De thi Dap an Olympic Toan 10 nam 20122013

Câu 5: 4 điểm Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có phương trình hai cạnh là.. thuộc đoạn thẳng BC.[r]

SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10

TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC

(Thời gian làm bài 120 phút)

Năm học 2012-2013

Câu 1: (4 điểm)

Cho parabol (P)

2

2 2

x

y  x

và họ đường thẳng (dm) có hệ số góc k = m và luôn đi qua gốc tọa độ

1) Tìm điều kiện của m để (dm) cắt (P) tại 2 điểm

2) Khi (dm) cắt (P) tại 2 điểm A và B Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB khi m thay đổi

Câu 2: (6 điểm)

x 2

1 x 2 x 2

5 x

(a là tham số) a) Giải bất phương trình với a = 4

b) Tìm a để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x > 0

2) Giải hệ phương trình sau:

3 1





 



Câu 3: (3 điểm)

Cho a, b, c > 0 Chứng minh bất đẳng thức sau:

 

Câu 4: (3 điểm)

Tính diện tích hình bình hành biết hình bình hành đó có tọa độ một đỉnh là (4 ; -1) và phương trình các đường thẳng chứa hai cạnh là x -3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0

Câu 5: (4 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình hai cạnh là

AB: x 2y 2 0,  AC: 2x y   1 0, điểm M1; 2 thuộc đoạn thẳng BC Tìm tọa độ điểm

D sao cho  DB DC. có giá trị nhỏ nhất

- Hết

-SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ĐÁP ÁN THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10

TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC

(Thời gian làm bài 120 phút)

Năm học 2012-2013

Câu 1: (4 điểm)

Cho parabol (P)

2

2 2

x

y  x

và họ đường thẳng (dm) có hệ số góc k = m và luôn đi qua gốc tọa độ

1) Tìm điều kiện của m để (dm) cắt (P) tại 2 điểm

2) Khi (dm) cắt (P) tại 2 điểm A và B Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB khi m thay đổi 1.KL : m     ; 3  1;.

2.Tọa độ điểm I thỏa mãn 2

1 3

x m

 





  



KL: Quỹ tích cần tìm là hai phần thuộc hai nhánh parabol y x 2 x 3 với x 2.

Câu 2: (6 điểm)

x 2

1 x 2 x 2

5 x

(a là tham số) a) Giải bất phương trình với a = 4

b) Tìm a để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x > 0

2) Giải hệ phương trình sau:

3 1





 



HDC

1)

1

x 

x

2

1

x







a) Với a = 4: giải 2t2-5t+2 > 0  t >2; t<1/2 (loại do đk)

1

x 

>2 ra





















2 2

3 x

2 2

3 x 0

b) (1) đúng x>0  (2) đúng t  2

(2) 2t2-5t > 2-a (t 2)

Lập bảng biến tiên tìm ra kết quả: a>5 2  2

2)

Hệ phương trình có nghiệm 1;0 , 2; 1    

Câu 3: (3 điểm)

Cho a, b, c > 0 Chứng minh bất đẳng thức sau:

 

HDC

Ta chứng minh được:

3

2 3





Lập luận tương tự: … cộng vế với vế ta được ĐCM

Câu 4: (3 điểm)

Tính diện tích hình bình hành biết hình bình hành đó có tọa độ một đỉnh là (4 ; -1) và phương trình các đường thẳng chứa hai cạnh là x -3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0

HDC

Tìm được các đỉnh của HBH là :  

9 3 17 20 18 6 4; 1 , ; , ; , ;

11 11 11 11 11 11

        

Diện tích cần tìm : S= 63/11

Câu 5: (4 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình hai cạnh là

AB: x 2y 2 0,  AC: 2x y   1 0

, điểm M1; 2 thuộc đoạn thẳng BC Tìm tọa độ điểm

D sao cho  DB DC. có giá trị nhỏ nhất

HDC

Tìm tọa độ điểm D sao cho DB DC.

 

có giá trị nhỏ nhất

- Phương trình các đường phân giác góc A là

3 0

3 3 1 0

  



x y

- Do ΔABC cân tại A nên phân giác trong (la)

của gócA vuông góc với BC

- TH1:(l ) : x y 3 0a    , khi đó BC đi qua M(3;0)và có vtpt 1  (1;1)



Phương trình cạnh BC:x y  3 0

l a

C B

A

M

Tọa độ B :

(4; 1)

B

Tọa độ C :

( 4;7)

C

Khi đó MB  3; 3 

; MC    5;5

ngược hướng ; B,C nằm hai phía (la) ( thỏa mãn)

- TH2:(l ) : 3x 3y 1 0a    , khi đó BC đi qua M(1;2)và có vtpt  2  (1; 1) 

n

;

BCAD MBCPhương trình cạnhBC: x y  1 0

Tọa độ B :

(0;1)

B

Tọa độ C :

2

( ; )

3

x

x y

C

x y

y







  

  



Khi đó MB     1; 1

;

5 5

;

3 3

MC   



cùng hướng (loại) Với B(4; 1) ; C  4;7

Đặt D x y ;   DB4 x; 1  y DC,    4 x;7 y

           

Dấu

0 '' ''

3

x y





  



 Vậy D(0;3) thì DB DC.

 

nhỏ nhất bằng -32

- Hết