chuyên đề hàm số bậc nhất

cVẽ đồ thị của hai hàm số ứng với các giá trị của m tìm đợc ở câu a, b trên cùng hệ trục toạ độ Oxy và tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị vừa vẽ đợc.. Chứng minh khi a thay đổi thì các

Hàm số bậc nhất

Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0 )

Hệ số góc của đờng thẳng

Đờng thẳng song song - đờng thẳng cắt nhau

A Kiến thức cơ bản

1 Định nghĩa hàm số bậc nhất:

Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức:

y = ax + b

trong đó a và b là các số thực xác định và a 0

2 Tính chất hàm số bậc nhất:

a Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi x thuộc R

b Trên tập số thực R, hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0

và nghịch biến khi a < 0

3 Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0 )

là một đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và song song với đờng thẳng y = ax nếu b 0, trùng với đờng thẳng y = ax nếu b = 0

4 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0 ) :

Cách 1 : Xác định hai điểm bất kỳ của đồ thị

Chẳng hạn : A(1; a+b) va B(-1; b- a)

Cách 2 : Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ

Chẳng hạn : A(0 ; b) và B(-

a

b

; 0)

5 Đ ờng thẳng cắt nhau:

Hai đờng thẳng y = ax + b (a 0 ) và y = a, x + b, (a, 0) cắt nhau khi và chỉ khi a  a,

Chú ý : Khi a  a, và b = b, thì hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ chính là b

6 Hai đ ờng thẳng song song :

Hai đờng thẳng y = ax + b (a 0 ) và y = a, x + b, (a, 0) song song với nhau khi và chỉ khi: a = a,; b = b, và trùng nhau khi và chỉ khi: a = a, ,

b = b,

7 Đ ờng thẳng vuông góc

Hai đờng thẳng y = ax + b (a 0 ) và y = a, x + b, (a, 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a.a/ = -1

8 Hệ số góc của đ ờng thẳng :

- Khi hệ số a dơng thì góc  tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (a 0 ) với tia Ox là góc nhọn , a càng lớn thì góc  càng lớn nhng nhỏ hơn 900

- Khi hệ số a âm thì góc  tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (a 0 ) với

tia Ox là góc tù , a càng lớn thì góc  càng lớn nhng nhỏ hơn 1800

*Vì có sự liên hệ giữa hệ số a của x và góc tạo bởi đờng thẳng y = ax +b (a 0 ) với tia Ox nên ngời ta gọi:

a là hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a 0 )

B Bài tập.

Bài 1:

Cho hàm số bậc nhất y = (2m – 3)x + 5

a Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến

b Tìm giá trị của m để hàm số nghịch biến

Giải :

a hàm số y = (2m – 3)x + 5 đồng biến khi và chỉ khi :

2m – 3 > 0  m >

2 3

b hàm số y = (2m – 3)x + 5 nghịch biến khi và chỉ khi:

2m – 3 < 0  m <

2 3

Bài 2: Cho hàm số : y = ( 5 + 3 ) x + 2

a Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên tập R? Vì sao ?

b Tính các giá trị tơng ứng của y khi x nhận các giá trị :

0 ; 1 ; 3 +5 ; 5 - 3

c Tính các giá trị tơng ứng của x khi y nhận các giá trị sau:

0 ; 2 ; 4 ; 3 +5 ; 5 - 3

Giải:

a Hàm số đồng biến vì : 5 + 3 > 0

b Khi x = 0 thì y = 2

Khi x = 1 thì y = 7 + 3

Khi x = 3 +5 thì y = ( 5 + 3 ).( 3 +5 ) + 2 = 30 +10 3

Bài 3: Cho hàm số :

a y =

5

3 5

3m x b y = 3

1 3

1



m

Với những giá trị nào của m thì các hàm số trên là bậc nhất

Bài 4: Cho hàm số : y = (m2 + 3m + 2).x2 + (m2 – 4m + 3n2).x + 5

Với giá trị nào của m và n thì hàm số đã cho là bậc nhất

Bài 5: a Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ đồ thị các hàm số

y = 2x (d1) y =

2

1

x (d2)

b Đờng thẳng (d) song song với trục Ox cắt trục tung tại điểm C(0; 2) và cắt (d1), (d2) theo thứ tự tại A và B Tìm toạ độ của A, B

c Tính chu vi và diện tích tam giác ABO

Bài 6:

a Trên cùng hệ trục toạ độ vẽ đồ thị các hàm số sau:

y = 3x ; y = 3x + 6 ; y = -

3

1

x và y = -

3

1

x + 6

b Bốn đờng thẳng trên cắt nhau tại 4 điểm O, A, B, C ( O là gốc toạ độ) Chứng minh tứ giác OABC là hình chữ nhật

Bài 7:

a) Vẽ đồ thị hai hàm số: y = x và y = 3x + 3

b) Gọi M là giao điểm của hai đồ thị trên Tìm toạ độ của M

c) Qua điểm N có toạ độ (0 ; 3) vẽ đờng thẳng (d) song song với trục Ox cắt đờng thẳng y = x tại P Tìm toạ độ của P Rồi tính diện tích tam giác MNP ( theo đơn vị đo trên trục toạ độ)

Bài 8: Cho hàm số : y = (m – 2)x + m

a) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 3

b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục trục tung tại điểm có tung độ bằng 4

c)Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với các giá trị của m tìm đợc ở câu a, b) trên cùng hệ trục toạ độ Oxy và tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị vừa vẽ

đợc

Bài 9: Gọi (d1) là đồ thị hàm số y = m x + 2 và

(d2) là đô thị hàm số y =

2

1

x – 1 a) Với m = -

2

1

, xác định toạ độ giao điểm của (d1) và (d2) b) Xác định giá trị của m để M(- 3; - 3) là giao điểm của (d1) , (d2)

Bài 10: với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = -3x + (m + 2) và

y = 4x - 5 - 2m cắt nhau tại một điểm trên trục tung

Bài 11 :

a Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ :

y = 3x + 2 (d1) và y = - x + 6 (d2)

b Hai đờng thẳng cắt nhau tại M và cắt trục hoành theo thứ tự tại P và Q Tìm toạ độ của M, P, Q

c Tính độ dài đoạn thẳng MP, MQ, PQ ( theo đợn vị đo trên trục toạ độ)

d Tính số đo góc tạo bởi đồ thị (d2) với trục O x

Bài 12: Cho hàm số : y = (m – 3)x + 2n ( m  3) có đồ thị là (d) Tìm

giá trị của m và n để (d) đi qua hai điểm:

a) A(2; - 2) và

B(-3

1

; 2

1

) b) Cắt trục tung tại M( 0 ; 3+2) và cắt trục hoành tại N(2- 3; 0)

Bài 13 : Cho ba hàm số :

y = 2x + 3 (d1)

y = x + 5 (d2)

y = 2kx - 5 (d3) Tìm các giá trị của k để (d1), (d2), (d3) đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ

Bài 14 : Cho ba đờng thẳng : y = 2x + 1 (d1)

y = 3x – 1 (d2)

y = x +3 (d3)

a) Chứng minh rằng 3 đờng thẳng trên đồng quy

b) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng y = (m – 1)x + m cũng đi qua giao điểm của các đờng thẳng đó

Bài 15 : Cho hàm số y = (m+2)x + 2m – 1

Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của m đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố

định

Bài 16: Cho đờng thẳng có phơng trình: ax + (2a – 1)y +3 = 0

a Xác định giá trị của a để đờng thẳng đi qua điểm A(1; -1) Tìm hệ số góc của đờng thẳng

b Chứng minh khi a thay đổi thì các đờng thẳng có phơng trình ở trên luôn đi qua một điểm cố định trên mặt phẳng toạ độ

Bài 17: Cho hai điểm có toạ độ A(1; 2), B(-2; 1+m)

a Xác định giá trị của m để đồ thị (d1) của phơng trình: mx -3y = 5 đi qua

điểm A

b Tìm phơng trình đờng thẳng (d2) đi qua A và B

c Khi m = 11, không cần làm phép tính thì giao điểm của (d1) và (d2) là

điểm nào? Toạ độ là bao nhiêu?

Bài 18: Cho 3 điểm A(0; 3), B(2; 2), C(4; 1).

a Lập phơng trình đờng thẳng AB

b Chứng minh A, B, C thẳng hàng

c Từ O( gốc toạ độ) vẽ đờng thăng (d) vuông góc AB Tìm phơng trình đ-ờng thẳng (d)

Bài 19: Cho điểm A(2; 4), B(8; 6), C(3; -2).

a Vẽ tam giác ABC trên mặt phẳng toạ độ

b Tính khoảng cách từ các điêm A, B, C đến gốc toạ độ

Bài 20: Cho 4 điểm A(-1; 1), B(3; 2), C(2; -1), D(-2; -2).

a Lập phơng trình đờng thẳng AB, BC, DC, DA

b Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành

c Tính SABCD và SABCD =?

Bài 21: Cho hàm số y = 5x + 5

a Bằng thớc và compa hãy vẽ đồ thị (d) của hàm số

b áp dụng vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 3

Bài 22:

a Vẽ đồ thị hàm số y = 2x 2 và y = 2x

b Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho Từ đó suy ra

ph-ơng trình 2x = 2x 2 có 1 nghiệm duy nhất

Bài 23 : Cho hai hàm số y = 2x – 1 với x ≥ 1

y = -x + 3 với x < 1

a Vẽ đồ thị của hai hàm số trên

b Với giá trị nào của m thì đờng thẳng y = m cắt đồ thị của hai hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt Tìm toạ độ giao điểm

Bài 24 : Vẽ đồ thị hàm số y = x + x 4

Từ đó giải phơng trình: x = 4 - x 4

Bài 25: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình : x - 3y + 4 = 0

a Vẽ (d) trên hệ trục toạ độ Oxy và tính góc tạo bởi (d) với trục Ox

b Tính khoảng cách từ O đến đờng thẳng (d)

c Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d1) có phơng trình: x 4 - 3y = 0 chỉ cắt (d) tại 1 điểm trên trục tung Tìm toạ độ điểm đó

Bài 26: Trên hệ trục toạ độ Oxy, cho A(1; 2), B(5; 1) Xác định toạ độ

điểm C sao cho tứ giác OABC là hình bình hành

Bài 27: Cho hàm số y = f(x) = 2 - 2 2 1



 x x

a Vẽ đồ thị hàm số trên

b Tìm tất cả các giá trị của x sao cho f(x) ≤ 1

Bài 28: Cho họ đờng thẳng có phơng trình:

mx + (2m – 1)y + 3 = 0 (d)

a Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(2; 1)

b Chứng minh rằng các đờng thẳng trên luôn đi qua một điểm cố định M với mọi m Tìm tọa độ của M

Bài 29: Cho hàm số y = f(x) =

4

8 8 2 2

2

2 3









x

x x x

a Tìm tập xác định của hàm số

b Vẽ đồ thị (d) của hàm số

c Qua điểm M(2, 2) có thể vẽ đợc mấy đờng thẳng không cắt đồ thị (d) của hàm số

Bài 30 : Cho hàm số : y = 2 2 1



 x

x + 2 6 9



 x x

a Vẽ đồ thị của hàm số

b Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tơng ứng của x

c Với giá trị nào của x thì y  4

Bài 31: Cho hàm số: y = ax + b.

a Tìm a và b biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(-1; 1) và N(2; 4) Vẽ

đồ thị (d1) của hàm số với a, b vừa tìm đợc

b Xác định m để đồ thị hàm số y = (2m2 - m)x + m2 + m là một đờng thẳng song song với (d1) Vẽ (d2) với m vừa tìm đợc

c Gọi A là điểm trên (d1) có hoành độ x = 2 Tìm phơng trình đờng thẳng (d3) đi qua A vuông góc với cả (d1) và (d2) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)

Bài 32: Cho hàm số : y = mx – 2m – 1 (m 0) (1)

a Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ O Vẽ đồ thị (d1) với m tìm đợc

b Tính theo m toạ độ giao điểm A, B của đồ thị hàm số (1) lần lợt với trục

Ox, Oy Xác định m để AOB có diện tích bằng 2 (đv dt)

c Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi

Bài 33 : Cho đờng thẳng (D1): y = mx – 3 và (D2): y = 2mx + 1 – m

a Vẽ trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy cắt đờng thẳng (D1) và (D2) ứng với

m = 1 Tìm toạ độ giao điểm B của chúng

Qua O viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với (D1) tại A Xác định A

và SAOB

b Chứng tỏ rằng đờng thẳng (D1) và (D2) đều đi qua những điểm cố

định.Tìm tọa độ của điểm cố định

Bài 34: Cho hàm số : y = 2 4 4



 x

x + 4 2 4 1



 x

a Xác định a để hàm số luôn đồng biến

b Xác định a để đồ thị hàm số đi qua B(1; 6) Vẽ đồ thị (C) của hàm số với a tìm đợc

c Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phơng trình

2 4 4



 x

x + 4 2 4 1



 x

Bài 35: Xác định hàm số (D): y = ax + b, biết rằng:

a (D) song song với đờng phân giác thứ nhất của góc hợp bởi hai trục toạ

độ và (D) cắt trục hoành tại điểm (-3 ; 0)

b (D) song song với đờng thẳng (d1) : y = 2x + 3 và đi qua điểm

M(-

4

3

;3)

c (D) vuông góc với đờng thẳng (d2): y = - x + 2 tại điểm A(0; 2) ( là giao

điểm của (d2) với trục tung)

Bài 36: Cho hàm số:

(D1): y = 2x – 1 (D2): y = - 3x + 4 (D3) : y = (- 34m1)x13(m 3)

a Gọi A là giao điểm của (D1) và (D2) Tìm toạ độ của A

b Xác định giá trị của m để (D1), (D2) , (D3) đồng quy tại một điểm

c Minh hoạ hình học kết quả tìm đợc

Bài 37: Cho đờng thẳng (D) có phơng trình:

y = (m + 2)x + m – 2 (1)

a Xác định giá trị của m, biết rằng (D) đi qua điểm A(3; 0)

b Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (D) đi qua một

điểm cố định trong mặt phẳng toạ độ

Bài 38: Cho hai đờng thẳng;

(D1) : y = (m – 2)x + 4 (1) (D2) : y = (2m – 1)x + n -3 (2)

1 Xác định giá trị của m và n để:

a (D1) cắt (D2) b (D1) / / (D2)

c (D1) (D2) d (D1) (D2)

2.a Tìm m , n để (D1) và (D2) cùng đi qua điểm A(2 ; 0)

b Vẽ (D1) và (D2) với giá trị cùa m và n vừa tìm đợc

Bài 39: Trên cùng mặt phẳng toạ độ , xác định các điểm sau:

A(4;1) ; B( 1 ; - 3) ; C( 1 ; 0)

Qua C vẽ đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng AB tại H (H  AB)

a Viết phơng trình các đờng thẳng AB và (D)

b Tìm toạ độ điểm H

c Tính diện tích tam giác ABC theo đơn vị đo trên các trục tọa độ

Bài 40 :Cho các đờng thẳng có phơng trình nh sau :

(D1): 2x + y = 5 (D2): - 3x + 2y = - 4 (D3): x – y = 1

a Chứng minh rằng(D1); (D2); (D3) đồng quy tại một điểm

b Minh hoạ hình học kết quả vừa tìm đợc