Các phương trình lượng giác cơ bản Các trường hợp đặc biệt.. Nếu hai vế bằng nhau..[r]
Trang 1CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1 Công thức lượng giác cơ bản
* sin2x+cos2x=1 *
sin tan
cos
x x
x
=
*
cos cot
sin
x x
x
=
*
2
2
1
1 tan
cos
x
x
*
2
2
1
1 cot
sin
x
x
*tan cotx x =1
2 Công thức cộng
* cos(a b+ ) =cos cosa b- sin sina b
*sin(a b+ ) =sin cosa b+cos sina b
*cos(a b- ) =cos cosa b+sin sina b
*sin(a b- ) =sin cosa b- cos sina b
* tan( ) tan tan
1 tan tan
a b
+ + =
- *tan( ) tan tan
1 tan tan
a b
=
+
3 Công thức nhân – công thức hạ bậc
* sin2x=2sin cosx x
*
2 1 cos2 cos
2
x
*
2 1 cos2 sin
2
x
-*
2 1 cos2 tan
1 cos2
x x
x
-= +
* cos2x=cos2x- sin2x
cos2x=2cos2x- 1
cos2x= -1 2sin2x
2tan tan2
1 tan
x x
x
=
-*cos3x=4cos3x- 3cosx * sin3x=3sinx- 4sin3x
4 Công thức biến đổi tổng thành tích
*
cos cos 2cos cos
u+ v= æççç + ö÷÷÷ æççç - ö÷÷÷
è ø è ø *
sin sin 2sin cos
u+ v= æççç + ö÷÷÷ æççç - ö÷÷÷
*
cos cos 2sin sin
u- v= - æççç + ö÷÷÷ æççç - ö÷÷÷
è ø è ø *
sin sin 2cos sin
u- v= æççç + ö÷÷÷ æççç - ö÷÷÷
5 Công thức biến đổi tích thành tổng
* cos cos 1 cos( ) cos( )
2
* sin cos 1 sin( ) sin( )
2
*sin sin 1 cos( ) cos( )
2
*cos sin 1 sin( ) sin( )
2
7 Cung liên kết
Cung đối nhau x và - x
* sin( )- x = - sinx
* tan( )- x = - tanx
*cos( )- x =cosx
* cot( )- x = - cotx
Cung bù nhau x và p - x
* sin(p - x) =sinx
* tan(p - x) = - tanx
*cos(p - x) = - cosx
* cot(p - x) = - cotx
Cung phụ nhau x và 2 x
p
Trang 2p
æ ö÷
ç - ÷=
çè ø *
p
æ ö÷
ç - ÷=
çè ø
*
p
æ ö÷
ç - ÷=
çè ø *
p
æ ö÷
ç - ÷=
çè ø
Các phương trình lượng giác cơ bản
*
( )
2 sin sin
2
a
é = + ê
= Û ê = - +ê Î Z
*
( )
arcsin 2 sin
arcsin 2
p
ê
= Û ê = -ê + Î Z
Các trường hợp đặc biệt
*sinx= Û0 x=k k p( Î Z)
2
2
*
( )
2 cos cos
2
a
é = + ê
= Û ê = - +ê Î Z
*
( )
arccos 2 cos
cos 2
p p
ê
= Û ê = -ê + Î Z
Các trường hợp đặc biệt
2
*cosx= Û1 x=k2p(kÎ Z)
*cosx= - 1Û x= +p k2p(kÎ Z)
*tanx=tana Û x= +a k k p( Î Z)
*tanx= Ûa x=arctana k k+ p( Î Z)
*cotx=cota Û x= +a k k p( Î Z)
*cotx= Ûa x=arccota k k+ p( Î Z)
Phương trình lượng giác bậc hai
2
a x b+ x c+ = Đặt t=sinx Điều kiện - £ £1 t 1
2
a x b+ x c+ = Đặt t=cosx Điều kiện - £ £1 t 1
2
a x b+ x c+ = Đặt t=tanx
2
a x b+ x c+ = Đặt t=cotx
Phương trình đẳng cấp bậc hai a sin2x b + sin cos x x c + cos2x = 0 (1)
* Bước 1: Xét cosx= Þ0 sin2x=1thay vào phương trình (1) Nếu hai vế bằng nhau
thì phương trình (1 ) có nghiệm x 2 k
p p
= +
* Bước 2 : Xét cosx ¹ 0 , chia hai vế cho cos x2 ta được phương trình
2
a x b+ x c+ = đã biết cách giải
* Bước 3: Kết luận nghiệm.
Phương trình bậc nhất đối với sin và cos (asinx b+ cosx=c)
Chia hai vế phương trình cho a2+b2
Ta được phương trình 2 2 2 2 2 2
Trang 3Khi đó ta đặt 2 2 2 2
Phương trình trở thành 2 2
cos sinx sin cosx c
+ sin(x ) 2c 2
a
+ đây
là phương trình cơ bản đã biết cách giải
Chú ý: phương trình có nghiệm khi và chỉ khi a2+b2=c2