Hãy tính giá trị của biểu thức A. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF. b) Gọi H là giao điểm của AE và BC.. Tính độ dài đoạn thẳng IK..[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2017-2018
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 06 trang
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay
Câu 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức: A 2 2
: 1
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Cho biết: 2 2
2016 2017
x y xy Hãy tính giá trị của biểu thức A
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Thực hiện phép tính: B = 2 3 4 15 10
-b) Giải phương trình:
18 3
9 3
4 24 10
2 4
5
3
2 2
2 x x x x x
x
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = 2 2
16x 8x 1 16x 24x9
Câu 3 ( 4,0 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
3x 5y 255
b) Cho a, b và c là ba số dương thoả mãn abc1 Chứng minh rằng:
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ
các hình vuông AMCD, BMEF
a) Chứng minh rằng: AE BC
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh rằng: 1 2 1 2 1 2
c) Gọi I là giao điểm của AC và DF, kẻ IK vuông góc với AB Biết MD = 6 2 cm,
MF = 3 2 cm Tính độ dài đoạn thẳng IK
Câu 5 ( 1,0 điểm)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Trên cùng một mặt phẳng cho 4037 điểm, biết rằng 3 điểm bất kì trong 4037 điểm trên luôn chọn được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng trong các điểm
nói trên có ít nhất 2019 điểm nằm trong đường tròn bán kính bằng 1
-HẾT -
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh SBD: phòng
thi
PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HDC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN
Hướng dẫn chấm gồm 04 trang
1
a
: 1
: 2
2
2
x y x y x y
2
2
x y x y x y
x y
x y
b
Ta có: 2 2
2016
x y
Từ điều kiện, ta có khẳng định
2016
x y
Khi đó: A =2017 2017
2018 2018
y
Vậy: A =2017
HDC – T9
Trang 32
a
B
2 23 3 5
=
-0,5
B 4 2 3 8 2 15 2 5
46 6 5
=
-0,5
2
B
3 5 1
=
-0,5
2
B 3 1 5 3 2 5
3 5 1
=
B 3 5 1 1
3 5 1
b
Ta có:
18 3
9 3
4 24 10
2 4
5
3
2 2
2 x x x x x
x
0,25
x 13x 4 x 42x 6 43 x 39x 6
x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 Vậy tập nghiệm của phương trình: S = {0;2 } 0,25
c
16x 8x 1 16x 24x9
C = 2 2
C =4x 1 3 4x 4x 1 3 4x 4 0,5
C = 4 (4 1)(3 4 ) 0 1 3
Trang 4Vậy GTNN của C là 4 khi 1 3
3 a
Với x 5 y 6
x y (loại) Với x 5 y 6
0,5
3 b
Tương tự: 2 2
b c bc c , 2 2
ab b bc c ac a ab b b ab ab b
1 1
1
ab b
ab b
.1
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
0,25
Trang 54
Ta có hình vẽ:
a
Chứng minh được: ∆AME = ∆CMB (c-g-c) · ·
Mà B CM· + MB C· = 900 EA M· + MB C· = 900 A HB· = 900 0,75
b
Gọi O là giao điểm của AC và DM
∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến 1 1
∆DHM vuông tại H DHM· = 900
0,25
4
b
Suy ra: DHM· + MHF· = 1800 ba điểm D, H, F thẳng hàng 0,5
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào ∆DMF, ta có: 1 2 1 2 1 2
c
Ta có: DMF· = 900 MF DM mà IO DM IO // MF 0,25
Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF
0,25
K
I
O D
C
B
F E
H
Trang 6Lưu ý:
- Nếu học sinh làm bài theo cách khác hướng dẫn chấm mà đúng thì vẫn cho điểm
tối đa của bài đó
- Đối với bài hình học, nếu học sinh vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không được
tính điểm
Tham khảo nhiều tài liệu HSG thông qua đường dẫn :
https://doc.bloghotro.com/de-thi-hoc-sinh-gioi/
Vì IK AB (KAB) nên IK // AD // BF IK là đường trung bình của hình thang
Áp dụng định lý Pitago vào hai tam giác vuông cân AMD và BMF, tính được: AM
0,25
5
Gọi A là 1 trong 4037 điểm đã cho Vẽ đường tròn tâm A bán kính là 1.
Kí hiệu (A, 1 )
+) Nếu tất cả 4036 điểm còn lại đều nằm trong đường tròn này thì bài toán được
giải quyết
0,25
+) Giả sử B nằm ngoài đường tròn (A, 1 ) Khi đó, A B > 1, vẽ đường tròn tâm B
bán kính bằng 1, kí hiệu là (B, 1 ) Gọi C là điểm điểm bất kì trong 4035 điểm còn
lại
0,25
Do A B C, , là ba điểm bất kì và A B > 1 nên theo giả thiết hoặc A C < 1 hoặc
1.
B C < Nên C nằm trong (A, 1) hoặc (B, 1) Do đó, 4035 điểm còn lại nằm trong
(A, 1) và (B, 1)
0,25
Theo nguyên lí Dirichlet một trong hai đường tròn này chứa ít nhất
4035
1 2018 2
ë û điểm còn lại nhưng tính cả điểm A hoặc B ta có 1 đường tròn
trên ít nhất 2019 điểm
0,25
