MỞ ĐẦU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Full... Áp dụng bất đẳng thức trên ta có... Thay câu b bởi các biến x, y, z ta có điều phải chứng minh.. Mệnh đề nào sau đây đúng?. Có ít nhất hai trong ba mệnh đ
Trang 1Ví dụ 1 [Svip] Cho các số thực a b c, , Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2b2c2 3 2(a b c ) b) a2b2 1 ab a b
Lời giải
a) BDT (a1)2 (b 1)2 (c 1)20
b) BDT (a b )2 (a 1)2 (b 1)2 0
Ví dụ 2 [Svip] Cho các số thực a b c, , Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2b2c2 2(ab bc ca ) b) a4b4c2 1 2 (a ab2 a c 1)
Lời giải
a) BDT (a b c )2 0
b) BDT (a2b2 2) (a c)2 (a 1)2 0
Ví dụ 3 [Svip] Cho các số thực a b c d e, , , , Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2
4
a
a2b2c2d2e2 a b c d e( )
Lời giải
a)
2
2
a
BDT b c
b)
0
BDT b c d e
Ví dụ 4 [Svip] Cho các số thực a b c, , Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Lời giải
a)
0
BDT
0
Ví dụ 5 [Svip] Chứng minh các bất đẳng thức sau:
3
3 3
a b a b
Lời giải
a) 3( )( )2 0
8
b) Sử dụng hằng đẳng thức a3b3(a b )33a b2 3ab2.
Khi đó, BĐT (a b c a ) 2b2c2(ab bc ca )0.
01 MỞ ĐẦU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC (Full)
Trang 2Ví dụ 6 [Svip] Cho các số thực a b, Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2 2
Lời giải
a) BDT (a1) (2 a22a 3) 0
b) BDT (a2b2 2) (a4a b2 2b4) 0
Ví dụ 7 [Svip] Cho các số thực a b c d e, , , , Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2
2
3
2
2
a
a
Lời giải
b) BDT ab a b a( )( 3b3) 0
Ví dụ 8 [Svip] Cho a, b, c, d R Chứng minh rằng a2b2 2ab (1)
Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a) a4b4c4d44abcd
b) (a21)(b21)(c2 1) 8abc
c) (a24)(b24)(c24)(d24) 256 abcd
Lời giải
a) a4b42a b c2 2; 2d2 2c d2 2; a b2 2c d2 2 2abcd
b) a2 1 2 ;a b2 1 2 ;b c2 1 2c
c) a2 4 4 ;a b2 4 4 ;b c2 4 4 ;c d2 4 4d
Ví dụ 9 [Svip] Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức: a2b2c2ab bc ca (1)
Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a) (a b c )2 3(a2b2c2) b)
2
2 2 2
a b c a b c
c) (a b c )2 3(ab bc ca ) d) a4b4c4abc a b c( )
a b c abc a b c 1
Lời giải
Ta có bất đẳng thức
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
2 2 2
(Đúng với mọi
a,b,c)
Vậy ta có đpcm
a) Theo chứng minh ở trên ta đã có a2b2c2ab bc ca
(đpcm)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 a b c a b c 2 ab bc ca a b c 2 2 2 2
Trang 3Dấu bằng xảy ra khi a b c
b) Theo câu a ta đã có 2 2 2 2
3 a b c a b c
a b c
a b c a b c
c) Theo chứng minh ở trên ta đã có a2b2c2ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca
d) Sử dụng bất đẳng thức x2y2z2 xy yz xz ta có:
2 2 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2
a b c a b b c c a ab bc bc
ab bc bc ab bc bc ca ca ab ab c bc a ca b abc a b c
Từ đó suy ra a4b4c4abc a b c (tính chất bắc cầu)
e) Theo câu c ta có 2 Với thì
3
a b c ab bc ca a b c, , 0 a b c 0,ab bc ca 0
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
f) Theo câu d ta có a4b4c4abc a b c abc do a b c 1
3
a b c
Ví dụ 10 [Svip] Cho a, b 0 Chứng minh bất đẳng thức: a3b3a b b a ab a b2 2 ( ) (1)
Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:
abc
d) 34(a3b3)34(b3c3)34(c3a3) 2( a b c ); với a, b, c 0
Lời giải
a) Ta có bổ đề a3b3a b b a ab a b2 2 ( )
3 3 2 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi hai số a và b bằng nhau
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
Trang 4
3 3
3 3
3 3
Dẫn đến
.a b c
Dấu bằng xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau
b) Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có
1
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số đều bằng 1
Thay câu b bởi các biến x, y, z ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi ba số cùng bằng 1 d) Dễ thấy
3
Tương tự ta có 34(b3c3) b c; 4(3 c3a3) c a
Dẫn đến 34(a3b3)34(b3c3)34(c3a3) 2( a b c )
Dấu bằng xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau.
Trang 5BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
c d
a b
a c b d
c d
c d
0
0
a b
a c b d
c d
Câu 2 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai?
2
a
a c
a b
a c b a
a c
C a b a c b c D a b c a c b
Câu 3 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
c d
a b
ac bd
c d
0
a b
ac bd
c d
a b
c d
Câu 4 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
0
a b
ac bc c
Câu 5 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
0
0
0
0
0
Câu 6 [Svip]: Nếu a2c b 2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A 3a 3 b B a2 b2 C 2a2 b D 1 1
a b
Câu 7 [Svip]: Nếu a b a và b a b thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A ab0 B b a C a b 0 D a0 và b0
Câu 8 [Svip]: Nếu 0 a 1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
a
Câu 9 [Svip]: Bất đẳng thức 2 tương đương với bất đẳng thức nào sau đây
3
0
2
Câu 10 [Svip]: Với mọi a b, 0, ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
A a b 0 B a2ab b 2 0 C a2 ab b 2 0 D a b 0
Trang 6Câu 11 [Svip]: Cho hai số x y, dương thỏa x y 12, bất đẳng thức nào sau đây không đúng?
2
36
2
x y
xy
2 2
Câu 12 [Svip]: Cho ab0 và ab a b Mệnh đề nào sau đây đúng?
A a b 4 B a b 4 C a b 4 D a b 4
Câu 13 [Svip]: Với a b c d, , , 0 Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?
C a c a a c c D Có ít nhất hai trong ba mệnh đề trên là sai.
Câu 14 [Svip]: Bất đẳng thức (m n )2 4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây ?
A (m–n)2 + m + n 0 B (m + n)2 + m + n 0
C n(m–1)2 + m(n–1)2 0 D (m n )2 0
Câu 15 [Svip]: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
A Nếu a0 thì a2 a B Nếu a2 a thì a > 0
C Nếu a2 a thì a < 0 D Nếu a2 0 thì a > 0
Câu 16 [Svip]: Cho a > b > 0 Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
1
1
1 1
Câu 17 [Svip]: Cho a b 0 và 1 2 , 1 2 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Không so sánh được B x y
Câu 1 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
c d
a b
a c b d
c d
c d
0
0
a b
a c b d
c d
HD: Ta có: a b a b a d b c. Chọn C.
-Câu 2 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai?
2
a
a c
a b
a c b a
a c
C a b a c b c D a b c a c b
2
a c
01 MỞ ĐẦU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC (Full)
Trang 7đúng.
a b
a c
đúng
3
sai Chọn D.
4
-Câu 3 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
c d
a b
ac bd
c d
0
a b
ac bd
c d
a b
c d
HD: Ta có 0 Chọn C.
0
a b
ac bd
c d
-Câu 4 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
0
a b
ac bc c
HD: Với 4 đúng Chọn D.
0
a b
ac bc c
-Câu 5 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
0
0
0
0
0
0
ac bd
-Câu 6 [Svip]: Nếu a2c b 2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A 3a 3 b B a2 b2 C 2a2 b D 1 1
a b
HD: Ta có: a2c b 2c a b 2a2 b Chọn C.
-Câu 7 [Svip]: Nếu a b a và b a b thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A ab0 B b a C a b 0 D a0 và b0
HD: Ta có: a b a b 0 và b a b 0 a
0
a
ab b
-Câu 8 [Svip]: Nếu 0 a 1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
a
HD: Ta có: 1 a 1 a a 0 (với mọi nên A đúng)
a
Tương tự dễ thấy đáp án C và D sai Chọn A.
Trang 8
-Câu 9 [Svip]: Bất đẳng thức 2 tương đương với bất đẳng thức nào sau đây.
3
0
2
m n mnm n mn mnm n mn m
2
m n
-Câu 10 [Svip]: Với mọi a b, 0, ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
A a b 0 B a2ab b 2 0 C a2 ab b 2 0 D a b 0
2 2
0
a ab b a
-Câu 11 [Svip]: Cho hai số x y, dương thỏa x y 12, bất đẳng thức nào sau đây không đúng?
2
36
2
x y
xy
2 2
2
x y
36
4
x y
2xy x y 0 x y
-Câu 12 [Svip]: Cho ab0 và ab a b Mệnh đề nào sau đây đúng?
A a b 4 B a b 4 C a b 4 D a b 4
2
4
a b
-Câu 13 [Svip]: Với a b c d, , , 0. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?
C a c a a c c D Có ít nhất hai trong ba mệnh đề trên là sai.
HD : Dễ thấy C sai rõ ràng vì ban đầu là a c nhưng vế sau lại là Chọn C.
b d
-Câu 14 [Svip]: Bất đẳng thức (m n )2 4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây ?
A (m–n)2 + m + n 0 B (m + n)2 + m + n 0
C n(m–1)2 + m(n–1)2 0 D (m n )2 0
-Câu 15 [Svip]: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
A Nếu a0 thì a2 a B Nếu a2 a thì a > 0
C Nếu a2 a thì a < 0 D Nếu a2 0 thì a > 0
Trang 9HD: Ta có 2 1 và Chọn A.
0
a
a
2 0; 0
-Câu 16 [Svip]: Cho a > b > 0 Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
1
1
1 1
1
-Câu 17 [Svip]: Cho a b 0 và 1 2 , 1 2 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Không so sánh được B x y
0
b a b a ab
x y