SKKN TOÁN LỚP 9 CẤP HUYỆN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ LỚP 9 SKKN TOÁN LỚP 9 CẤP HUYỆN; MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ LỚP 9 SKKN TOÁN LỚP 9 CẤP HUYỆN; MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ LỚP 9 SKKN TOÁN LỚP 9 CẤP HUYỆN; MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ LỚP 9 SKKN TOÁN LỚP 9 CẤP HUYỆN; MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ LỚP 9 SKKN TOÁN LỚP 9 CẤP HUYỆN; MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ LỚP 9 SKKN TOÁN LỚP 9 CẤP HUYỆN; MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ LỚP 9 SKKN TOÁN LỚP 9 CẤP HUYỆN; MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ LỚP 9 SKKN TOÁN LỚP 9 CẤP HUYỆN;

PHẦN NỘI DUNG

A MỞ ĐẦU

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

1 Thực trạng vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết:

Toán học là môn học có ứng dụng trong hầu hết trong tất cả các ngành khoahọc tự nhiên cũng như trong các lĩnh vực khác của đời sống xã hội

Vì vậy toán học có vị trí đặc biệt trong việc phát triển và nâng cao dân trí.Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (người học) những kiến thức cơ bản,những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện kĩ năng

tư duy logic, một phương pháp luận khoa học

Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra phương pháp dạy học và giải bàitập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đúng phươngpháp dạy học góp phần hình thành và và phát triển tư duy, các năng lực, phẩmchất của học sinh Đồng thời thông qua việc học toán học sinh được bồi dưỡng

và rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải bài tập toán , đặcbiệt là kĩ năng giải phương trình vô tỉ

Hiện nay ngay từ lớp 7 học sinh được hoàn thiện việc mở rộng tập số hữu

tỉ Q thành tập số thực R Trong khi đó giáo viên khi dạy phương trình vô tỉ thì ítkhai thác phân tích đề bài, mở rộng bài toán mới, dẫn đến học sinh khi gặp bàitoán về giải phương trình vô tỉ là lúng túng hoặc chưa biết cách giải hoặc giảiđược nhưng chưa chặt chẽ mà còn mắc nhiều sai lầm về tìm tập xác định, khinâng lên luỹ thừa, đưa biểu thức ra ngoài dấu căn, dấu giá trị tuyệt đối

Là người trực tiếp giảng dạy toán trong trường THCS, trong quá trìnhgiảng dạy, tôi thấy học sinh hay lúng túng, bế tắc trong quá trình tìm tòi lời giải

và cách xác định dạng toán Không chỉ học sinh gặp khó khăn trong giải toán màbản thân tôi khi mới dạy phần giải phương trình vô tỉ cũng gặp khó khăn trongviệc hướng dẫn học sinh giải bài toán phần này Vì vậy tôi luôn trăn trở, tìm tòi,chọn lọc những phương pháp hợp lý nhất để để dẫn dắt, hình thành cho học sinhmột cách suy nghĩ mới làm quen với dạng toán giải phương trình vô tỷ, để dầndần các em có được một số phương pháp giải cơ bản nhất Để góp phần nângcao chất lượng dạy và học, chất lương đại trà, chất lương học sinh giỏi cũng như

phát triển và bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh tích cực chủ

động trong học tập, tôi đã mạnh dạn đưa ra đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9”

2 Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới:

Đề tài đưa ra một số phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỉ

và một số bài toán áp dụng; đối với từng phương pháp trang bị cho học sinh lớp

9 hệ thống kiến thức để giải phương trình vô tỉ, tránh được những sai lầmthường gặp khi giải dạng bài toán này

Thông qua đề tài, học sinh nắm được một số phương pháp và vận dụng vàogiải bài tập, rèn kĩ năng giải bài toán có chứa căn bậc hai, đồng thời giúp họcsinh thấy được cái hay, cái đẹp, sức hấp dẫn của toán học, kích thích sự tò mò,nghiên cứu, khám phá, tìm hiểu bài toán

Giúp GV có thêm phương pháp chọn cách giảng dạy thích hợp với từng đốitượng học sinh, từng dạng toán, từng dạng bài tập

Nâng cao chất lượng đại trà và chất lượng HS giỏi toán 8, toán 9 Qua đógóp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh

3 Phạm vi nghiên cứu:

Sáng kiến này được tôi tìm hiểu, nghiên cứu và đưa vào áp dụng đối với

HS khối 9 của trường TH&THCS từ năm học 2018 – 2019 đến năm học 2019 2020

-II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:

1 Cơ sở lý luận:

Xuất phát từ đặc trưng của môn toán của môn Toán ở trường THCS- mộtmôn “khoa học suy diễn” cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông cơbản, vững chắc có hệ thống Rèn luyện và phát triển các kĩ năng giải toán và ứngdụng vào thực tế, khả năng tư duy logic, sử dụng ngôn ngữ chính xác Bồidưỡng các phẩm chất độc lập, sáng tạo, kiên trì, tích cực cho học sinh

Căn cứ vào thực tế dạy và học về phương trình vô tỉ của chương trình Đại

số 9 tôi thấy hệ thống bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập do BGD&ĐT ấnhành mới đáp ứng cho học sinh đại trà Đối với học sinh khá, giỏi dạng bài tậpnày rất phong phú và đa dạng

2 Cơ sở thực tiễn:

Trường TH&THCS đa số các em nắm được kiến thức cơ bản, chăm chỉ, có ý

thức học tập Song các em chỉ làm một cách định lượng, chưa suy nghĩ tìm cách giải khác, chưa có khả năng phân biệt các dạng toán, chưa tự giác tìm tòi các dạng về phương trình vô tỉ

Khảo sát thực tiễn của đề tài:

* Số liệu thống kê

Khi chưa áp dụng đề tài, tôi ra bài tập giải phương trình vô tỉ qua khảo sát

50 học sinh lớp 9 trường TH &THCS tôi nhận được kết quả như sau:

10 20% Giải đúng phương trình đã cho

15 30% Chưa giải đúng phương trình đã cho

25 50% Không biết cách giải phương trình

* Nguyên nhân: Học sinh không giải được hoặc giải sai kết quả do:

+ Chưa biết cách áp dụng những kiến thức đã học vào giải phương trìnhnhư: Bình phương hai vế, phân tích đa thức thành nhân tử, bất đẳng thức + Chưa có phương pháp cụ thể để giải phương trình vô tỉ

+ Chưa nắm chắc các kiến thức liên quan, thiếu cẩn thận dẫn đến phươngtrình thiếu nghiệm hoặc thừa nghiệm

3 Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp.

a) Các biện pháp tiến hành.

Để tiến hành nghiên cứu và áp dụng SKKN, tôi sử dụng các nhóm nghiên

cứu sau:

* Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận:

-Nghiên cứu tài liệu : Đọc tài liệu sách, báo, sách tham khảo

-Nghiên cứu các tài liệu bồi dưỡng GV trong các khóa bồi dưỡng nghiệp vụ

* Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tế:

-Nghiên cứu kết quả phần giải phương trình vô tỉ trong các bài thi, cuộc thihọc sinh giỏi huyện, tỉnh, thi ViOlympic toán học trên mạng, …

-Vấn đáp trực tiếp, kiểm tra HS khi học và khi gặp bài toán có liên hệ

-Phương pháp thực nghiệm: Đây là phương pháp quan trọng nhất, phươngpháp này nhằm thể hiện toàn bộ những kết quả nghiên cứu và thực tiễndạy học của giáo viên.

* Nhóm phương pháp nghiên cứu bổ trợ:

-Tham khảo kinh nghiệm của GV về vấn đề có liên quan

-Thảo khảo các thông tin tại các diễn đàn học tập trên Internet

-Tham vấn với giáo viên trong giáo viên nhóm Toán 9 về tình hình học tập vàkhả năng ứng dụng của các em

-Tham khảo chương trình mới Vnen

b) Thời gian tạo ra giải pháp.

Năm học 2018-2019 và 2019-2020

B NỘI DUNG

I MỤC TIÊU

Thứ nhất: Đánh giá thực trạng học lý thuyết và thực hành giải phương trình

vô tỉ của học sinh để tìm hiểu, phát hiện các điểm mạnh và điểm yếu của các em

Thứ hai: Nghiên cứu các một số phương pháp giải phương trình vô tỉ để từ

đó giúp các em nắm vững cách giải phương trình vô tỉ từ đó giúp các em tự tinhơn trong học tập cũng như đạt kết quả cao trong các kì thi

Thứ ba: Áp dụng sáng kiến vào thực tế, thu thập kết quả học tập của học

sinh và đánh giá kết quả của sáng kiến kinh nghiệm

Thứ tư: Góp phần nâng cao chất lượng học toán và đưa chất lượng giáo dục

trong các nhà trường ngày càng đi lên

Thứ năm: Giúp các thầy cô dạy toán dễ dàng phân tích để đưa ra biện pháp tối ưu khi dạy học, đồng thời cũng tạo cơ sở để các thầy cô dạy toán xây dựng sáng kiến kinh nghiệm khác có phạm vi và quy mô xuyên suốt hơn

II Mô tả giải pháp của sáng kiến

1 Các kiến thức cần lưu ý khi giải một phương trình

1.1 Các khái ni m ệ

+ Phương trình vô tỉ là phương trình đại số có chứa dấu căn

+ Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng một tập hợp nghiệm

 Chú ý:

+ Nếu phương trình này là hệ quả của phương trình kia và ngược lại thì hai phương trình đó tương đương.

+ Mọi phương trình vô nghiệm đều được coi là tương đương nhau vì chúng cùng có tập nghiệm là ø

1.2 Các phép biến đổi tương đương, không tương đương một phương trình

a Các phép biến đổi tương đương các phương trình:

-Các định lí về phép biến đổi tương đương ở lớp 8

-Thực hiện biến đổi hằng đẳng thức ở từng vế của một phương trình khônglàm thay đổi TXĐ của chúng thì được một phương trình mới tương đươngvới phương trình đã cho

b Các phép biến đổi có thể dẫn tới hai phương trình không tương đương

(dẫn tới một phương trình hệ quả)

-Nhân hai vế của một phương trình với cùng một đa thức chứa ẩn (có thể xuấthiện nghiệm lạ, nghiệm ngoại lai)

-Chia hai vế của một phương trình với cùng một đa thức chứa ẩn số (có thểlàm mất nghiệm của phương trình ban đầu)

-Cộng vào hai vế của phương trình đã cho với cùng một phân thức

-Nâng 2 vế của một phương trình lên cùng một luỹ thừa tự nhiên: m > 1

Nếu m chẵn : thì khi nâng 2 vế của f1(x) = f2(x) lên cùng một luỹ thừa chẵn ta được một phương trình mới có thể nhận thêm nghiệm của phương trình:

(

) ( ) (

2 1

2 1

x f x f

x f x f

Vì thế khi giải phương trình vô tỉ ta cần thử nghiệm vào phương trình đầu

để loại nghiệm ngoại lai ( phép bình phương hai vế của một phương trình có thể dẫn tới một phương trình hệ quả)

2 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

2.1 Sử dụng phương pháp lũy thừa.

a Dạng : f(x) A ( A là một số hoặc một biểu thức đã biết) (1)

f( )  với một hệ hỗn hợp, như vậy nghiệm của (2) chính là nghiệm của(1)

Do vậy ta chỉ giải hệ (2) rồi kết luận nghiệm của (1) Cơ sở của phương pháp này là dựa vào khái niệm căn bậc hai số học : f(x)0

- Nếu A<0 ta kết luận ngay phương trình f(x) A vô nghiệm

* Ví dụ: Khi giải phương trình x2  3x  2 ta giải như sau:

4

0 1 0

) 4 )(

1 ( 0 4 3 4

3 2

2

x

x x

x x

x x

x x

x x

x

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x1= 1 ; x2 = - 4

Ở phương trình trên không cần thiết phải đặt điều kiện : x2 +3x 0

0 ) ( )

( ) (

x g x f

x g x

g x f

1 0

10 3

1 2 )

1 2 ( 11 3

0 1 2

2 2

2 2

x x

x x

x

x x

x x

x

2 3 5 2

1 )

1 ( 2

; 3

x nên

Vì  x2  0  x2  3  0 Vậy (**) vô nghiệm.

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau

0 ) (

0 ) ( )

( ) (

x g x f

x g

x f x

g x f

) 2 ( 4 1 3

0 2

0 1 3

x x

x x x

x x x

Kết luận: Phương trình (1) có nghiệm x = 1

Bài tập tương tự: Giải phương trình:

(x g x h x 2 f x g x

B3 : Đặt điều kiện mới cho (3) : h(x)2  f(x)  g(x)  0 (**)

Bình phương hai vế của (3) đưa về một phương trình (4) đã biết cách giải

B4 : Giải (4) chọn nghiệm thoả mãn (*) và (**) sau đó kết luận nghiệm

* Cách giải phương trình (2) hoàn toàn tương tự

*Nếu h(x) của phương trình (1) có giá trị âm với mọi x thì ta kết luận ngay phương trình (1) vô nghiệm

Ví dụ: Giải phương trình x 3  5  x 2 (1)

(1)  x 3  x 2  5 (2)

3 0

2

0 3

x x

x x

x

(*)Với x2 hai vế không âm, bình phương hai vế của (2) ta có phương trình:

12 ( 6

0 12

2

x

x x

x x

x

(thoả mãn (*)) Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = 6

*Chú ý : Với phương trình thuộc dạng (1) Khi phương trình đã cho chưa ở dạng

) ( ) (

)

(x g x h x

f   mà như ở ví dụ trên, ta nên biến đổi tương đương phương trình đã cho về dạng (1), không nên để nguyên phương trình mà bình phương hai vế vì dù cho có điều kiện để phương trình có nghĩa nhưng phép biến đổi không tương đương (do ở hai vế x 3và 5 - x 2 không đồng thời lớn hơn hoặc bằng 0 )

Bài tập tương tự: Giải phương trình

0 ) (

0 ) (

0 ) (

x k

x g

x h

x f

Ví dụ: Giải phương trình x x 1  x 4  x 9  0 (1)

Viết (1) dưới dạng (2): (1) x x 9  x 1  x 4 (2)

Điều kiện (2) có nghĩa: x  0(*)

Với điều kiện (*) , bình phương hai vế ta có:

0 9

x x

x

thỏa mãn (*)Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0

Bài tập tương tự: Giải phương trình

a) 4x 1  3x 4  x 2 b) x 2  x 1  2x 1  x 3

2.2.Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

* Khi gặp phương trình mà biểu thức dưới dấu căn có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức: A 2 A để

làm mất dấu căn, đưa về phương trình đơn giản Mục đích của phương pháp này

là biến đổi phương trình đã cho thành một phương trình tương đương có dạng:

Phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn:  2 x 1

Nếu x > 1 ta có phương trình: x 1 x 2  3  2x 2  x  1(loại)

Vậy nghiệm của phương trình là:  2 x 1

Ở bài toán này việc giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh có thể xét 4 trường hợp về dấu của x-1 và x+2, nên chú ý cho học sinh đối chiếu nghiệm trong từng khoảng và kết luận nghiệm trên toàn trục số

Ví dụ 2 : Giải phương trình: x 3  4 x 1  x 8  6 x 1  5(2)

Điều kiện: x 1  0  x 1

Phương trình (2) trở thành

5 3 1 2

1 5

) 3 1 ( ) 2 1

( x  2  x  2   x   x  

1 3

1 3

1 3

3 1 5

3 1 2

1                 



10 9

1 3

1 0

1

3           

Kết hợp với điều kiện x 1 ta có nghiệm của phương trình là: 1 x 10

Ở bài toán trên việc giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có chú ý đến việc dùng định nghĩa và tính chất về giá trị tuyệt đối, làm cho việc phân chiatrường hợp là không cần thiết và lời giải ngắn gọn hơn

Bài tập tương tự: Giải phương trình:

số phụ một cách thích hợp phù hợp với đặc thù bài toán đang xét

- Cần chú ý rằng để đặt được ẩn phụ có thể thông qua một vài bước biến đổiphương trình đã cho để làm xuất hiện “ biểu thức cần chọn” làm ẩn phụ

Ví dụ 1: Xét phương trình: x2  29x 30  31  x2  29x

Ta biến đổi thành : x2  29x 30  (x2  29x 30 )  1  0

) 30 )(

1 ( 0 30 29

2

x

x x

x x

a Dạng 1: Phương trình có dạng : af(x) b f(x) c 0 (1)

Cách giải : Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa f(x)  0 (*)

Đặt ẩn phụ : t  f(x (t 0 ) sau đó giải phương trình mới có ẩn là t: at2+bt+c=0 Khi tìm được t tiếp tục giải phương trình vô tỉ dạng f(x) t Chọn nghiệmtheo điều kiện (*) từ đó suy ra nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ : Giải phương trình 3x2  21x 18  2 x2  7x 7  2(1)

Điều kiện: x2  7x 7  0

Trước hết đưa phương trình (1) về dạng 1:

(1)  3 (x2  7x 7 )  2 x2  7x 7  3  2  3 (x2  7x 7 )  2 x2  7x 7  5  0Đặt : t x2  7x 7 (t 0 )

6 7 1

7 7 1

7 7

2

1 2

2 2

x

x x

x x

x x

x

Thử lại điều kiện: x2  7x 6  0 nên hai giá trị x1; x2 thoả mãn

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x1   1 ;x2   6

- Nhận xét: Cách đặt ẩn phụ trên đã làm cho phương trình vô tỉ chuyển về dạng hữu tỉ quen thuộc Phương pháp “ đặt ẩn phụ” có ưu thế là “hữu tỉ hoá” một phương trình vô tỉ có nhiều tiện lợi cho việc giải một phương trình

( 2 ) ( )

Giải phương trình ẩn t sau đó chọn t theo điều kiện

Giải phương trình (2) sau đó chọn x theo điều kiện có nghĩa của (2)

0 2 13

0 2

0 1

x x

x

x

(*)Đặt

1 2 )

2 )(

1 (

2

) 2 )(

1 ( 2 2 1

) 0 ( 2 1

x

x x x

x t t

x x

5 ( 2

5 5

x

x x

x x

x x

c b d a

d c b a

Giải phương trình: t2 + 5t +5 =29  t2  5t 24  0  t1  3 ;t2   8(loại)

Giải phương trình: x  3  x 9 ( thoả mãn điều kiện)

Kết luận: Nghiệm của phương trình ban đầu là x = 9

- Nhận xét: Ở dạng 3 dùng ẩn phụ lần thứ nhất ta đã ” hữu tỉ hoá” phương trình đã cho Song chưa có được phương trình ở dạng quen thuộc nhờ đặt ẩn phụlần hai mà ta đã đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai Cần lưu ý trongcách đặt ẩn phụ lần hai có thể có nhiều cách chọn khác nhau mà người giải cần chú ý

- Như vậy khi giải một phương trình bằng cách đặt ẩn phụ ta có thể đặt nhiều lần ẩn phụ khác nhau sao cho đích cuối cùng là đưa phương trình ban đầu về dạng quen thuộc

2.4 Phương pháp” Sử dụng biểu thức liên hợp”

- Trong khi thực hiện các phép biến đổi tương đương một phương trình vô tỉ

ta có thể nhân (chia) hai vế của phương trình với biểu thức liên hợp của một trong hai vế hoặc của cả hai vế của phương trình đã cho, để được một phương trình mới đơn giản hơn phương trình ban đầu rồi cùng phương trình ban đầu biến đổi tới một phương trình đã biết cách giải

+Tuy nhiên có trường hợp ta có thể lợi dụng “tế nhị” biểu thức liên hợp của biểu thức có chứa trong dấu căn

Ví dụ: Giải phương trình x 5  x 3  2(1)

Điều kiện: x  5 ;x 3  x 3 Với điều kiện đó ta có x 5  x 3  0 là biểu thức liên hợp của vế trái Nhân hai vế của (1) với: x 5  x 3 ta có: (1) x 5  (x 3 )  2 ( x 5 )  x 3 )  x 5  x 3  4(2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được phương trình:

4 9

5 3

5 6

5

2 x   x   x   x (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x = 4

Với bài toán này dùng “biểu thức liên hợp” có ưu thế hơn việc bình phương hai vế của (1)

Có thể nói sử dụng biểu thức liên hợp để biến đổi tương đương các phương trình vô tỉ được ứng dụng trong các bài toán giải phương trình vô tỉ ở dạng phức tạp có một lợi thế nhất định song cần chú ý cách dùng biểu thức liên hợp phải linh hoạt, sáng tạo

2.5 Phương pháp đoán nghiệm và chứng minh sự duy nhất của nghiệm

- Cơ sở của phương pháp này là: để giải một phương trình ta có thể kiểm nghiệm trực tiếp một số hữu hạn các giá trị của ẩn số là nghiệm của phương trình sau đó chứng minh ngoài những nghiệm đó phương trình không còn

nghiệm nào khác