VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Bài 1: [ĐVH].. MỞ ĐẦU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95... Cho các số thực ,a b...
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH] Cho các số thực , ,a b c Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2+b2+ + ≥c2 3 2(a+ +b c) b) a2+b2+ ≥1 ab+ +a b
Hướng dẫn giải:
a) BDT⇔ −(a 1)2+ −(b 1)2+ −(c 1)2 ≥0
b) BDT ⇔ −(a b)2+ −(a 1)2+ −(b 1)2 ≥0
Bài 2: [ĐVH] Cho các số thực , ,a b c Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2+b2+c2 ≥2(ab+bc−ca) b) a4+b4+ + ≥c2 1 2 (a ab2− + +a c 1)
Hướng dẫn giải:
a) BDT ⇔ − +(a b c)2 ≥0
b) BDT⇔(a2−b2 2) + −(a c)2+ −(a 1)2 ≥0
Bài 3: [ĐVH] Cho các số thực , , , ,a b c d e Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2
4 + + ≥ − + b) a2+b2+ +c2 d2+e2 ≥a b( + + +c d e)
Hướng dẫn giải:
⇔ − − ≥
2
2
a
⇔ − + − + − + − ≥
0
Bài 4: [ĐVH] Cho các số thực , ,a b c Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
+ + ≥ + + b) a+ + ≥b c ab+ bc+ ca với a, b, c ≥ 0
Hướng dẫn giải:
⇔ − + − + − ≥
0
BDT
b) BDT⇔( a− b) (2+ b− c) (2+ c− a)2 ≥0
Bài 5: [ĐVH] Chứng minh các bất đẳng thức sau:
3
; với a, b ≥ 0 b) a3+b3+c3≥3abc, với a, b, c > 0
Hướng dẫn giải:
8
Tài liệu Bài giảng (Khóa Toán 10)
01 MỞ ĐẦU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
Trang 2b) Sử dụng hằng đẳng thức a3+b3= +(a b)3−3a b2 −3ab2
Khi đó, BĐT ⇔ (a+ +b c)a2+b2+ −c2 (ab+bc+ca)≥0
Bài 6: [ĐVH] Cho các số thực ,a b Chứng minh các bất đẳng thức sau:
+ ≤ + ; với a, b ≠ 0
Hướng dẫn giải:
a) BDT ⇔ −(a 1) (2 a2+2a+ ≥3) 0
b) BDT ⇔(a2 −b2 2) (a4+a b2 2+b4)≥0
Bài 7: [ĐVH] Cho các số thực , , , ,a b c d e Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a
a
2
2
3
2 2
+ >
(a b )(a b) (a b )(a b );ab 0
Hướng dẫn giải:
a) BDT ⇔(a2+1)2 >0
b) BDT ⇔ab a b a( − )( 3−b3)≥0
Bài 8: [ĐVH] Cho a, b, c, d ∈ R Chứng minh rằng a2+b2≥2ab (1)
Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a) a4+b4+c4+d4 ≥4abcd
b) a( 2+1)(b2+1)(c2+ ≥1) 8abc
c) a( 2+4)(b2+4)(c2+4)(d2+ ≥4) 256abcd
Hướng dẫn giải:
a) a4+b4 ≥2a b2 2;c2+d2≥2c d2 2; a b2 2+c d2 2 ≥2abcd
b) a2+ ≥1 2 ;a b2+ ≥1 2 ;b c2+ ≥1 2c
c) a2+ ≥4 4 ;a b2+ ≥4 4 ;b c2+ ≥4 4 ;c d2+ ≥4 4d
Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c ∈ R Chứng minh bất đẳng thức: a2+b2+c2≥ab bc ca (1) + +
Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
2
2 2 2
+ + + +
c) (a b c+ + )2 ≥3(ab bc+ +ca) d) a4+b4+c4≥abc a b c( + + )
e)
với a, b, c > 0 f) a4+b4+c4≥abc nếu a+ + =b c 1
Hướng dẫn giải:
Ta có bất đẳng thức
⇔ a + +b c − ab+bc+ca ≥
⇔a − ab+ + −b b bc+ + −c c ca+a ≥ ⇔ a−b + −b c + −c a ≥ (Đúng với mọi a,b,c) Dấu bằng xảy ra khi a= =b c
Vậy ta có đpcm
a) Theo chứng minh ở trên ta đã có a2+ + ≥b2 c2 ab+bc+ca
Trang 3Nhân 2 vế với 2 rồi cộng 2 vế với a2+ +b2 c2 ta được
2 a + +b c +a + + ≥b c 2 ab+bc+ca +a + +b c ( 2 2 2) ( )2
3
⇒ a + +b c ≥ a+ +b c (đpcm) Dấu bằng xảy ra khi a= =b c
b) Theo câu a ta đã có ( 2 2 2) ( )2
3 a + +b c ≥ a+ +b c
Chia 2 vế của bất đẳng thức cho 9 ta được 2 2 2 ( )2 2
+ +
(đpcm) Dấu bằng xảy ra khi a= =b c
c) Theo chứng minh ở trên ta đã có a2 + + ≥b2 c2 ab+bc+ca
Cộng 2 vế với 2(ab+bc+ca) ta được
Dấu bằng xảy ra khi a= =b c
d) Sử dụng bất đẳng thức x2+ y2+ ≥z2 xy+ yz+xz ta có:
4+ + ≥4 4 2 2 + 2 2+ 2 2 = + +
ab bc bc ab bc bc ca ca ab ab c bc a ca b abc a b c
Từ đó suy ra a4 + + ≥b4 c4 abc a( + +b c) (tính chất bắc cầu)
Dấu bằng xảy ra khi a= =b c
3
a b c ab bc ca Với , , a b c>0 thì a+ + >b c 0,ab+bc+ca>0
f) Theo câu d ta có a4+ + ≥b4 c4 abc a( + + =b c) abc do a+ + =b c 1
Nên ta có đpcm Dấu bằng xảy ra khi 1
3
= = =
a b c
Bài 10: [ĐVH] Cho a, b ≥ 0 Chứng minh bất đẳng thức: a3+b3≥a b b a2 + 2 =ab a b( + ) (1)
Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
a b abc b c abc c a abc ; với a, b, c > 0
b)
1
a b b c c a ; với a, b, c > 0 và abc = 1
a b b c c a ; với a, b, c > 0 và abc = 1
d) 34(a3+b3)+34(b3+c3)+34(c3+a3) ≥2(a b c+ + ); với a, b, c ≥ 0
Hướng dẫn giải:
a) Ta có bổ đề a3+b3≥a b b a2 + 2 =ab a b( + )
3 3 2 2
Trang 4Dấu đẳng thức xảy ra khi hai số a và b bằng nhau
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
3 3
3 3
3 3
+ +
+ +
Dẫn đến
.a b c
a b c ab bc ca a b c abc abc
a b abc b c abc c a abc
+ +
Dấu bằng xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau
b) Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có
1
a b +b c +c a = a b abc+b c abc+c a abc ≤ =
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số đều bằng 1
c) Đặt a=x b3; = y c3; =z abc3; =1⇒xyz=1 Bài toán trở thành chứng minh
Thay câu b bởi các biến x, y, z ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi ba số cùng bằng 1
d) Dễ thấy
3
Tương tự ta có 34(b3+c3)≥ +b c; 4(3 c3+a3)≥ +c a
Dẫn đến 34(a3+b3)+34(b3+c3)+34(c3+a3)≥2(a b c+ + )
Dấu bằng xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau
Chương trình học TOÁN 10 Online : http://www.moon.vn/KhoaHoc/977/1