Biết rằng Minh Khôi có 5000 thanh đồ chơi, mỗi thanh có chiều dài 10cm và Minh Khôi muốn dùng các thanh này (không nhất thiết dùng hết các thanh) để xếp thành một tháp lớn nhất (tháp phả[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC TP HỒ CHÍ MINH KIỂM TRA CHỌN HSG VÒNG 2 TRƯỜNG
MÔN TOÁN – KHỐI 10 THỜI GIAN: 120 PHÚT (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6,0 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình sau:
a (x 3) 1 x x 4 x 2x2 6x 3
y x x
x
y y x
x x
1 4 7 1 6 4
2 4
3
Câu 2: (5,0 điểm)
Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm A1; 1 , B 2; 3 và C2; 1
a Tìm tọa độ điểm F để FA FB 3FC 0
b Xác định vị trí của M để MA3MB MC
nhỏ nhất , biết M m m , 1 là một điểm
di động
c Tìm tọa độ điểm D để ABDC là hình thang có hai đáy là AC BD, và diện tích hình thang bằng 7
Câu 3: (3,0 điểm)
a Tìm giá trị lớn nhất của
P
xyz
-=
b Cho ba số thực dương x,y,z thỏa 3xyz xy yz zx
Chứng minh 2 2 2
4
x x y y z z
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho bảng ô vuông kích thước 100x100 mà mỗi ô được điền một trong các ký tự A, B,
C, D sao cho trên mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng 25 Ta
gọi hai ô thuộc cùng hàng (không nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”,
còn hình chữ nhật có các cạnh song song với cạnh hoặc nằm trên cạnh của bảng và bốn ô
vuông đơn vị ở bốn góc của nó được điền đủ bốn ký tự A, B, C, D là “bảng tốt”.
a Hỏi trong các cách điền ở trên, có bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông 1x4, 4x1
và 2x2 đều có chứa đủ các ký tự A, B, C, D?
Trang 2b Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho luôn
có 2 cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được 76 cặp tốt
Câu 5: (3,0 điểm)
Minh Khôi dùng các thanh đồ chơi xếp thành các tháp 1,2,3,… có hình dạng tuân theo quy luật như hình vẽ:
Với mỗi số nguyên dương n, gọi f n là số thanh đồ chơi cần có để xếp thành tháp n
Ví dụ: f 1 3,f 2 10,f 3 21,
a Viết công thức tính f n 1 theo f n và n
b Viết công thức tính f n theo n
c Biết rằng Minh Khôi có 5000 thanh đồ chơi, mỗi thanh có chiều dài 10cm và Minh
Khôi muốn dùng các thanh này (không nhất thiết dùng hết các thanh) để xếp thành một tháp lớn nhất (tháp phải có hình dạng tuân theo qui luật như hình vẽ Hỏi tháp lớn nhất
mà Minh Khôi có thể xếp được có chiều cao là bao nhiêu ?
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên học sinh: ……….…….……….… Lớp:……… ……….
MÔN TOÁN – KHỐI 10 THỜI GIAN: 120 PHÚT (không kể thời gian giao đề)
TỔNG
Trang 3a Điều kiện −1 ≤ x≤ 4
Phương trình (1) (x 3)( 1x1) x( 4 x1) 2 x2 6x 0,5 đ
6,0 điểm
2 3
( 3) 0
2 (2)
x x
x x
0,5*3 đ
Với điều kiên −1 ≤ x ≤ 4 ta có
1
1
2
x
x
không xảy ra nên phương trình (2) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x và 0 x 3
0,5 đ
b Phương trình thứ nhất ⇔(x3
+3 x2+3 x+1)+x +1= y3+y
⇔ (x +1)3
+( x +1)= y3+y
Đặt a=x+1 ta được a3
+a= y3
+y⇔ (a − y )(a2+ay + y2
+1)=0⇔a − y =0
Vì a2+ay+ y2+1=(a+ y
2)2+3 y2
4 +1>0 ;∀ a , y
0,5đx3
Ta được y=x +1 thay vào pt thứ hai ta được
6√x −1+x +8=4 x2
ĐK: x ≥ 1
⇔(√x −1+3)2=(2 x )2
⇔√x − 1+3=2 x
0,5đx2
⇔√x − 1=2 x − 3 ⇔{ x ≥3
2
x −1=(2 x −3)2
⇔ x=2 ⇒ y=3
2
a
0 7 5
x y
0,5 đx2
5,0 điểm
Vậy
7 0;
5
F
0,5 đ
Trang 4b MA 3MB MC CA3MB
0,5 đ
2
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Dấu “=” xảy ra khi
1 6
m
Vậy
1 7
;
6 6
M
c Gọi D x y ;
0,5 đ
3 a P xác định khi x 1,y 4,z 9 .
Ta có
x 1 y 4 z 9 P
0,5 đ
3,0 điểm
Áp dụng Bđt Côsi ta có:
x 1 1 x 1 1
x 1
y 4 4 y 4 1
2 y 4
z 9 9 z 1 1
3 z 9
11 P
12
Max P=
11
12 , đạt được khi x=2, y=8, z=18
0,5đ
0,5đ
b Ta có
1 1 1
Đặt
Ta có
0,5 đ
0,5đ
Trang 5
4
3 4
3 4
.3
0,5đ
4
a) Không mất tính tổng quát, giả sử rằng 4 ô đầu tiên của cột 1 được điền
A,B,C,D
Khi đó, ô thứ hai của cột 2 phải điền D vì nó thuộc hai hình vuông 2x2 đã
chứa sẵn A,B,C Do đó, ta điền tiếp được cột 2 theo thứ tự là C, D, A, B
Cứ như thế, ta điền tiếp cho cột 3,4
1,0 đ
3,0 điểm
1,0 đ
Tuy nhiên, ta thấy các hàng khi đó không thỏa mãn vì chỉ chứa hai loại ký
tự Vậy nên không có cách điền nào thỏa mãn điều kiện đã nêu 0,5đ
b) Giả sử phản chứng rằng mỗi cặp cột tùy ý đều có ít nhất 25 cặp ô cùng
ký tự Cố định cột 1, xét 99 cột còn lại
Gọi T là số bộ (a,b) trong đó cột a có ô thứ b từ trên xuống là cùng ký2
tự Theo giả sử trên thì T 99 25.
Mặt khác, theo giả thiết thì T=100.24 (tính theo hàng)
Suy ra 100.24 > 99.25, điều vô lý này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai,
tức là luôn chọn được hai cột thỏa mãn đề bài
0,5 đ
5
(3,0
điểm)
3,0 điểm
2
suy ra tháp lớn nhất mà Minh Khôi có thể xếp được là tháp 49 và tháp này
Trang 6Đáp án và hướng dẫn chấm điểm gồm có 03 trang Học sinh giải cách khác đúng, hợp lí logic vẫn cho điểm tối đa Quý thầy cô xem lại đáp án và thống nhất trước khi chấm !