Phương trình logarit chứa tham số

Tài liệu gồm 25 trang được biên soạn bởi tập thể quý thầy, cô giáo nhóm Nhóm Word Và Biên Soạn Tài Liệu Môn Toán THPT, hướng dẫn giải bài toán phương trình logarit có chứa tham số, được phát triển dựa trên câu 43 đề thi minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 – 2020 do Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Thường sử dụng các phương pháp sau:

1 Phương pháp đưa về cùng cơ số.

 Nếu a 1 thì với x x1, 20 :x1x2loga x1loga x2

Nếu 0a1 thì với x x1, 20 :x1x2loga x1loga x2

S P

 Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương

000

S P

 Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấuP0

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CÓ CHỨA THAM SỐ

BÀI TẬP MẪU

Cho phương trình 2   

log 2x  m2 log x m  2 0(mlà tham số thực) Tập hợp tất cả các giá trị của

m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn  1; 2 là

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm điều kiện của tham số để phương trình logarit có nghiệm thỏamãn điều kiện cho trước

2 HƯỚNG GIẢI:

B1:Viết lại phương trình logarit về dạng phương trình bậc hai đối với 1 biểu thức logarit

B2:Đặt ẩn phụ là biểu thức logarit và tìm điều kiện cho ẩn phụ

B2:Tìm điều kiện cho phương trình ẩn phụ

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn C

Điều kiện :x 0

Đặt tlog2x, với x  1; 2 thì t  0;1 , khi đó ta có phương trình:

nghiệm phân biệt thuộc  0;1

Chú ý: Đối với phương trình bậc hai chứa tham số, nếu có dạng chính phương thì nên tìm cụ thể hai

nghiệm của phương trình

Bài tập tương tự và phát triển:

tất cả các số thực mà phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn Số phần tử củatập là

Lời giải Chọn B

Đặt , với thì t  0;1 , khi đó ta có phương trình

Khi đó yêu cầu bài toán phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn

(Hệ vô nghiệm)

Vậy không có giá trị nào của thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 43.2: Cho phương trình 2   

log 9x  m5 log x3m100(với m là tham số thực) Số giá trị

nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc 1;81 là

Lời giải Chọn C

Vậy có 4 số nguyên m thoả ycbt

trị nguyên của để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn ?

Lời giải Chọn B

Ta có

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn khi và chỉ khi có một

Vậy có giá trị nguyên của thỏa mãn bài toán

Câu 43.4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log 323 xlog3xm 1 0 có đúng 2

nghiệm phân biệt thuộc khoảng 0;1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

log 3xlog xm 1 0log x3log xm0 1

Đặt tlog3x với x 0;1 thì t 0, khi đó ta có phương trình 2  

t  t m  

Nhận thấy với mỗi số thực t 0 cho ta một số thực x 0;1, do đó yêu cầu bài toán

Phương trình  2 có hai nghiệm âm phân biệt

log x 3 log (3 ) 2m x  m 2m 1 0 Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên m

mà phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn Tính tổng các phần tử của

S

Lời giải Chọn B

nghiệm phân biệt thuộc khoảng 0;1



103

x x 

Đặt tlog2x với x 0;1 thì t 0, khi đó ta có phương trình

Nhận thấy với mỗi số thực t 0 cho ta một số thực x 0;1, do đó yêu cầu bài toán

có hai nghiệm phân biệt Dựa vào bảng biến thiên suy ra 1 0 0 1

nghiệm, trong đó có đúng một nghiệm thuộc đoạn ?

Lời giải Chọn D

Điều kiện: Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Khi đó ta được phương trình

;162

Từ bảng biến thiên suy ra thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài toán

Điều kiện: x2 Khi đó phương trình đã cho tương đương với

2

21

t t

Từ bảng biến thiên suy ra 3 7

Dựa vào bảng biến thiên suy ra m 4 là giá trị cần tìm

giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt

Lời giải Chọn B

Đặt (vì nên ), khi đó ta có phương trình

Nhận thấy: nếu thì ta có một giá trị Nếu thì

Xét hàm số với Ta có bảng biến thiên :

Yêu cầu bài tốn cĩ hai nghiệm dương phân biệt

Vậy cĩ 15 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài

log x2 log x 3 m log x3 với m là tham số thực Tìm tất cả

các giá trị của m để phương trình cĩ nghiệm thuộc 16; 

A 1m2 B 1m 5 C 3 5

4m D. 1m 5

Lời giải Chọn B

Đặt tlog2x với x   16;   thì t 4, khi đĩ ta cĩ phương trình 2   

các giá trị của để phương trình cĩ nghiệm thuộc

Lời giải Chọn D

Đặt với thì , khi đĩ ta cĩ phương trình

5

t t

51

t loại m t m

Do đó để phương trình đã cho có nghiệm , kết hợp

Vậy với thì phương trình đã cho có nghiệm thuộc

Câu 43.13: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình log cos2 x  m log cos2x m  2  4 0 vô

nghiệm

A. m  2; 2 B. m   2; 2 C m   2; 2 D. m   2; 2

Lời giải Chọn C

Ta có: log cos2 x  m log cos2x m  2  4 0  log cos2 x  2 log cos m x  m2  4 0 (*)

Đặt log cos x  t Do cosx  1 t 0

Khi đó phương trình (*) trở thành: 2 2

t  mtm   (1) Phương trình (*) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm hoặc có các nghiệm đều dương Điều này xảy ra khi và chỉ khi

1 2

000

m m

m m

nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x1x2 15 là:

Lời giải Chọn D

33log 2x  m3 x 1 mlog x   x 1 3m 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm

phân biệt thỏa mãn (*)

2

2 2

Do đó 13m 2 3 Vậy số các giá trị nguyên của m thỏa mãn là 13

log x log 5x1  log m (m là tham số thực) Có tất cả bao nhiêu

giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?

Lời giải ChọnA

Ta có bảng biến thiên của hàm số f x :

Phương trình  1 có nghiệm  phương trình  2 có nghiệm 1



Mà m   và m 0 nên m 1;2;3;4.

Vậy có 4 giá trị nguyên của mđể phương trình đã cho có nghiệm

x x m  x x m  với m là tham số Tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng 3;  là tập Sa; Đánh giá nào sau đây đúng?

A. 3 a  1 B.  1 a 1 C.1a2 D. 2a 5

Lời giải Chọn A

Đặt tlog5x m  Phương trình đã cho trở thành

5x

f x  x  đồng biến trên 3;  m f  3  2

Kết hợp hai trường hợp trên ta được m    2;  a 2

Câu 43.17: Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình

 

2 2

Vậy tổng các giá trị của m là

Câu 43.18: Cho phương trình với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của

Từ bảng biến thiên ta thấy các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm là

Vậy số giá trị nguyên của m  15;15 để phương trình đã cho

có nghiệm là 14

Câu 43.19: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình lnmlnmsinx sinx có nghiệm

Lời giải Chọn B

ln msinx sinxe xsinxm **

Đặt Phương trình  ** trở thành:

Xét hàm số trên 1;1 

Hàm số liên tục trên 1;1 và có

Hệ phương trình ban đầu có nghiệm  phương trình  ** có nghiệm 1m e 1

tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn là khoảng

Khi đó thuộc khoảng

Lời giải Chọn A

Theo đề ra ta chọn điều kiện của là

x x

3 2

2

10

34(log x) log x m 0log xlog x m (1)

Đặt tlog3x, ta được phương trình t2  t m với t  ( ;0) khi x 0;1

Để phương trình (1) có hai nghiệm x 0;1 khi phương trình t2  t m có hai nghiệm ( ;0)

t  

Xét hàm số yt2 trên t ;0

Pt: 2

log x(m1) log x 4 m0 (1) Đặt tlog5x, với t 0; 2 khi x 1; 25

t t y

3

1( 1)

t

y

t t

103

y t

3

10 3

2

4 +∞

y t

Câu 43.25: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình

có hai nghiệm thỏa mãn

A. m  2 B. m  1 C. m 1 D. m 2

Lời giải Chọn C

Điều kiện x 0

Đặt tlog3x, ta có phương trình t2(m2)t3m  1 0

GS : t1log3x1,t2log3x2t1t2log3x1log3x2log3x x1 2 3

Vậy để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài khi và chỉ khi

Câu 43.26: Tổng tất cả các giá trị để phương trình 3x22x1log (3 x2 3 2 )x 9x m log (23 x m 2) có

đúng ba nghiệm phân biệt là

Lời giải Chọn D

Phương trình  1 có đúng ba nghiệm phân biệt nếu xảy ra các trường hợp sau:

+) PT  3 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT 4

32

m

  , thay vào PT  4 thỏa mãn

+) PT  4 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT 3

12

m

  , thay vào PT  3 thỏa mãn

+) PT  4 có hai nghiệm phân biệt và PT  3 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm của hai PT trùng nhau

Ta giải hệ:

2 2

Như vậy với m 1 thì (3) và (4) có nghiệm chung là x 1

Thay m 1 vào lần lượt vào 2 phương trình ta được 3 nghiệm 1;3 Vậy ta nhận m 1 Xét m 1, phương trình có 3 nghiệm khi (3) có 2 nghiệm phân biệt và (4) có nghiệm kép hoặc ngược lại Như vậy ta có:

m

m m

Câu 43.28: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số để phương trình m.5x23x254x2 56 3 xm có đúng

nghiệm thực phân biệt

Lời giải Chọn A

u

u v v

2 2

Vậy có 3 giá trị của m cần tìm

Câu 43.29: Với giá trị của tham số m thì phương trình m1 9 x2 2 m3 3 x6m 5 0 có hai nghiệm

Để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc khoảng 1

x

 

 có hai nghiệm thuộc

1( ; 2)

 

 trên khoảng

1( ; 2)

Ta có

2 2

0

1(2 1)

x

y

x x

52 xmx  52 x  mxm2x 6mx 2m

4 5

-2

0 +∞

-∞

+

-1 2

- 1 8

-0 -1

-∞

+∞

+∞ 0

-1

2 -∞

y x

x y

Câu 43.33: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thì phương trình sau có nghiệm

2 3sinxm7 4 3 cos2x12mcos2xs inx

Lời giải Chọn D

Câu 43.34: Giá trị thực của tham số m để phương trình 25 x4(m1).5x5(4m1) có hai nghiệm 0

thực x1, x2 thỏa mãn (x14)(x24)30 thuộc khoảng nào sau đây ?

x t

Câu 43.37: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp ( ; ) x y thỏa mãn

đồng thời các điều kiện logx2y23(2x6y5) 1 và 3xy 3m0 Tổng các phần tử của

S bằng

Lời giải Chọn D

Ta có:

Câu 43.39: Cho bất phương trình   2 2  

5 11

log 2x  m1 log x m  3 0 ( m là tham số thực) Tập hợp tất

cả các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn 4 ; 4 2  là

Điều kiện: x 0

       

 

2 2