De Dap an Olympic Toan 10 nam 2017

Tìm tọa độ điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất biết hoành độ của điểm B và tung độ của điểm C không âm.. 3,0 điểm: Cho đường tròn tâm O và ba dây cung song song AB, CD, EF [r]

SỞ GD & ĐT HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC

ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 10

NĂM HỌC 2016 – 2017

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu 1 (3,5 điểm): Cho hàm số y x 24x1 và hàm số y2x m Tìm m để đồ thị các

hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác OAB đến các trục tọa độ bằng nhau (điểm O là gốc tọa độ)

Câu 2 (6.5 điểm):

a) Giải hệ phương trình:







b) Giải phương trình: 6x3(x22 ) 2x x1 2 x34

Câu 3 (1,5 điểm): Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức h b  p p b(  ) (h b là độ dài đường

cao ứng với cạnh AC) Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Câu 4 (3,5 điểm): Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;1) Trên trục Ox, Oy lần lượt lấy

hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại A Tìm tọa độ điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất biết hoành độ của điểm B và tung độ của điểm C không âm.

Câu 5 (3,0 điểm): Cho đường tròn tâm O và ba dây cung song song AB, CD, EF của đường

tròn đó Gọi H, I, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ACF, AED, CEB Chứng minh H,

I, K thẳng hàng.

Câu 6 (2,0 điểm): Cho a b c , , 0 thỏa mãn: a2b2c2ab 2bc 2ca0

Chứng minh:

- Hết

-Họ tên thí sinh: SBD:

Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GD & ĐT HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC

KỲ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 10

NĂM HỌC 2016 – 2017

ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM

1

(3,5đ)

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x24x 1 2x m

 x26x 1 m0 (1)

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Phương trình (1) có

hai nghiệm phân biệt   0  m 8

1,5

Gọi x x A, B là hai nghiệm của phương trình (1), G là trọng tâm của tam

giác OAB

Ta có:

2 3

12 2

A B O G

A B O G

x

y









1,0

Yêu cầu bài toán  x G y G

3 9

m m m





 Kết hợp điều kiện,vậy m=-3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

1,0

2a

(3,5 đ)

Với điều kiện trên, hệ phương trình



 





 



1,5

 

 





y



 





1,0

(loại)

2 5

y x





 





KL: Vậy hệ phương trình có nghiệm (5; 2)

0,5

2b

(3,0 đ) Điều kiện:

1 2

x 

0,25

Với điều kiện trên, phương trình tương đương:

3 (x x2) 2x1 2 x3 6x4

2

2

2

2

x





 



1,0

2 (1) 2(2x1) 3 x 2x 1 2 x 0

2 0(2)

0,5

Đặt

x

x



Phương trình (2) trở thành: 2t23t 2 0

2 1 2

t t









 



0,5

Với

x t

x



4 2 3

4 2 3

x x

  

 

 



Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của phương trình là:

{4-2 3; 4+2 3}

S 

0,5

0,25 3

(1,5đ)

Ta có:

2

b b

S

b

0,5

Theo đề bài:

2

S

p p b

0,5

(loại)

(loại)

2

S

b

p p b



a c

Vậy tam giác ABC cân tại B

0,5

4

(3,5đ)

Gọi B(b;0), C(0;c) ( b c , 0)

2

2



Tam giác ABC vuông tại A   AB AC. 0

10 3

Mà

10

3

1,5

Lại có:

1

2

ABC

2

3

2 3

2

1,0

Xét hàm số

2 3

2

(

10 0

3

x

 

)

Bảng biến thiên: x 0 3

10

3

f(x) 15

5

3

3

2

Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất là 15 khi b=0 B(0;0), (0;10)C

1,0

5

(3,0đ)

*) Chứng minh tính chất: Cho tam giác ABC Gọi H, O lần lượt là

trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì: OA OB OC OH                                                          

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua O, D là trung điểm của BC

Ta có: tứ giác BHCA’ là hình bình hành nên D là trung điểm của HA’

1,0

Mà OB OC 2ODAH

   

OB OC OH OA

OA OB OC OH

*)Ta có: H, I, K lần lượt là trực tâm của tam giác ACF, AED, BCE

OF(1) (2) (3)

OI OA OE OD

OK OB OC OE







Từ (1)và (2)  IH DCEF

  

(1)và (3)  KH BAEF

  

1,0

Mà AB//CD//EF  m n, sao cho DC m EF

 

, BH nEF

 

, KH (n1)EF

,

IH KH



 

cùng phương

, ,

I H K

1,0

6

(3,0đ) Đặt

a x c

 ,

b y c



(x,y >0)

Theo đề bài : a2 b2c2ab 2bc 2ca0

2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

2

4

x y

2

x y

1,0

2 2

P

2

2

2

xy

xy

xy

xy

2

2

2

P

x y



2

Dấu bằng xảy ra khi x = y =1 a=b=c

0,5