de thi hsg toan 9

Thí sinh làm bài cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận ra tờ giấy thi.. Cho biểu thức.[r]

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2017-2018 Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Ngày 21-12-2017 (Đề thi có 03 trang)

Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) ra tờ giấy thi.

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm)

Câu 1 Biểu thức x 2x1 x 2x1 có nghĩa khi nào?

A

1 0

2

x

 

B 0 x1. C

1 2

x 

hoặc x 2. D

1 2

x 

Câu 2 Cho biểu thức

1 2

2

Q x

x

  

 biết x 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.

5

Câu 3 Cho

6 1

x A x





 Tìm số các giá trị hữu tỉ của x để biểu thức A nguyên

A 5 B 6 c 7 D 10

Câu 4 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): ym 2 x2 Gọi h là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng (d) Tìm giá trị lớn nhất của h.

A.2 3. B 3. C 5. D 2.

Câu 5 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A2;4 ; B2; 4 ;  C5;1 Tính diện tích

tam giác ABC

A 20,5 B 21,5 C 22 D 18.

Câu 6 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng  d1 :x 2y6;

 d2 : y x  2;   d3 : 2m3 x 3my0 Tìm m để ba đường thẳng đã cho đồng quy.

A

1

2



B

1

2 C

3

4 D

2 3



Câu 7 Cho hệ phương trình.

( 1) 2

x m y

m x y m





   

 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn điều kiện (x> y)

A

1

0

m

m









 B.0 < m < 1 C 0m1 D m >1

Câu 8 Cho hệ phương trình : 2 2

3

m x y m

m x y m m

   





  

 trong đó m z m , 1 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nguyên

A m  3; 4;0; 2  

B m    4; 2;0;2 

C.m   4; 3; 2; 2   

D.m   1;0;1;2 

Câu 9 Hệ phương trình nào sau đây vô nghiệm ?

A

2









x y

x y

B

2









 

x y

x y

C









x y

x y

D

2









x y

x y

.

Câu 10: Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng

4

của hai cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền là:

A

2

16

4

9 4

Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 21cm, cosC =

3

A

3

4

21

35 21

Câu 12: Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC cạnh a là:

A

a

a 3

a 3

a 3 3

Câu 13: Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD song song với nhau, biết AB = 3cm;

CD = 4cm, khoảng cách giữa hai dây là 3,5cm Bán kính đường tròn (O) là:

Câu 14 Tam giác cân tại A, đường cao AD, trực tâm H Biết AH = 14cm,

HB= HC= 30cm, Độ dài AD là.

A.32cm và 11cm B.30cm và 12cm

C.35cm và 14cm D.32cm và10cm.

Câu 15 Tam giác ABC có chu vi 80cm ngoại tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến của

đường tròn (O) song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự ở M,N, Biết MN= 9,6cm độ dài BC là.

A 28cm và 12cm B 26cm và 15cm

C 25cm và 15cm D 24cm và 16cm.

Câu 16 Một ngày đầu năm 2002, Huy viết thư hỏi ngày sinh của Long và nhận được

thư trả lời : Mình sinh ngày a, tháng b, năm 1900 + c và đến nay d tuổi Biết rằng a.b.c.d = 59007 Huy đã tính được ngày sinh của Long và kịp viết thư chúc mừng sinh nhật bạn Hỏi Long sinh ngày tháng năm nào

A 17-3-1989 B, 17- 2 – 1990 C 20-3-1989 D 18-2- 1990

B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên dương b c, thỏa mãn

.2017 2017

a b

b c



 là số hữu tỉ và b2 +c2 + bc là số nguyên tố (a là số nguyên )

b) Cho a2017b2017 a2018b2018a2019b2019 Tính a + b

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Giải phương trình x 3 x 4 1.

b) Giải hệ phương trình

2

xy y y





Câu 3 (4,0 điểm).

1 Cho đường tròn tâm O, điểm K nằm ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm ) Kẻ đường kính AOC Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt AB ở E Chứng minh rằng

a) Các tam giác KBC và OBE đồng dạng.

b) CK vuông góc với OE.

2 Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC= a Ba đường cao tướng ứng là ha, hb,,hc

Chứng minh rằng

2

4

a b c

h h h

 



 

Câu 4 (1,5 điểm) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn abc + a +c = b Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức sau 2 2 2

P

HẾT

Họ và tên thí sinh: SBD:

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Hướng dẫn chấm có 06 trang

I. Một số chú ý khi chấm bài

- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của đáp án

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

II Đáp án – thang điểm

1. Phần trắc nghiệm khách quan

Đáp

án

Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

2 Phần tự luận

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên dương b c, thỏa mãn

.2017 2017

a b

b c



 là số hữu tỷ và

b2 +c2 + bc là số nguyên tố (a là số nguyên)

Ta có

.2017

( d ( , ) , 0) 2017

.2017 2017 2017 2017

trong o m n Z m n

b c

an n b mb m c

an mb m c n b





Vì (an-mb) là số hữu tỉ

Suyra:m c.2017 n b.2017QTacó

(m c.2017 n b.2017) m c.2017n b.2017 2 b c .2017 Q

0,25

0,25

0,25

Nội dung Điểm

Ta có b2 +c2 +bc = (b + c )2 – x2 =(b +c – x)(b + c +x) là số nguyên tố

Suy ra: b + c - x = 1  2

1

b c x

bc x

  







 Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có

*

1

b c

  

0,25

0,25

b) Cho a2017b2017 a2018b2018a2019b2019 Tính a + b

Nếu a = b = 0 thì a + b = 0

Nếu a + b  0

2019 2019 ( 2018 2018)(a b) ab( 2017 2017)

1 (a b) ab 1 (a b) ab 0 (a 1)(b 1) 0

1 0

1 0

: 0;1; 2

a

b

Vay a b

            

 



   



       

       

 

0,25

0,25 0.25

0,25

0,25 0,25

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Giải phương trình : x 3 x 4 1

Điều kiện :x 4 Ta có

x

Vậy x = 13

0,25

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

b) Giải hệ phương trình

2

xy y y







Nội dung Điểm

2 2

2 2

2





 









2

2

3 2 2

3 2 2

2

2

x

y

x

y

x

y

x

y

 

 









 



   

 



  

 





 



 



  

 







  

 

 



Hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm

( ; ) ( 3 2 2;1 2);( 3 2 2;1 2);( 3 5; );( 3 5; )

0,25 0,25

0,25 0.25 0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 3 1 Cho đường tròn tâm (O), điểm K nằm ngoài đường tròn Kẻ các tiếp

tuyến KA, KB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm ) Kẻ đường kính AOC

Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt AB ở E Chứng minh rằng

Nội dung Điểm d) CK vuông góc với OE.

0,25

a) Ta có AK//CE (cùng vuông góc AC)

tan tan

BEC BAK BCE AKO

BE OB KB OB BEC OKB

BC KB BC BE

Ta có KBA OBC (cùng phụ với ABO )

KBC OBE

  suy ra tam giác KBC đồng dạng tam giác OBE (c.gc)

b) Từ a) suy ra BCK BEO gọi J là giao điểm của BC và OE, I là giao điểm của CK

và OE

Ta có BJE CJO (đối đỉnh ) Suy ra OE vuông góc CK

0,5

0,5

0,25 0,5

3 Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC= a Ba đường cao tướng ứng là

ha, hb,,hc chứng minh rằng

2

4

a b c

h h h

 



 

Nội dung Điểm

Kẻ AM vuông góc BC

Kẻ Ax vuông góc AM

Kẻ By vuông góc BC

Ax cắt By tại N trên tia đối của NB lấy E sao cho NE =NB

Ta có AM = NB = NE=ha

Áp dụng định lý py ta go vào tam giác EBC

BE BC EC trong tam giác EAC thì EA AC EC 

EB BC EA AC

     4h a2a2 (b c )2 dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC

cân tại A

Chứng minh tương tự ta có

4h b b (a c)

    và

4h c c (a b)

Suy ra

2

h h h a b c a b b c c a

a b c

h h h a b c

h h h

 

  Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều

0,25

025

0.25 0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Nội dung Điểm Câu 4.Cho các số dương a b c, , thỏa mãn abc + a +c = b Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức sau 2 2 2

P

Ta có abc + a +c = b

2

0 1

(1 )(1 ) (1 ) ( )

3 (1 )(1 ) (1 )(1 )

( )(5 ) (3 3 )(5 )

3 (1 )(1 ) 3(1

b a

c

ab

P

ab

b a a b b a a b



 







2

3 )(1 )

12(1 )(1 ) 3(a b) 3

apdungbatdangthuc AM GMva cauchyswarz b

b a a b



.Vậy Max

1

2

2

4

a

b a a b a

b

a b c a c b c





  

  





0,25

0,25 0,25 025

0,25

0,25