Bài giảng toán cao cấp 2 (giải tích) chương 4 lý thuyết chuỗi

CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤTNỘI DUNG 1 Định nghĩa chuỗi 2 Các tính chất... Định nghĩa chuỗiCho dãy số thực {un}n.. Số hạng un được gọi là số hạng tổng quát thứ n... Khi đó, dãy tổng riêng

Bài giảng

TOÁN CAO CẤP A2

Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc

Ngày 13 tháng 10 năm 2020

LÝ THUYẾT CHUỖINỘI DUNG

4.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT

NỘI DUNG

1 Định nghĩa chuỗi

2 Các tính chất

4.1.1 Định nghĩa chuỗi

Cho dãy số thực {un}n. Biểu thức u1 +u2+ · · · +un + · · · = ∑+∞n= 1un

được gọi là một chuỗi số hay ngắn gọn là chuỗi Số hạng un được gọi là số hạng

tổng quát thứ n

Với mỗi k ∈N,k ≥ 1, tổng Sk = u1 +u2+ · · · +uk = ∑kn= 1un được gọi

là tổng riêng phần thứ k của chuỗi

Nếulim k →+∞Sk tồn tại hũu hạn thì ta nói chuỗi ∑+∞n= 1un hội tụ và

S = lim k →+∞Sk được là tổng của chuỗi và ta viết

4.1.2 Các tính chất

Định lý 1 (Điều kiện cần chuỗi hội tụ)

Nếu chuỗi ∑+n=∞1un hội tụ thì lim n →+∞un = 0 Như vậy ta suy ra: Nếu lim

n →+∞un 6=0 hoặc limn →+∞un không tồn tại thì chuỗi phân kỳ.

∑∞n= 1un ,∑∞n= 1vn cùng hội tụ =⇒ ∑∞n= 1(un +vn) hội tụ.

∑∞n= 1un hội tụ, ∑∞n= 1vn phân kỳ =⇒ ∑∞n= 1(un +vn) phân kỳ

∑∞n= 1(un+vn) hội tụ ⇒ không có kết luận

Nếu 0< un ≤ vn với n ≥n0 thì

∑∞n = 1vn hội tụ =⇒ ∑∞n = 1un hội tụ.

∑∞n= 1un phân kỳ =⇒ ∑n∞= 1vn phân kỳ.

4.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa

Chuỗi ∑∞n = 1un với un ≥ 0 được gọi là chuỗi không âm.

Khi đó, dãy tổng riêng {Sk}là dãy không giảm nên nó có giới hạn (chuỗi hộitụ) khi và chỉ khi bị chặn trên

Chuỗi ∑∞n= 1un với un > 0 được gọi là chuỗi số dương.

4.2.2 Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi không âm

4.2.2 Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi không âm

2 Tiêu chuẩn D’Alembert và Tiêu chuẩn Cauchy

Giả sử ta có (D)lim n →+∞ unu+n1 = L hoặc ta có (C) lim n →+∞ √n un =L

4.2.2 Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi không âm

3 Tiêu chuẩn tích phân

Cho hàm số liên tục, không âm y = f(x) và nghịch biến trên khoảng (1,+∞).Khi đó

4.3 Chuỗi có dấu bất kỳ và chuỗi đan dấu

1 Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối

Nếu ∑∞n = 1|un| hội tụ thì ∑∞n = 1un hội tụ.

Nếu ∑∞n= 1|un| phân kỳ và ∑∞n= 1un hội tụ thì ∑∞n= 1un được gọi là bán hội

tụ

Chú ý: Khi sử dụng tiêu chuẩn D’Alambert hoặc Cauchy cho chuỗi số dương

∑∞n= 1|un| cho kết quả hội tụ hoặc phân kỳ thì chuỗi ∑∞n= 1un tương ứng cũng

hội tụ hoặc phân kỳ

4.3 Chuỗi có dấu bất kỳ và chuỗi đan dấu

2 Tiêu chuẩn Leibniz (chuỗi đan dấu)

Nếu dãy số un giảm và lim n →+∞un = 0thì chuỗi ∑∞n= 1(−1)n + 1un hội tụ về

S Hơn nữa 0< S < u1

4.4 Chuỗi hàm

1 Miền hội tụ của chuỗi hàm

Tập hợp D gồm tất cả các giá trị của x sao cho chuỗi ∑∞n= 1un(x) hội tụ đượcgọi là miền hội tụ của nó

2 Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

Giá trị R sao cho chuỗi lũy thừa ∑∞n = 1anxn hội tụ trên (−R,R) và phân kỳtrên (−∞,−R) ∪ (R,+∞) đgl bán kính hội tụ của nó

3 Định lý (tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa)

Nếu (D) lim n →+∞unu+n1 =L hoặc (C) lim n →+∞ √n un =L thì bán kính hội tụcủa chuỗi lũy thừa là R = 1

4.4 Chuỗi lũy thừa

Định nghĩa

Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng ∑+n=∞1un(x −x0)n, x0 được gọi là tâm củachuỗi lũy thừa

4.4 Chuỗi lũy thừa

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 4Bài tập 1.

Xét sự hội tụ của các chuỗi sau

Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x,y) =x3+y3−6xy

hThac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 13 tháng 10 năm 2020 21 / 21