạo hàm của hàm ngược

• Định lý Giả sử hàm y=f(x) khả vi liên tục trên

đoạn (a,b) và f’(x)≠0 trên (a;b)

• Khi này có hàm ngược: x=g(y) hay x=f-1(y)

• Chú ý:

      

 

f a b f a f b

x f x y







   

 

1

g f a f b a b







Đạo hàm của hàm ngược

• Khi đó:

• Ví dụ 1: Hàm y=arccotx có hàm ngược x=cotny

1

x y

y

Ví dụ

• Ví dụ 2: Hàm y=arcsinx

• Ta có:

• Ta biết:

• Vậy:

2

'

x y

y



Hàm ẩn

• Hàm y=f(x) với x(a;b) là hàm ẩn cho bởi phương trình F(x,y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳng thức đúng

• Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b)

• Ví dụ: Phương trình:

xác định hai hàm ẩn:

F x y x y 

2

y  x x  

 

2

y   x x  

 

Đạo hàm hàm ẩn

• Cho phương trình: F(x;y)=0

• Để tính: y’x

• B1 Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x

Chú ýy là hàm theo x

• B2 Giải phương trình tìm y’

• B3 Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình

Ví dụ: Cho phương trình:

Tính đạo hàm của y theo x

x  yx e 

• B1 Lấy đạo hàm theo x

• B2 Giải tìm y’

 3 ln 2 y 0

x

x  yx e  

2

* 3 2 0

3 2 1 0

3 2

'

1

'

y y

x y xy e x ye

x y xy e x

ye

x y xy e y

x ye

y

    

    



 



3x y 2x.e y e y.y' x 0 *

y

    

Trang 4

• B3 Tính y’(0)

• Ta có:

• Thay x=0 và y(0)=1 vào ta có:

 

0 ln 0 1 0

y

x y x e

  

     

2

3 2 '

1

y y

x y xy e y

x ye







1 1

3 2 .

1

0 1

e y

e



Vi phân

Cho yf x  và  x x2 x1 ta có:  y y2 y1 f x 1  x f x  1

0

' lim

h

f x h f x

f x

h

f x



 



   

 

'

Vi phân của f(x)

Vi phân của hàm số

• Vi phân của hàm số y=f(x) là biểu thức:

• Ký hiệu vi phân là dy hay df Do đó:

• Vi phân là một hàm số, phụ thuộc 2 biến là x và

Δx

 

'

f x  x

 

f

Vi phân của hàm số

• Nếu y=f(x)=x thì:

• Như vậy ta thường ghi dx=Δx Do đó:

• Điều này giải thích tại sao ta còn ký hiệu đạo hàm là dy/dx

dy f x dx f x

dx

 

dx f x  x x   x x

Ý nghĩa vi phân

• Tính xấp xỉ giá trị hàm số khi biến độc lập thay

đổi một lượng khá nhỏ

• hay

 0   0 ' 0

   0 '  0 0

Ví dụ

• Cho hàm số:

a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 b) Tính gần đúng:

Giải:

f x  x

4, 03

2 3 2 3

   

4 4

2 1 3

df  dx  dx x



Trang 5

Ví dụ

• Cho hàm số:

a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1

b) Tính gần đúng:

Giải:

Nếu tính bằng máy tính:

f x  x

4, 03

     

1

4

f x f x

Vi phân của hàm hợp

• Xét hàm số:

• Ta có:

• Giả sử x là hàm số theo biến t, chẳng hạn x=g(t)

• Khi này hàm số y có thể đưa về theo t Do đó:

• Ta có:

• Do đó vi phân cấp 1 có tính bất biến

 

y f x

'x

't

dyf dt

' t ' ' x t ' x

Ví dụ

• Cho hàm số Hãy tìm dy?

• Hãy tính:

1 ln 1

x x e y e







cos

? sin

ĐỊNH LÝ CƠ BẢN HÀM KHẢ VI

• Cực trị địa phương

• Định lý Ferma

• Định lý Rolle

• Định lý Lagrange

• Định lý Cauchy

Cực trị địa phương

• Cho hàm y=f(x) xác định trong khoảng (a,b)

• Xét điểm c thuộc (a,b)

• Hàm số đạt cực đại địa phương tại c nếu tồn tại

số δ>0 sao cho: f(x)≤f(c) với mọi x thuộc (c- δ;c+

δ)

• Hàm số đạt cực tiểu địa phương tại c nếu tồn

tại số δ>0 sao cho: f(x)≥f(c) với mọi x thuộc

(c-δ;c+ δ)

• Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị

Cực trị địa phương

Các điểm cực trị địa phương của hàm số là???

Trang 6

Định lý Fermat

• Cho hàm số y=f(x) xác định trong lân cận c

• Nếu f(x) đạt cực trị tại c và có đạo hàm tại c thì:

 

f c 

Định lý Rolle

• Hàm f(x) liên tục trên [a,b],

• Hàm f(x) khả vi trên (a,b)

• f(a)=f(b)

• Khi đó: tồn tại ít nhất một điểm c thuộc (a,b) sao cho f’(c)=0

• Đặc biệt nếu f(a)=f(b)=0 thì định lý Rolle có nghĩa giữa hai nghiệm của hàm số có ít nhất một nghiệm của đạo hàm

Định lý Lagrange (ĐL số gia hữu hạn)

• Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì

tồn tại c thuộc (a,b) sao cho:

• Trên dây cung AB tìm

được tiếp tuyến song song

với AB

'

f c







Định lý Cauchy

• Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và g(x) khác 0 trên (a,b) thì tồn tại c thuộc (a,b) sao cho:

       

' '







Ví dụ

• Cho hàm số:

• Tìm giá trị trung gian c của công thức số gia hữu

hạn đối với hàm số f(x) trên đoạn [0;2]

 

2

3 , 0 1 2

1 , 1

x x

f x

x x

 

  



 

   



Đạo hàm, vi phân cấp cao

• Đạo hàm cấp cao

• Vi phân cấp cao

• Công thức Taylor

Trang 7

Đạo hàm cấp cao

• Cho f là hàm khả vi Đạo hàm (nếu có) của f’ gọi

làđạo hàm cấp 2của hàm số f(x)

• Ký hiệu:

• Đạo hàm cấp 3của hàm f là đạo hàm của đạo

hàm cấp 2

d df d f

f f

dx dx dx

 

  

     

 

  d d f22 d f33

f f

dx dx dx

 

  

     

 

• Đạo hàm cấp ncủa hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1)

• Ví dụ: Cho hàm:

Tìm đạo hàm cấp n của hàm số

Giải:

     1

1

d d f d f

f f

dx dx dx



 

  

   

 

f x x e

f x  x e x e e x e  x e

• Ta có:

• Tương tự:

• Tổng quát:

f x x e e  x e  x e

 

 

3 x; 4 x

f x  x e f x  x e

f x  xn e

Đạo hàm cấp cao thường gặp

 

  

      

  

1

1 !

2

n n

ax n ax

n

n n

iii e a e

n

iv x

x

v ax a ax n

vi ax a ax n

  









 





 

Chú ý

   

1

1 !

2

n

n n

n

iv ax b

ax b

v ax b a ax b n

vi ax b a ax b n

a a

  







Ví dụ

• Tính đạo hàm cấp n của:

1

a f x b g x

x x



Trang 8

Công thức Leibnitz

• Dễ thấy:

• Mở rộng:

 

.

2

f g f g g f

f g f g g f f g f g f g

   

         

0

n

n k k n k

n k

f g C f g 





Gần giống khai triển nhị thức Newton

Ví dụ

• Tính đạo hàm cấp 3 của:

• Đặt

• Ta có:

• Thay thế ta có:

• Đạo hàm cấp 10 của y là???

 2 1 sin

y x  x

 2 1 ; g sin

f  x   x

3 ' 3 '

y f g f g  f g f g

6 cos 6 sin 1 cos

y  x x x x  x

Ví dụ

• Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số sau

' 3

yx f xa  f ax

Vi phân cấp cao

• Cho f là hàm số khả vi cấp n

• Vi phân cấp 2 của hàm f, ký hiệu: d2f xác định bằng công thức sau:

• Tổng quát, vi phân cấp n của hàm f:

 

2

 1 

Vi phân cấp cao

• Vi phân cấp 2: x là biến độc lập dx như hằng số

• Vi phân cấp 2: x là biến phụ thuộc dx biến thiên

• Vi phân cấp cao không có tính bất biến

 

2

'

d f x d df d f x dx

dx d f x dx f x dx f x dx

 

 

2

' ' ' ' '' ' ' ' '' '

xx t t x tt

d f x d df d f x dt dt d f x

dt f x x f x dt f x dx f x d x



Ví dụ

• Tính vi phân cấp 2 của:

• Giải.

) arctan ) arctan ; sin



2 2

2

2 )

1

1 1

x

x x

 



Trang 9

Công thức Taylor

• Nếu hàm f khả vi tại x0thì:

• Trong đó O(h) là vô cùng bé bậc cao hơn so với

h

• Công thức này cho ta cách tính giá trị f(x) trong

lân cận của điểm x0khi đã biết f(x0) và f’(x0)

• Vấn đề: nếu biết thêm các đạo hàm cấp cao của

hàm f(x) tại x0thì ta có thể tính chính xác hơn

giá trị hàm f(x) trong lân cận x0hay không?

f x h f x f x h h

Công thức Taylor

• Khai triển một hàm số phức tạp thành dạng đơn giản

• Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức

• Ví dụ: khai triển Taylor tại x=0

 

2

n



Công thức Taylor

Cho hàm số f(x):

• Liên tục trên [a,b]

• Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b)

• Xét x0(a,b) Khi đó trên [a,b] ta có:

• Với c là điểm nằm giữa x và x0

         

 

       

2

1

1 0

f x f x

f x f x x x x x

c

x



Phần dư trong công thức Taylor

• Dạng Lagrange:

• Dạng Peano: (thường dùng hơn)

  

1

1 0

1 !

n

n n

n



 0

n x

R

Công thức Maclaurin

Cho hàm số f(x):

• Liên tục trên [a,b]

• Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b)

• Xét x0=0 (a,b) Khi đó trên [a,b] ta có:

 

  ' 0  " 0  2   0  

n

f x

n



Ví dụ

• Khai triển Maclaurin các hàm số sau:

• Chú ý

) x ) sin ) ln 1 ) 1

a e b x c x d x 

 

1

2

!

1

n

k

n

x







Trang 10

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Khai triển hàm y=e x Ta cĩ:

• Thay vào cơng thức khai triển:

• Nhận xét: phải tính được đạo hàm cấp cao tại 0 của

hàm số cần khai triển.

f x e  f x e  f e  n

            

 

2

n

Khai triển Maclaurin

Cơng thức L’Hospital

• Áp dùng tìm giới hạn dạng:

 

Định lý: Cho giới hạn: có dạng

0

x a

f x

g x







0; 0



 

     

L



CÁC HÀM KINH TẾ

• Hàm chi phí

• Hàm thu nhập

• Hàm cung và hàm cầu

HÀM CHI PHÍ

• Tổng chi phí: (Total Cost – TC)

– Chi phí cố định (Fixed Cost – FC)

– Chi phí biến đổi(Variable Cost- VC)

• Ta cĩ: TC=f(Q), Q là sản lượng

• FC là chi phí một xí nghiệp nhất thiết phải trả dù khơng sản

xuất gì

• VC là chi phí tăng lên cùng với mức tăng của sản lượng

• Chi phí cận biên (Marginal Cost – MC) chi phí gia tăng để

sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm

• Chi phí bình quân (Average Cost – AC)

HÀM CHI PHÍ

• Ta cĩ:

Trang 11

Hàm thu nhập

• Tổng thu nhập

(Total Revenue –

TR)

• TR=f(Q)=P.Q

• Điểm hòa vốn

(Break – Even

Point): mức sản

lượng mà tại đó

TR=TC

Hàm lợi nhuận

• Lợi nhuận: Total Profit – TP

• Thường ký hiệu là π=TR-TC

Hàm cầu

• Thường gọi là đường cầu (Demanded Curve)

• Thể hiện tương quan giữa giá và lượng cầu của

một mặt hàng

• Ký hiệu: QD=f(P)

• Tương quan giữa giá và lượng cầu là nghịch

biến

Quan hệ giá và lượng cầu

• Giá tăng thì lượng cầu giảm và ngược lại

• Độ dốc của đường cầu phản ánh mức đáp ứng của lượng cầu với các thay đổi về giá

Hàm cung

• Thường gọi là đường cung (Supply Curve)

• Thể hiện tương quan giữa giá và lượng cung

của một mặt hàng khi các giá trị khác được giữ

nguyên

• Ký hiệu: QS=f(P)

• Tương quan giữa giá và lượng cung là đồng

biến

Quan hệ giá và lượng cung

• Giá tăng thì lượng cung tăng và ngược lại

• Độ dốc của đường cung phản ánh mức đáp ứng của lượng cung với các thay đổi về giá

Trang 12

Sự cân bằng cung cầu

• Thị trường cân bằng khi đường cung gặp đường

cầu Giao điểm của đường cung và đường cầu

là điểm cân bằng

• Ở điểm cần bằng ta có giá cân bằng và lượng

cân bằng

• Trên thực tế cung và cầu không phải lúc nào

cũng trong trạng thái cân bằng, nhưng xu lướng

các thị trường đều tiến tới cân bằng

Ứng dụng hàm liên tục

• Cho mô hình cân bằng thị trường QS=QD Trong đó:

• Chứng minh rằng mô hình trên có giá cân bằng thuộc khoảng (3;5)

2

P



ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

• 1 Ý nghĩa của đạo hàm

• 2 Giá trị cận biên

• 3 Hệ số co dãn

• 4 Lựa chọn tối ưu trong kinh tế

1 Ý nghĩa của đạo hàm

• Ví dụ 1 Hàm cầu của một loại hàng hóa là

p=50-Q2

• Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi

• Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=1

1 Ý nghĩa của đạo hàm

• Ví dụ 2 Hàm cầu của một loại hàng hóa là

= 45 − 2

• Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi

• Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=4

2 Giá trị cận biên

• Đo tốc độ thay đổi của y theo x, ký hiệu My(x)

• Ta thường chọn xấp xỉ ( ) ≈ ∆ tức là My(x) gần bằng lượng thay đổi của y khi x thay đổi một đơn vị ∆ =1

Trang 13

Giá trị cận biên của chi phí

• Cho hàm chi phí C=C(Q)

• Hàm cận biên của chi phí: MC(Q)=C’(Q)

• Lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên 1 đơn

vị

Ví dụ

• Giả sử chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là:

• A) Xác định hàm tổng chi phí để sản xuất ra Q sản phẩm

• B) Tìm giá trị cận biên của hàm chi phí Nêu ý nghĩa khi Q=50

0, 0001 0, 02 5

Q

Giải

• Hàm tổng chi phí để sản xuất Q đơn vị sản

phẩm:

• Giá trị cận biên của chi phí:

• Khi Q=50 thì MC(50)=3,75 Như vậy nếu Q tăng

lên 1 đơn vị (từ 50 lên 51) thì chi phí tăng lên

khoảng 3,75 đơn vị

0, 0001 0, 02 5 500

2

0, 0003 0, 04 5

dC

dQ

Giá trị cận biên của doanh thu

• Cho hàm doanh thu R=R(Q)

• Hàm cận biên của doanh thu: MR(Q)=R’(Q)

• Lượng thay đổi của doanh thu khi Q tăng lên 1 đơn vị

Ví dụ

• Số vé bán được Q và giá vé p của một hãng xe

bus được cho bởi công thức:

• A) Xác định hàm tổng doanh thu

• B) Xác định doanh thu cận biên khi p=30 và

p=32

Tiêu dùng và tiết kiệm cận biên

• Cho hàm tiêu dùng C=C(I) trong đó I là tổng thu nhập kinh tế quốc dân

• Xu hướng tiêu dùng cận biên MC(I) là tốc độ thay đổi của tiêu dùng theo thu nhập

• Hàm tiết kiệm: S=I-C

• Xu hướng tiết kiệm cận biên: MS(I)=1-MC(I)

Trang 14

Ví dụ

• Cho hàm tiêu dùng là:

• Xác định xu hướng tiêu dùng cận biên và xu

hướng tiết kiệm cận biên khi I=100

10

I C

I







Giải

• Ta có:

• Khi I=100 ta có:

 

3

2

10

MC I

I





Độ thay đổi tuyệt đối và tương đối

• Định nghĩa: khi đại lượng x thay đổi một lượng

Δx thì ta nói:

• Δx là độ thay đổi tuyệt đối của x

• Tỷ số ∆ 100% gọi là độ thay đổi tương đối

của x

Hệ số co dãn

• Hệ số co dãn của y theo x là tỷ số giữa độ thay đổi tương đối của y và của x thay đổi một lượng Δx

• Ký hiệu:

• Thể hiện % thay đổi của y khi x thay đổi 1%

 

'

/

y x

Ví dụ

• Cho hàm cầu Q=30-4p-p2 Tìm hệ số co dãn khi

p=3

• Giải

• Ta có:

• Vậy tại thời điểm P=3, nếu tăng giá 1% thì cầu

giảm 3,3%

 

Q

P

Q

P

P P





 

 

Lựa chọn tối ưu trong kinh tế

• Trong kinh tế ta quan tâm các bài toán sau:

• + Tìm p để sản lượng Q đạt tối đa

• + Tìm p hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa

• + Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu)

• Ta đưa các bài toán trên về dạng tìm cực trị của hàm một biến số đã học

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	373,09 KB