Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!. Bà
Trang 1Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Bài 1: [ĐVH] Cho các số thực , ,a b c Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2+b2+ + ≥c2 3 2(a+ +b c) b) a2+b2+ ≥1 ab+ +a b
Hướng dẫn giải:
a) BDT⇔ −(a 1)2+ −(b 1)2+ −(c 1)2 ≥0
b) BDT ⇔ −(a b)2+ −(a 1)2+ −(b 1)2 ≥0
Bài 2: [ĐVH] Cho các số thực , ,a b c Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2+b2+c2 ≥2(ab+bc−ca) b) a4+b4+ + ≥c2 1 2 (a ab2− + +a c 1)
Hướng dẫn giải:
a) BDT ⇔ − +(a b c)2 ≥0
b) BDT⇔(a2−b2 2) + −(a c)2+ −(a 1)2 ≥0
Bài 3: [ĐVH] Cho các số thực , , , ,a b c d e Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2
4 + + ≥ − + b) a2+b2+ +c2 d2+e2 ≥a b( + + +c d e)
Hướng dẫn giải:
⇔ − − ≥
2
2
a
⇔ − + − + − + − ≥
0
Bài 4: [ĐVH] Cho các số thực , ,a b c Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
+ + ≥ + + b) a+ + ≥b c ab+ bc+ ca với a, b, c ≥ 0
Hướng dẫn giải:
⇔ − + − + − ≥
0
BDT
b) BDT⇔( a− b) (2+ b− c) (2+ c− a)2 ≥0
Bài 5: [ĐVH] Chứng minh các bất đẳng thức sau:
3
3 3
+ ≥ +
; với a, b ≥ 0 b) a3+b3+c3≥3abc, với a, b, c > 0
Hướng dẫn giải:
8
b) Sử dụng hằng đẳng thức a3+b3= +(a b)3−3a b2 −3ab2
Khi đó, BĐT ⇔ (a+ +b c)a2+b2+ −c2 (ab+bc+ca)≥0
Bài 6: [ĐVH] Cho các số thực ,a b Chứng minh các bất đẳng thức sau:
01 MỞ ĐẦU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
6 6
4 4
2 2
+ ≤ + ; với a, b ≠ 0
Hướng dẫn giải:
a) BDT ⇔ −(a 1) (2 a2+2a+ ≥3) 0
b) BDT ⇔(a2 −b2 2) (a4+a b2 2+b4)≥0
Bài 7: [ĐVH] Cho các số thực , , , ,a b c d e Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a
a
2
2
3 2
2
+ >
(a b )(a b) (a b )(a b );ab 0
Hướng dẫn giải:
a) BDT ⇔(a2+1)2 >0
b) BDT ⇔ab a b a( − )( 3−b3)≥0
Bài 8: [ĐVH] Cho a, b, c, d ∈ R Chứng minh rằng a2+b2≥2ab (1)
Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a) a4+b4+ +c4 d4 ≥4abcd
b) a( 2+1)(b2+1)(c2+ ≥1) 8abc
c) a( 2+4)(b2+4)(c2+4)(d2+ ≥4) 256abcd
Hướng dẫn giải:
a) a4+b4 ≥2a b2 2;c2+d2≥2c d2 2; a b2 2+c d2 2 ≥2abcd
b) a2+ ≥1 2 ;a b2+ ≥1 2 ;b c2+ ≥1 2c
c) a2+ ≥4 4 ;a b2+ ≥4 4 ;b c2+ ≥4 4 ;c d2+ ≥4 4d
Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c ∈ R Chứng minh bất đẳng thức: a2+b2+c2≥ab bc ca (1) Áp dụng chứng + +
minh các bất đảng thức sau:
2
+ + + +
≥
c) (a b c+ + )2 ≥3(ab bc+ +ca) d) a4+b4+c4≥abc a b c( + + )
e)
+ + ≥ + +
với a, b, c > 0 f) a4+b4+c4≥abc nếu a+ + =b c 1
Bài 10: [ĐVH] Cho a, b ≥ 0 Chứng minh bất đẳng thức: a3+b3≥a b b a2 + 2 =ab a b( + ) (1)
Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
a b abc b c abc c a abc ; với a, b, c > 0
b)
1
+ + + + + +
a b b c c a ; với a, b, c > 0 và abc = 1
1+ 1+ 1≤
+ + + + + +
a b b c c a ; với a, b, c > 0 và abc = 1
d) 34(a3+b3)+34(b3+c3)+34(c3+a3) ≥2(a b c+ + ); với a, b, c ≥ 0