b Tìm tọa độ điểm D thuộc đoạn BC sao cho diện tích tam giác ABD gấp 2 lần diện tích tam giác ACD... Tìm giá trị nhỏ nhất của.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT MINH CHÂU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN 10
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (2,0 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình:
a) x3 x23x 0.
b)
2
x x x x
C©u 2 (2,0 ®iÓm) Cho hàm số y x 2 2mx 3m (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1
b) Tìm m để đường thẳng y 2x cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân3
biệt và hoành độ của chúng đều dương
Câu 3 (0,75 điểm) Tìm m để phương trình x3- 2x2+ =x m x( - 1) có ba nghiệm phân
biệt x x x thỏa mãn 1, ,2 3 x12+ + =x22 x32 4
Câu 4 (1 điểm) Cho
1 sin
5
Hãy tính các giá trị lượng giác còn lại của góc
cos ; tan ;cot
Câu 5 (2 điểm) Cho tam giác ABC có: A1;1 ; B3;0 ; C4;5
a) Tìm tọa độ trong tâm G và trực tâm H của tam giác ABC
b) Tìm tọa độ điểm D thuộc đoạn BC sao cho diện tích tam giác ABD gấp 2 lần diện
tích tam giác ACD
Câu 6 (0,75 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích bằng
1
4 Đặt
a=BC b=AC c=AB Chứng minh rằng cotA+cotB+cotC=a2+ + b2 c2
Câu 7 (0,75 điểm) Giải hệ phương trình:
2
Trang 2biểu thức 2 2
P
ab
Hết
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD & ĐT HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT MINH CHÂU
-ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN 10
1.a)
(1 điểm)
+ Nếu x³ - 3, ta có phương trình x2+ 4x+ = 3 0. Phương trình này có 2 nghiệm x=- 1, x=- thỏa mãn.3
+ Nếu x<- 3, ta có phương trình x2+ 2x- = 3 0.Phương trình này có 2 nghiệm x= 1 và x=- 3 không thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=- 1 và x=- 3.
0,5
0,5
1.b)
(1 điểm)
Đặt x2 x 4 t t ( 0) Phương trình trở thành t2- -t 2=0
Phương trình này có 1 nghiệm t= thỏa mãn.2 Suy ra x2 x 4 2 Từ đó x=0; x=- 1
0,5 0,5
3)
(0,75
điểm)
Biến đổi phương trình trở thành
2
2
1
0 (*)
x
é = ê
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 Tức là
0,25
0,25
Trang 3
0
m
m m
ì = + >
íï- ¹ ïî Giả sử x1= 1; x2&x3là các nghiệm của (*) Ta có
2
x + + x x = Û x + x = Û + - = Theo định lý Vi-et ta tìm được m = 1 thỏa mãn yêu cầu
0,25
6)
(0,75
điểm)
Ta có
2 sin , cos
2
+
cot
4
S
+
-Tương tự cotB=a2+ -c2 b2, cotC=a2+ -b2 c2 Cộng 3 đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh
0,25
0,25 0,25
7
(0,75
điểm)
Nhận thấy x = 0 , y=0 mãn hệ phương trình.
Khi x 0 biến đổi hệ thành
2
2
y
x y
x y
x y
x
t : Đặt :
2 , y 2
x
, hệ trở thành:
1 6 6
3
u v uv
v
+Với
2
2
1
x y
y
x
+V i ới
2
2
1
2
x
y
x
y
V y h PT ã cho có 3 nghi m l (0 ; 0), (1;-1) v (-2;2).ậy hệ PT đã cho có 3 nghiệm là(0 ; 0), (1;-1) và (-2;2) ệ PT đã cho có 3 nghiệm là(0 ; 0), (1;-1) và (-2;2) đã cho có 3 nghiệm là(0 ; 0), (1;-1) và (-2;2) ệ PT đã cho có 3 nghiệm là(0 ; 0), (1;-1) và (-2;2) à(0 ; 0), (1;-1) và (-2;2) à(0 ; 0), (1;-1) và (-2;2)
0,25
0,25
0,25
8
(1,0 điểm) Ta chứng minh được với x y, >0 thì
x+ ³y x y
Trang 42 2
3
.
1
3
ab
P
ab
+
Vì
2
a b
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
6049
3 khi và chỉ khi a b 1
0,25 0,25
a
+ TXĐ; Đỉnh I(-1;-4)
+ Bảng biến thiên;
+ Các khoảng đồng biến, nghịch biến
+ Đồ thị
0,25 0,25 0,25 0,25
2 b Tìm m:
y x mx m và y 2x cắt nhau tại hai điểm 3
Yêu cầu bài toán PT sau có hai nghiệm dương phân biệt
' 0 3( 1) 0 2( 1) 0
m m
4
m
4
1 sin
5
1,0
+
1
tan
5
+
2 6
1 sin
5
0,5 0,25
0,25
Trang 55 a A1;1 ; B3;0 ; C4;5
+ Tọa độ trong tâm:
G G
+ Giả sử H x y ;
Vì
(1)
Khi đó (1) trở thành:
41
;
11
x
H y
Vậy
;2 ; H ;
G
b
Vì S ABD S ACD BD 2 D C DB 2DC
Suy ra D chia đoạn BC theo tỷ số -2
Vậy tọa điểm D là:
;
3 3
D
D
x
D
y
HÕt