§1. Đạo hàm của hàm một biến §2.. Ý nghĩa của biên tế: cho biết xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến y khi biến x tăng thêm 1 đơn vị. b) Tìm chi phí biên tế tại mức sản lượng đơn [r]
Trang 1LOG O
Chương 2:
Đạo hàm và vi phân hàm một biến
GV Phan Trung Hiếu
§1 Đạo hàm của hàm một biến
§2 Hàm khả vi, vi phân của hàm số
§3 Đạo hàm và vi phân cấp cao
2
§1 Đạo hàm của hàm một biến
3
I Đạo hàm cấp một:
Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f(x) xác định trên
tính bởi
0
0 0
0
f x
x x
nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.
gọi là khả vi tại x0 f x ( )0
4
Trong định nghĩa trên, nếu đặt
0:
x x x
0
: Số gia của hàm số tại x0.
Khi đó
0
lim
h
h
Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số
2 ln(1 ) khi 0 ( )
x
tạix 0 0
Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)
0
0 0
0
( ) limx x f x f x
f x
x x
Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)
0
0 0
0
( ) ( ) ( ) limx x f x f x
f x
x x
Định lý 1.5
Định lý 1.6.
f(x) có đạo hàm tại x0 f(x) liên tục tại x0.
Ví dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số
( )
f x x tạix 0 0
Trang 2Ví dụ 1.4: Tìm a, b để hàm số
2
3 5 khi 1 ( )
khi 1
f x
ax b x
có đạo hàm tại
Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số
2 ( ) khi 0 ( )
khi 0
x
e x x x
f x
khả vi tại x 0 0
0 1
x
II Các công thức và quy tắc tính đạo hàm:
8
2.1 Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2
2
( )
( )
k u k u
u v u v
u v u v u v
u u v u v
2.3 Đạo hàm của hàm số hợp:
Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)] Khi đó
( ) u x
y x y u
2.2 Quy tắc tính đạo hàm: Với , ta có u u x v v x ( ), ( )
9
Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) yarctan x
b)y(arcsin )x 2
1
x
y
x
d)y e xarctanexln 1e2 x
e) y x( 21)x 3
f) y (1 ) 2x x2 33x3
III Ý nghĩa kinh tế của đạo hàm:
10
3.1 Biên tế (Giá trị cận biên-Marginal):
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D với x, y là các biến
số kinh tế, gọi x D0
Hàm số được gọi là hàm biên tế (hàm cận biên) của biến y.My f x ( )
Giá trị được gọi là biên tế (giá trị cận biên) của hàm số f(x) tại điểm xMy x( )0 f x( )0 0
3.2 Ý nghĩa của biên tế: cho biết xấp xỉ lượng
thay đổi giá trị của biến y khi biến x tăng thêm 1
đơn vị Cụ thể, ta có
0
( )
My x
0
( ) 0
My x có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì y sẽ tăng
0
( )
My x đơn vị
0
( ) 0
My x có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì y sẽ giảm
0
( )
My x
đơn vị
Ví dụ 1.6: Cho hàm tổng chi phí
2 0,1 0,3 100
a) Tìm hàm chi phí biên tế
b) Tìm chi phí biên tế tại mức sản lượng đơn
vị và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được.Q120
3.3 Độ thay đổi tuyệt đối và độ thay đổi tương đối:
Xét hàm số y = f(x) Khi biến số tăng từ x0đến x thì ta có -Độ thay đổi tuyệt đối của biến x tại x0là
0
x x x
Độ thay đổi tuyệt đối của biến x phụ thuộc vào đơn vị chọn để đo biến x
-Độ thay đổi tương đối của biến x tại x0là
0
x x
Độ thay đổi tương đối của biến x không phụ thuộc vào đơn vị chọn để đo biến x
Trang 33.4 Hệ số co dãn:hệ số co dãn của biến y theo biến x tại
x0là
0
0 ( ) ( ) ( )
yx x y x x
y x
3.5 Ý nghĩa của hệ số co dãn: cho biết xấp xỉ
độ thay đổi tương đối của biến y khi biến x tăng
tương đối lên 1% tại x0 Cụ thể, ta có
0
( )
yx x
0
( ) 0
yx x có nghĩa là có nghĩa là tại x = x0, khi x
tăng 1% thì y sẽ tăngyx( )%.x0
có nghĩa là có nghĩa là tại x = x0, khi x tăng 1% thì y sẽ giảm ( ) 00 yx( )%.x0
yx x
14
Dựa vào hệ số co dãn, người ta đưa ra các khái niệm sau:
Nếu thì hàm f được gọi là co dãn tạix0(hàm
số có phản ứng nhanh với sự thay đổi của biến số) Khi
đó, điểm (x0;y0) được gọi là điểm co dãn
Nếu thì hàm f được gọi là đẳng co dãn tạix0
Khi đó, điểm (x0;y0) được gọi là điểm đẳng co dãn (điểm co dãn đơn vị)
Nếu thì hàm f được gọi là không co dãn tại
x0(hàm số có phản ứng chậm với sự thay đổi của biến số) Khi đó, điểm (x0;y0) được gọi là điểm không co dãn
0 ( ) 1
yx x
0 ( ) 1
yx x
0 ( ) 1
yx x
15
Ví dụ 1.7: Cho hàm cầu Tính hệ số co
dãn của cầu theo giá tại các mức giá P = 100; P =
200 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được
600 2
16
I Vi phân cấp một:
Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là
( ) ( )
dy y dx
hay
.
x
y e
Định lý 2.3 Nếu u, v là các hàm khả vi thì
1) ( d u v ) du dv 2) ( ) d k u k du 3) ( ) d u v vdu udv
2
4) d u vdu udv
Ví dụ 2.2 Tính
3 ) ( x)
a d x e 3
) ( x)
b d x e
3
) xx
c d e
Trang 4III Ứng dụng của vi phân:
19
Dùng vi phân, ta có thể tính gần đúng giá trị của hàm số
Ta có giá trị của hàm số tại x gầnx0là
Để áp dụng công thức trên ta cần chỉ ra dạng hàm f(x),
điểmx0và số gia đủ nhỏ
0 0
( ) ( )
f x f x x x
Ví dụ 2.3 Tính gần đúng giá trị của
32,0001
20
§3 Đạo hàm và vi phân
cấp cao
I Đạo hàm cấp cao:
21
Định nghĩa 1.1 Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp
là
Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là
y
y f x f x
( ) n ( ) n ( ) ( 1) n ( )
Ví dụ 3.1 Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp
ba, cấp bốn, cấp n của hàm số y e k const kx,
22
Định lý 1.2 (Công thức Leibniz) Giả sử u và
v có đạo hàm đến cấp n Khi đó
0
n k
2 2 x.
(20)
y
minh
2
2
3 1 0.
y y
II Vi phân cấp cao:
Định nghĩa 2.1 Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến
cấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là
1 ( )
d y d d y y dx
Ví dụ 3.5 Cho Tính y (2 3) x 3 d y3 .
III Quy tắc L’Hospital:
Định lý 3.1 Giả sử các hàm f và g khả vi trong
thì
lim ( ) lim ( ) 0
x x f x x x g x
lim ( ) lim ( )
x x f x x x g x
0
( ) lim ( )
x x
f x
g x
x x x x
Trang 5Chú ý 1.2.
Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc
L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định
Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital
nhiều lần.
0
0 hoặc .
IV Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn:
26
0
Ví dụ 3.6 Tính các giới hạn sau
0
sin )limx x
c x
2
3 2 2
5 6 )limx x x 2
a x x x )lim02 2 4 2
9 3 x
x b
x
3 0
1 )limx ex d x
3 0
sin )limx x x e
x
2 2 0
ln(cos ) )lim
arctan 2
x
x f
27
Ví dụ 3.7 Tính các giới hạn sau
2 2
3 2 ) limx x 1x
a x b) limxxe2x3x
2 3 ln
) limx x
c x d) limx 1xx2
28
Dạng 0.
Ta đưa về dạng 00hoặc
1
1
(0 ) g
f
f
f g g
Ví dụ 3.8 Tính các giới hạn sau
0
) lim ln x
a x x
2
) lim 2 tan x
b x x
Chú ý:
Ta đưa về dạng 0
0 hoặc
1 1
1 1
f
f g f
f g g g
f g g f
Chú ý:
Ví dụ 3.9 Tính các giới hạn sau
2 ) lim ( x ) x
b e x 1
1 1 )lim
ln 1 x
a
x x
0
1 1 1 )lim
tan2 sin x
c
x x x
Trang 6Dạng 0 , ,10 0
Giới hạn có dạng , trong đó 0 ( )
lim ( )g x
x x f x f x ( ) 0
trong lân cận của x0.
Xem lại phương pháp giải ở Chương 1
Ví dụ 3.10 Tính các giới hạn sau
0
) lim x x
a x
tan 0
1 ) lim x x
b x
V Một số bài toán trong kinh tế:
32
5.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất:
Giả sử, một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm
Gọi P: đơn giá
QD=QD(P): hàm cầu
Q=Q(P): hàm sản lượng
C = C(Q): hàm tổng chi phí
R = P.Q: doanh thu
: lợi nhuận (trước thuế)
R C
33
Ta có thể thiết lập các bài toán tối ưu trong kinh tế mà
thực chất là tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến
số Chẳng hạn:
-Tìm mức P hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa
lập hàm R(P) hoặc R(Q)
-Tìm mức Q để chi phí C đạt tối thiểu
lập hàm C(Q)
-Tìm mức Q để lợi nhuận đạt tối đa
Chú ý 5.1:
Doanh nghiệp muốn tiêu thụ hết sản phẩm Q Q PD( )
( ).Q
34
Ví dụ 3.11: Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo Giá của 1 đơn vị sản phẩm trên thị trường là P = 130 đơn vị tiền
Tổng chi phí để doanh nghiệp sản xuất ra Q đơn vị sản phẩm (Q > 1) là đơn vị tiền
Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa
3
Ví dụ 3.12: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm Hàm cầuQDcủa sản phẩm này là QD= 300-P, với P là giá bán của một đơn vị sản phẩm Hàm chi phí sản xuất của doanh nghiệp là
Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa
3 19 2 333 10
5.2 Bài toán thuế doanh thu:
Giả sử, một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm
Gọi
t: mức thuế doanh thu trên một đơn vị sản phẩm
T=t.Q: tổng số thuế doanh thu
: lợi nhuận sau thuế
Hãy tìm mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng
số thuế thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất
t R C T
Phương pháp:
Bước 1: Viết hàm lợi nhuận sau thuế
Bước 2: Tìm mức sản lượng Q(t) để đạt GTLN
Bước 3: Viết hàm T = t.Q(t), t > 0 Sau đó, tìm mức
thuế t để T đạt GTLN
( ), 0
t Q Q
t
Ví dụ 3.13: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm Hàm cầuQDcủa sản phẩm này là QD= 800-P, với P là giá bán của một đơn vị sản phẩm Hàm chi phí sản xuất của doanh nghiệp là
Các nhà làm thuế sẽ áp mức thuế doanh thu t trên một đơn vị sản phẩm là bao nhiêu để tổng số thuế thu được
từ doanh nghiệp là lớn nhất?
2 200 100
Bước 4: Kiểm tra sự phù hợp bằng cách với t tìm được, ta tính T, Q, R, C, , P Nếu tất cả các kết quả đều > 0 thì kết quả t tìm được là phù hợp.t
Trang 75.3 Bài toán thuế nhập khẩu:
Giả sử, một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một mặt
hàng Gọi
QS= S(P): hàm cung của mặt hàng ở thị trường nội địa
QD= D(P): hàm cầu của mặt hàng ở thị trường nội địa
P0:giá bán một đơn vị hàng ở thị trường nội địa
Q: lượng hàng doanh nghiệp nhập về từ thị trường quốc
tế
số tiền cho một đơn vị hàng mà doanh nghiệp phải
chi ra để mua ở thị trường quốc tế = giá bán ở thị trường
quốc tế + chi phí nhập khẩu (chưa tính thuế)
t: mức thuế nhập khẩu trên một đơn vị sản phẩm
:
P
0
P t P
38
P: giá bán một đơn vị hàng của doanh nghiệp ra thị trường nội địa sau khi nhập hàng
Hãy tìm mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị hàng để tổng số thuế nhập khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất (giả thiết rằng lượng hàng nhập khẩu của doanh nghiệp không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế)
0
P t P P
Phương pháp:
Bước 1 (TìmP0): Trước khi nhập khẩu, các nhà sản xuất tại thị trường nội địa muốn tiêu thụ hết hàng
39
Lợi nhuận sau thuế của doanh nghiệp là
t R C T
P Q P Q t Q
Bước 3: Tìm mức sản lượng Q(t) để đạt GTLN
Bước 4: Viết hàm T = t.Q(t), t > 0 Sau đó, tìm mức thuế
t để T đạt GTLN
Q Q P Q P Q Q P Q P P P Q
( )
tQ
Bước 2 (Viết hàm lợi nhuận sau thuế hoặc ):
Sau khi nhập hàng, thị trường nội địa có lượng cung là
Q + QS(P) Khi đó:
( )
t P
t
Bước 5: Kiểm tra sự phù hợp và kiểm tra điều kiện
0
P t P P
40
Ví dụ 3.14: Một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một mặt hàng Với mức giá P tại thị trường nội địa, nhu cầu về mặt hàng này là QD= 4200-P đơn vị và các nhà sản xuất cung cấp được QS= -200+P đơn vị Để mua mặt hàng này ở thị trường quốc tế thì doanh nghiệp phải chi ra một số tiền là 1600 đơn vị tiền cho mỗi đơn vị hàng (chưa tính thuế) Hãy xác định mức thuế nhập khẩu t thu trên một đơn vị hàng để tổng số thuế nhập khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất ?
5.4 Bài toán thuế xuất khẩu:
Giả sử, một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu một mặt
hàng Gọi
QS= S(P): hàm cung của mặt hàng ở thị trường nội địa
QD= D(P): hàm cầu của mặt hàng ở thị trường nội địa
P0: giá bán một đơn vị hàng ở thị trường nội địa
Q: lượng hàng doanh nghiệp thu mua từ thị trường nội
địa
số tiền cho một đơn vị hàng mà doanh nghiệp thu
được khi bán mặt hàng ở thị trường quốc tế (giá bán một
đơn vị hàng trên thị trường quốc tế của doanh nghiệp trừ
đi chi phí xuất khẩu (chưa trừ thuế))
t: mức thuế xuất khẩu trên một đơn vị sản phẩm
:
P
0
P t P
P: giá mua một đơn vị hàng từ thị trường nội địa để xuất khẩu
Hãy tìm mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để tổng số thuế xuất khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất (giả thiết rằng lượng hàng xuất khẩu của doanh nghiệp không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế)
0
P P P t
Phương pháp:
Bước 1 (TìmP0): Trước khi doanh nghiệp mua hàng, các nhà sản xuất tại thị trường nội địa muốn tiêu thụ hết hàngQSQD