Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 9, kết quả thi vào các trường THPT, việc làm các bài toán về hàm số bậc nhất là[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ TRUYỀN THỐNG
“RÈN LUYỆN CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT
CHO HỌC SINH LỚP 9"
Người thực hiện: Phạm Thị Thanh Tú
Tổ: Toán Năm học: 2015-2016
Trang 2CHUYÊN ĐỀ
“RÈN LUYỆN CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT
CHO HỌC SINH LỚP 9"
A ĐẶT VẤN ĐỀ.
Dạng toán về hàm số bậc nhất là một trong những dạng toán cơ bản của chương trình toán 9 Trong những năm gần đây dạng toán này chiếm tỉ lệ đáng
kể trong các đề thi tuyển sinh vào THPT
Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng làm các bài tập cơ bản của dạng toán, trước mỗi bài tập tôi đã cho học sinh nhắc lại các kiến thức cơ bản, đồng thời phải gợi ý và cung cấp cho học sinh cách giải Trên cơ sở đó học sinh tìm ra cách giải hợp lý nhất Phát hiện ra được cách giải tương tự và khái quát phương pháp đường lối chung Từ đó với mỗi bài toán cụ thể các em biết nên áp dụng bài toán tổng quát nào và áp dụng vào các bài toán tương tự
Điều mong muốn thứ hai đó là mong muốn đưa thêm các dạng toán tổng hợp nâng cao Cung cấp thêm cho các em các cách làm các dạng toán mới, phức tạp hơn giúp các em có kiến thức tổng quát hơn về dạng toán này, bổ trợ cho việc thi vào các trường THPT
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy các dạng toán về hàm số bậc nhất luôn là
một trong những dạng toán cơ bản nhưng đại đa số học sinh đều bị mất điểm khi thi vào cấp 3 do không nắm chắc cách giải chúng hoặc biết cách làm nhưng trình
bày còn thiếu chặt chẽ Do vậy tôi đã mạnh dạn chọn và viết chuyên đề: “RÈN LUYỆN CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT CHO HỌC SINH LỚP 9"
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,
… vì thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy
và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện
và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn
Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống của học sinh
II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
Trang 3Trong chương trình Đại số lớp 9, dạng toán về hàm số bậc nhất là một trong những nội dung quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa dạng Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 9, kết quả thi vào các trường THPT, việc làm các bài toán về hàm số bậc nhất là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc các phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời
III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN.
Cho hai hàm s ố y = a x + b c ó đ ồ t h ị là ( d 1 ) và y = a'x + b ' c ó đ ồ t h ị là ( d 2 )
2.1 CÁC DẠN T G O Á N T HƯỜ N G G Ặ P :
1 V ẽ đồ t hị của h à m s ố y = a x + b :
Bước 1: Xá c đ ịnh g i a o đ i ể m v ớ i t r ụ c t ung : A ( 0;b)
(ch o x = 0 r ồ i t h a y v à o h à m s ố để t ì m g i á t r ị c ủ a y )
Bước 2: Xác định giao điểm với trục hoành: B(
;0
b a
) ( c h o y = 0 r ồi t h a y v à o h à m s ố t ì m đ ư ợ c x )
Bước 3: V ẽ đ i ể m A , B t r ê n h ệ t r ụ c tọa độ Oxy Đ ư ờ ng t h ẳ ng q u a A và B
là đồ thị cần vẽ
b x
a
b x a
hoặc xét giá trị đặc biệt
2 Đồ thị ( d 1) đi q u a đ i ể m A ( x 0; y 0 ) ( h a y đ i ể m A ( x 0; y 0 ) thuộc đồ t hị )
3 Hàm số y = ax + b có:
+ Đường t hẳ ng t ạo vớ i t ia Ox gó c nhọn
+ Đường t hẳ ng t ạo vớ i t ia Ox gó c tù
4 Các vị tr í giữa ha i đườ ng t hẳ ng (d1) và (d2 )
Trang 4(d1) cắt (d2) a a '
,
( ) / /(d d ) a a
(d1) trùng (d2)
, ,
(d1) ( d2 ) a a ' = -1
5 Muốn t ìm tọa độ g i a o đ i ể m c ủ a h a i đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d 1) v à (d 2) ta g i ả i hệ
phương trình sau:
, ,
Nghiệm ( x 0; y 0) tì m đ ư ợ c l à tọa độ g i a o đ i ể m c ủ a h a i
đ ư ờ ng t h ẳ ng d1 và d2
6 Lập p hươ ng tr ình đ ườ ng t hẳ ng đ i q ua ha i điể m A( xa ; ya ) và B( xb; b):
B
ư ớ c 1: T h a y t ọa độ h a i đ i ể m A , B v à o đ ư ờ ng t h ẳ ng y = a x + b ta được
B
ư ớ c 2: G i ả i h ệ p h ư ơ ng tr ình ( ẩ n a v à b ) t a c ó: a = a 0 v à b = b0
Vậ y p hươ ng tr ình đ i q ua ha i đ iể m A( xa ; ya ) và B( xb; yb) là : y = a0 x + b0
7 Muốn t ìm đ i ề u k i ệ n để (d1) cắ t ( d 2) t ạ i m ột đ i ể m t r ê n t r ụ c t ung ta g i ả i
hệ phương trình:
, ,
8 Muốn t ìm đ i ề u k i ệ n để (d1) cắ t ( d 2) t ạ i m ột đ i ể m n ằ m t r ê n t r ụ c h o à nh
ta tiến hành theo 3 bước s a u:
b a
, , ;0
b a
B
ư ớ c 3: T ì m đ i ề u k i ệ n để a a ' v à gi ả i p h ư ơ ng tr ình:
, ,
9 Tìm đ i ề u k i ệ n để (d1) cắ t ( d 2) t ạ i m ột đ i ể m c ó h o à nh độ l à m
B
ư ớ c 1: T ì m đ i ề u k i ệ n để a a ' ( * )
B ướ c 2: T ha y x = m và o (d1) hoặ c (d2) để tìm y = y0
B ướ c 3: T ha y x = m và y = y0 và o phương trình đườ ng t hẳ ng c ò n
lạ i Kế t hợp với (*) ta có đ i ề u k i ệ n c ầ n t ì m
10 Tìm đ i ề u k i ệ n để (d1) cắ t ( d 2) t ạ i đ i ể m c ó t ung độ
Trang 5y0 : B ư ớ c 1: T ì m đ i ề u k i ệ n để a a ' ( * )
B ướ c 2: T ha y y0 và o (d1) hoặ c (d2) ta tì m đ ượ c x0 tươ ng ứ ng
B ướ c 3: T ha y x = x0 và y = y0 và o đ ườ ng t hẳ ng c ò n lạ i Kế t hợp với (*) ta có đ i ề u k i ệ n c ầ n t ì m
11 Tìm đ i ề u k i ệ n để (d1) cắ t ( d 2) t ạ i đ i ể m t h u ộ c g óc p h ầ n tư t hứ n h ấ t :
B ư ớ c 1: G i ả i h ệ p h ư ơ ng tr ình: , ,
(x0;y0)
Bước 2: Tìm điều kiện thỏa mãn
0 0 ,
0 0
x y
12 Tìm đ i ề u k i ệ n để (d1) cắ t ( d 2) t ạ i đ i ể m t h u ộ c góc phần tư …
Tươ ng tự bài toán 11 , c hỉ t h a y đ ổ i b ư ớ c 2
+ Góc phần tư thứ hai
0 0 ,
0 0
x y
+ Góc phần tư thứ ba
0 0 ,
0 0
x y
+ Góc phần tư thứ tư
0 0 ,
0 0
x y
13 Tìm đ i ề u k i ệ n để (d1) cắ t ( d 2) t ạ i 1 đ i ể m c ó tọa độ ngu y ê n: B
ư ớ c 1: G i ả i h ệ p h ư ơ ng tr ình: , ,
B
ư ớ c 2: T ì m đ i ề u k i ệ n để x 0 Z , y 0 Z v à a a '
14 Chứ ng minh đồ t hị y = a x + b l u ô n đ i q u a m ột đ i ể m c ố đ ịnh v ớ i mọi tham số m:
B ướ c 1: G iả s ử đồ t hị hàm số y = a x+b luô n đ i q ua điể m A ( x0; y0) với mọi m
B ướ c 2: T ha y A ( x0; y0) và o phương trình y = a x + b ta đượ c y0 = a x0 + b(*)
B ướ c 3: B iế n đổ i ( *) về dạ ng : A m + B = 0 ( A, B là cá c biểu thức chứa
Trang 6x0 và y0)
( Xe m m là ẩ n ; A , B là c ác h ệ s ố t h ì p h ư ơ n g t r ì n h A m + B = 0 luôn luôn đ ú n g kh i A = 0 và B = 0 )
B
ư ớ c 4: G i ả i h ệ p h ư ơ ng tr ình:
0 0
A B
ta tìm đ ượ c x0 và y0.
15 Tìm m để 3 đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d 1 ): y = a x + b (d2): y = a ' x + b '
(d3): y = a " x + b" đ ồ ng q uy ( c ùng đ i q ua một điểm )
B ư ớ c 1: T ì m đ i ề u k i ệ n để a a ' a "
B
ư ớ c 2: + Nế u b = b ' thì ta tì m đ i ề u k i ệ n m để b" = b h oặ c b" = b'
( t rư ờ n g h ợp h o ặc b ' = b " h o ặc b = b " t a t ìm t ư ơ n g t ự )
+ Nế u b b ' b" Ta giả i hệ p hươ ng tr ình k hô ng c hứa tham số m
, ,
16 Tìm m để đồ t hị h à m s ố y = a x + b t ạ o v ớ i h a i t r ụ c tọa độ t a m giác cân:
B ướ c 1: T ì m gia o đ iể m vớ i tr ục t ung A (0 :b ), gia o đ iể m vớ i trục hoành
;0
b a
Bước 2 : Giải phương trình
b b a
ta tìm được m
17 Tìm đ i ề u k i ệ n c ủ a m để k h o ả ng các h t ừ g ốc tọa độ O đ ế n đ ư ờ ng
thẳng yaxb (d) có giá t r ị l ớ n n h ấ t :
B ư ớ c 1: T ì m đ i ể m c ố đ ịnh A ( x 0; y 0 ) m à đồ t hị l u ô n đ i q u a
( t heo bài toán 14)
B ư ớ c 2: T ì m g i a o đ i ể m của (d) v ớ i t r ụ c t ung B ( 0 : b )
Tì m gia o điể m của (d) vớ i tr ục hoà nh C ;0
b a
B ư ớ c 3: V ì k h o ả ng cá c h t ừ O đ ế n đ ư ờ ng t h ẳ ng l ớ n n h ấ t k hi OABC Nên áp dụng h ệ t h ứ c l ư ợ ng t r o ng t a m g i á c v u ô ng O B C v ớ i đ ư ờng cao
T ính O A , O B , O C v à t h a y v à o h ệ th ứ c ( * ) t a tìm đ ư ợ c m
Trang 7Lưu ý: + Ở b ư ớc 3 ta c ó t h ể lập ph ư ơ n g t r ì n h đ ư ờ n g t h ẳ n g O A T ừ đó tìm điều kịên của m để đường t ẳ n h g O A vuông góc với đ ư ờ n g t h ẳ n g y = ax + b
+ Ta c ó t h ể tí n h O A , O B , O C b ằ n g đị n h lý P i - t a - go h o ặc v ận d ụ ng công thức tính khoảng cách gi ữ a h ai đi ể m t r o n g m ặt p h ẳ n g tọa dộ O xy
VD : A ( xa ; ya ) và B( xb; yb ) t hì A B = x a x b2 y a y b2
A (x a; y a)
B (x b; y b)
O
18 Tìm điều kiện của tham số m để 3 điểm A(xa;ya), B(xb;yb), C(xc;yc) thẳng hàng:
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng AB ( hoặc AC, BC ) theo bài toán 6
Bước 2: Thay tọa độ điểm còn lại vào đường thẳng vừa lập ta tìm được giá trị của tham số m
2.2 CÁCH TIẾN HÀNH
Khi dạy về chuyên đề này với mỗi tiết dạy tôi đưa ra từ một đến hai dạng bài tập theo thứ tự:
- Nêu phương pháp làm bài tập tổng quát
- Đưa ra các ví dụ minh họa để làm rõ phương pháp, cách làm dạng bài tập này: có thể giáo viên cùng học sinh làm bài tập (giáo viên định hướng, làm các bước cơ bản rồi yêu cầu học sinh làm tiếp), hoặc giáo viên hướng dẫn học sinh trong một số bước biến đổi cơ bản rồi yêu cầu học sinh làm bài, sau đó giáo viên kiểm tra lại
- Ra thêm bài tập yêu cầu học sinh tự làm
Sau từ ba đến bốn tiết dạy tiến hành luyện tập để ôn tập các dạng toán vừa học nhằm nắm bắt mức độ tiếp thu, ghi nhớ, áp dụng của học sinh, từ đó có hướng điều chỉnh mức độ bài tập, cách truyền đạt, thời gian luyện tập từng dạng cho phù hợp
Trong quá trình làm các bài tập giáo viên có thể đưa ra thêm các cách giải khác nhau phù hợp với bài tập để bài toán được giải quyết một cách ngắn gọn, khoa học, có thể khuyến khích học sinh tìm tòi thêm cách làm khác trước khi giáo viên đưa cách giải khác
Trang 82.3 MỘT SỐ VÍ DỤ:
1 Cho h à m s ố y = 2 m x + m - 1 c ó đồ thị l à ( d 1)
Tìm m đ ể :
a Hàm s ố đ ồ ng b i ế n ; hàm số ng h ị c h b i ế n ?
b (d1) đi qua đ iể m A (1;2 )?
c (d1) cắ t trục t ung tạ i đ iể m c ó t ung độ bằ ng -2?
d (d1) cắ t trục ho à nh tạ i đ iể m c ó hoà nh đ ộ bằ ng -1?
e (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x + 1 tại một điểm trê n tr ục t ung; trê n tr ục hoà nh ?
f (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = 3x - 2 tạ i đ iể m c ó hoà nh độ bằ ng 2?
g (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x -5 tại điểm có tung độ bằng -3?
h (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng 2 x - y = 1?
i (d1) song song với đường thẳng
1 1 3
?
j (d1) t r ùng v ớ i đ ư ờ ng t h ẳ ng - 2 x - y = 5 ?
k (d1) vuô ng góc vớ i đườ ng t hẳ ng x - y = 2 ?
2 Tìm tọa độ g i a o đ i ể m c ủ a h a i đ ư ờ ng t h ẳ ng (d1 y =): 3x - 2 (d2): 2 y - x = 1
3 Cho h a i đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d 1 ) : y = ( m - 1 ) x + 2m (d2) : y = m x + 2
Tìm m để (d1) cắ t (d2) tạ i mộ t điể m t hu ộc góc phầ n t ư t hứ ha i
4 Tìm m để k hoả ng cá c h từ gốc tọa độ O đế n đườ ng t hẳ ng (d): y = mx - m + 1
lớn nhất ?
5 Tìm m để 3 đ ư ờ ng t h ẳ ng s a u đ ồ ng q uy:
(d1) : y = 2x – 3 (d2): y = x – 1 (d3): y = ( m - 1)x + 2
Hướng d ẫ n giải :
1 a Ta có : a = 2m
Hàm số đồng biến 2m > 0 m > 0
Hàm số nghịch biến 2m < 0 m < 0
b (d1) đi qua đ iể m A (1;2 ) 2 = 2m.1 + m – 1 3m = 3 m = 1
c (d1) cắ t trục t ung tạ i đ iể m c ó t ung độ bằ ng -2 b = -2
m – 1 = -2 m = -1
d (d1) cắ t trục ho à nh tạ i đ iể m c ó hoà nh đ ộ bằ ng -1 1
b a
1
1
2
m
m
(m 0 ) m 1 2m m 1
e +) (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x + 1 tại một điểm trê n tr ục t ung:
(d1): y = 2 mx + m - 1 ( m 0) (d2): y = x + 1
Trang 9(d1) cắ t (d2) tạ i đ iể m trê n tr ục t ung
1
1 1
2 1
2 2
2
m m
m
+) (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x + 1 tại một điểm trê n tr ục hoành:
(d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x + 1
1
2 1
2
(*)
Đ ườ ng t hẳ ng y = x + 1 cắt tr ục hoành tại điểm B(-1; 0)
Để (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x + 1 tại một điểm trê n tr ục hoành thì điểm
B (d1) 0 = 2m.(-1) + m – 1 m = -1 (thỏa mãn điều kiện(*) )
Vậy (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x + 1 tại một điểm trê n tr ục hoành khi m = -1
f (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = 3x - 2 tạ i đ iể m c ó hoà nh độ bằ ng 2
(d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = 3 x - 2
3
2 3
2
(*) Gọi đ iể m c ó hoà nh độ bằ ng 2 là A (2; y0 )
V ì A( 2; y0) t huộc y = 3x - 2 nê n y0 = 3 2 - 2 = 4 Do đó A(2; 4)
V ì A( 2;4) t hu ộc (d1) nê n 4 = 2 m 2 + m - 1 5 m = 5 m = 1 (thỏa mãn điều kiện(*) )
Vậy (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = 3 x - 2 tại một điểm có hoành bằng 2 khi m = 1
g (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x -5 tại điểm có tung độ bằng -3:
(d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x - 5
1
2 1
2
(*) Gọi đ iể m c ó tung độ bằ ng -3 là B (x0 ; -3 )
V ì B(x0; -3) t huộc y = x - 5 nê n -3 = x0 - 5 x 0 = 2 Do đó B(2; -3)
V ì B(2; -3) t hu ộc d1 nê n -3 = 2 m 2 + m - 1 5 m = -2 m =25
(thỏa mãn điều kiện(*) )
Vậy (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x -5 tại điểm có tung độ bằng -3 khi m=
2 5
h (d1): y = 2mx + m - 1 cắ t đườ ng t hẳ ng 2 x - y = 1 y = 2x – 1
khi 2m 2 m 1
i (d1): y = 2mx + m - 1 song song với đường thẳng
1 1 3
khi
6
m
j (d1):y = 2mx + m - 1 t r ùng v ớ i đ ư ờ ng t h ẳ ng - 2 x - y = 5 y = -2x - 5
Trang 10khi
( « )
v nghiÖm
Vậy (d1) không thể trùng với với đường thẳng -2x - y = 5
k (d1) vuô ng góc vớ i đườ ng t hẳ ng x - y = 2:
(d1): y = 2 mx + m – 1 (d2) : x - y = 2 y = x - 2
(d1) ( d2) 2 m 1 = -1 m =
1 2
2 Tọa độ g i a o đ i ể m c ủ a 2 đồ thị l à ngh i ệ m c ủ a h ệ p h ư ơ ng t r ình:
Vậy tọa độ độ g i a o đ i ể m c ủ a ( d 1): y = 3x – 2 ; (d 2): 2 y - x = 1 là A(1 ; 1)
3 Cho h a i đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d 1 y =): ( m - 1 ) x + 2m (d2): y = m x + 2
Tọa độ g i a o đ i ể m c ủ a 2 đồ thị l à ngh i ệ m c ủ a h ệ p h ư ơ ng t r ình:
2
2
Để (d1) cắ t (d2) tạ i mộ t điể m t hu ộc góc phầ n t ư t hứ ha i thì
1
2 2 0
1 3
4 4 1
1 0
m
4 Tìm m để k hoả ng cá c h từ gốc tọa độ O đế n đườ ng t hẳ ng (d): y = mx - m + 1 lớn nhất
Tìm đ i ể m c ố đ ịnh t h u ộc ( d) : y = m x - m + 1
G iả s ử A( x0; y0 ) t huộc (d) : y = mx - m + 1 nê n:
y0 = mx0 - m + 1 m( x0 -1 ) - y0 + 1 = 0 (*)
Phương trình (*) đúng với mọi giá trị của m
Vậy đườ ng t h ẳ ng y = m x - m + 1 l u ô n đ i q ua đ i ể m c ố đ ịnh A ( 1 ; 1)
Gọi giao đ iể m c ủa (d) vớ i tr ục hoà nh là B(
b a
; 0) hay B(
1
m m
; 0) Gọi giao đ i ể m c ủ a d v ớ i t r ụ c t ung l à C ( 0; b ) = C ( 0; 1 - m )
Ta có: OA2 = 2 2
1 1 2 OB2 =
2 2
(m 1)
m
OC2 = (1 – m)2 Khoảng cách từ O đến đường thẳng (d) lớn nhất khi dOA tại A
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OBC, đường cao OA có:
2
2 ( 1) (1 )
m