SKKN TOÁN 9 CẤP HUYỆN Rèn kỹ năng, phương pháp giải các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Rèn kỹ năng, phương pháp giải các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn; Rèn kỹ năng, phương pháp giải các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Rèn kỹ năng, phương pháp giải các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Rèn kỹ năng, phương pháp giải các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Rèn kỹ năng, phương pháp giải các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Rèn kỹ năng, phương pháp giải các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

MỤC LỤC

Trang

A MỞ ĐẦU: .03

I ĐẶT VẤN ĐỀ: 1 Thực trạng của vấn đề: 03

2 Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới: 03

3 Phạm vi nghiên cứu của đề tài: 04

II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn: 04

2 Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp: 05

B NỘI DUNG: 05

I MỤC TIÊU: 1 Tên đề tài: “RÈN KỸ NĂNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN” 05

2 Nhiệm vụ của đề tài 05

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: 1 Thuyết minh tính mới: 06

2 Khả năng áp dụng: 32

3 Lợi ích kinh tế - xã hội: 33

C KẾT LUẬN: 34

Tài liệu tham khảo 35

A MỞ ĐẦU:

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

1 Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết:

Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng,

nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của

đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng Toán học là một

môn khoa học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc trung học phổ thông Tuy

nhiên nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có sự nỗ

lục rất lớn để chiếm lĩnh nhưng tri thức cho mình Chính vì vậy đối với mỗi giáo

viên dạy toán, việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung sách giáo khoa, nắm

vững các phương pháp dạy học, các kĩ thuật dạy học Để từ đó tìm ra những biện

pháp dạy học hiệu quả trong việc truyền thụ những kiến thức Toán học cho học

sinh là một công việc phải làm thường xuyên

Dạy học sinh học toán không những cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy

học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình

thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em

tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn

thiện nhân cách

Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy,

bỡi vì việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải

làm, đặc biệt đối với học sinh bậc THCS thì giải toán là hình thức chủ yếu của

học toán

Trong chương trình toán bậc THCS, vấn đề về phương trình là một trong

những vấn đề xuyên suốt trong 4 năm học của học sinh bắc đầu từ những bài

toán “Tìm x biết” dành cho học sinh lớp 6, 7 đến cụ thể hoá vấn đề về phương

trình ở học kì 2 lớp 8 và hoàn thiện cơ bản về nội dung về phương trình đại số

lớp 9 Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắm

bắt được và có kĩ năng giải phương trình một cách thành thạo để từ đó các em

học tốt hơn ở toán học cấp 3

Trong những vấn đề về phương trình thì phương trình chứa căn thức bậc hai

(phương trình vô tỷ) là một trở ngại không nhỏ khiến cho học sinh không ít ngỡ

ngàng và bối rối khi giải các loại phương trình loại này, thực ra đây là một vấn

đề khó,đặc biệt đối với học sinh tham gia thi tuyển vào 10, tham gia thi học sinh

giỏi các cấp thì nó là vấn đề quan trọng bắt buộc học sinh phải vượt qua

2 Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới.

Là một giáo viên giảng dạy toán bậc THCS, bản thân tôi được nhà trường

trực tiếp giao trách nhiệm dạy học sinh lớp 9, dạy bồi dường học sinh giỏi tôi

cũng rất trăn trở vấn đề này Vấn đề đặc ra đối với tôi là làm thế nào để giúp học

sinh giải thành thạo các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn hay còn gọi là

phương trình vô tỷ ? Khi gặp bất cứ một dạng toán nào về phương trình vô tỷ

các em cũng có thể tìm ra cách giải hợp lý nhất

Với tất cả các lý do nêu trên Tôi quyết định chọn đề tài “Rèn kỹ năng,

phương pháp giải các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn”

3 Phạm vi nghiên cứu của đề tài.

Đề tài này tôi thực hiện nghiên cứu tại đơn vị công tác Trường THCS cụ

thể là đối tượng học sinh lớp 9, học sinh tham gia đội tuyển học sinh giỏi toán

của trường ở cấp huyện, cấp tỉnh

Nội dung phần phương trình chứa ẩn dưới dấu căn (còn gọi là phương trình

vô tỷ ) và một số bài toán cơ bản, nâng cao nằm trong chương trình đại số 9 và

có thể mở rộng ở chương trình đại số 10

Một số bài giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn trong các sách tham

khảo

II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:

1 Cơ sở lí luận và thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu tìm

giải pháp của đề tài.

1.1 Cơ sở lí luận:

- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THCS là hoạt động dạy của thầy

tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức

phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời

sống của con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với

kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này

- Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở

môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào

từng bài toán cụ thể Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học

sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, trong quá trình dạy học

giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học và nghiên cứu môn Toán một

cách có hệ thống, biết cách vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết phân dạng bài tập

và giải một bài tập với nhiều cách khác nhau

1.2 Cơ sở thực tiễn:

- Học sinh lớp 9 trường THCS đa số nhận thức còn chậm, chưa hệ thống

được kiến thức Khi gặp các bài toán về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn chưa

phân loại và định hình được cách giải, còn lúng túng khi đặt điều kiện và biến

đổi, trong khi đó phương trình loại này có rất nhiều dạng Nhưng bên cạnh đó

chương trình đại số 9 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng

dành cho phần này là rất ít

- Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng

ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bày

cách giải đặt điều kiện và lấy nghiệm sai ở phần này

- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích

giúp cho học sinh THCS vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài

toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

2 Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp:

2.1 Các biện pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Phân tích tổng hợp, khái quát hoá so sánh , đúc kết rút kinh nghiệm

- Quan sát, kiểm tra

2.2 Thời gian tạo ra giải pháp

Để thực hiện đề tài này tôi thực hiện nghiên cứu trong suốt thời gian trực

tiếp giảng dạy khối lớp 9 và dạy bồi dưỡng HSG tại trường THCS từ tháng 9

năm 2013 đến nay:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc kết rút kinh nghiệm qua

quá trình giảng dạy

- Dựa trên cơ sở kiến thức tôi đã học trong trường cao đẳng, đại học một

số kiến thức tìm kiếm trong sách tham khảo, trong chương trình THPT…

B NỘI DUNG:

I MỤC TIÊU:

1 Tên đề tài: “RÈN KỸ NĂNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN”

2 Nhiệm vụ của đề tài.

Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo

dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một

hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới

dấu căn từ phức tạp đưa về dạng đơn giản, cơ bản và giải được một cách dễ

dàng

Thông qua đề tài SKKN này nhằm hướng dẫn học sinh nắm được phương

pháp giải hai dạng phương trình thường gặp một số bài toán vận dụng biến đổi

cơ bản và một số dạng bài toán không mẫu mực (dạng không tường minh) nâng

kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử lại và

lấy nghiệm

* Dạng 2: phương trình f( )x = g( )x (2)

Điều kiện f (x) � 0 là điều kiện cần và đủ của phương trình (2)

Chú ý ở đây không nhất thiết phải đặt điều kiện đồng thời cả f (x) và g (x) không

âm vì f (x) = g (x)

Tuy nhiên khi gặp bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn, có

nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ

năng phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơn giản

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI:

1 Thuyết minh tính mới:

Khi giảng dạy cho học sinh ôn thi tuyển vào lớp 10 và học sinh giỏi các

Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thay

loại

Mặt khác, một số học sinh còn có ý kiến sau khi giải được nghiệm ở

nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai và dễ

dẫn đến sai lầm của một số học sinh khi chọn nghiệm cuối cùng vì nhầm tưởng

* Khi gặp bài toán:

Điều chú ý ở đây là học sinh cứ tìm cách để biểu thị hệ điều kiện của

đủ mà không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện Cho nên học sinh mất nhiều

thời gian cho việc tìm điều kiện này

* Khi gặp bài toán:

= - x

0 4

x

x x

Nhận xét: Đây là một bài toán hết sức đơn giản nhưng nếu giải như vậy thì

đã mắc một sai lầm mà không đáng có Rõ ràng x = - 4 không phải là nghiệm

của phương trình trên.

0 0

B A

B B

A

Ở đây đã bị bỏ qua mất điều kiện là: B ≥ 0 (x ≥ 2)

* Khi gặp bài toán:

Giải phương trình 5 4x2  12x 11 = 4x2 - 12x + 15

phương trình bậc bốn và rất khó để giải được kết quả cuối cùng vì phương trình

bậc bốn chưa có cách giải cụ thể đối với học sinh bậc THCS

* Khi gặp bài toán:

3

2 2

2 5

0 2

2 2

x x

x x

4 4 3

2

x

x x

x

x

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

cho bài toán có nghiệm trở thành vô nghiệm.

0

; 0

B A khi AB

B A khi AB B

A B

Lời giải trên đã xét thiếu trường hợp A < 0; B < 0

Còn nhiều bài toán khác cũng có nhiều tranh cãi với nhau

Cho nên, lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng

dẫn chỉ rõ cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào

cho hợp lý đối với từng loại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và

suy luận có logic tránh được các tình huống rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm

Trên cơ sở đó hình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán về

phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Qua nghiên cứu trao đổi và đúc kết, rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến

của đồng nghiệp Tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học

sinh với những giải pháp nhằm giúp học sinh hình thành kĩ năng khi biến đổi và

giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Để làm được điều đó, đầu tiên giáo

viên cần hệ thống hoá các kiến thức cơ bản liên quan và bổ sung một số kiến

thức mở rộng cho học sinh như sau:

1 Các tính chất của luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng quát hoá các tính chất

của luỹ thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ.

2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức

3 Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị

B A B A

A B

đi đến phương trình tương đương thì hai vế đó phải không âm

x = 9 29

2



* Lưu ý: không cần phải thay giá trị của các nghiệm vào phương trình

ban đầu để thử mà chỉ cần so sánh với điều kiện x � 3 (*) để chọn nghiệm.

+ Ví dụ 2: Giải phương trình

2

3x  2x 1 = 3x + 1 (2)

dụng phương pháp biến đổi hệ quả sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để

3x 2 - 2x -1 � 0 và thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để

chọn nghiệm.

Ta có thể giải như sau: Điều kiện: x � -1

3 (**) Khi đó phương trình (2)� 3x2 - 2x - 1 = (3x + 1)2

�3x2 - 2x - 1 = 9x2 + 6x + 1

1 1 3

x x

Nhận xét: Biểu thức ngoài dấu căn là biểu thức bậc hai, nếu ta bình

phương hai vế thì sẽ đi đến một phương trình bậc bốn rất khó giải.

Ta có thể giải bài toán như sau:

Chưa vội đặt điều kiện ở bước giải này ta nên biến đổi

động hơn trong cách đặt vấn đề bài giải : điều kiện phương trình là gì? đặt cái

gì ? biến đổi như thế nào là biến đổi tương đương ? biến đổi như thế nào là biến

đổi hệ quả? kết luận nghiệm cuối cùng dựa vào điều kiện nào?

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1

5

* Lưu ý: Điều kiện x � 1

2

 , (*) là điều kiện cần và đủ của phương trình (1)

nên ta chỉ cần đối chiếu với điều kiện (*) để chọn nghiệm cuối cùng của

Nhận xét: Biểu thức dưới dấu căn ở vế trái là biểu thức bậc hai nên ta đặt

điều kiện cho vế phải không âm

ĐK: x > 2

7

 (*)

� 2x2 - 4x - 6 = 0 � 1

3

x x

 

�

� 

�

Đối chiếu với điều kiện (*), nghiệm của phương trình là x = 3

2

0 2 2

5 2

x x

x x

2

x x

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

* Sau khi ra bài tập giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và hướng dẫn

học sinh giải Giáo viên cần ra dạng bài tập tương tự để học sinh giải Qua đó

học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ năng giải phương trình

chứa ẩn dưới dấu căn.

0

; 0

B A khi B

AB

B A khi B

AB B

AB B

A

ĐS : Nghiệm phương trình là : x = -3.

Ngoài hai giải pháp đã nêu trên sau đây là một số phương pháp giải một dạng

phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.

1 2 PHƯƠNG PHÁP

1 2.1 PHƯƠNG PHÁP 1: Biến đổi tương đương:

Nội dung của phương pháp này là sử dụng các tính chất của lũy thừa và các

phép biến đổi tương đương của phương trình, bất phương trình nhằm đưa các

phương trình và bất phương ban đầu về phương trình và bất phương trình đã biết

cách giải

Hướng dẫn giải: Ta thấy VT luôn không âm, do đó nếu VP âm thì phương

0 ; 3

0 ) ( )

( )

x g x f

x g x

g x

7

1 )

1 )(

2 1 ( ) 1 2 (

0 1 2 )

1 )(

2 1 ( 1

x x

x x

x x

x

Đối chiếu đk (*) ta thấy x = 0 thỏa mãn Vậy nghiệm của pt đã cho là x = 0

phương Mục đích của việc làm này là tạo ra hai vế của phương trình luôn

cùng dấu để sau khi bình phương ta thu được phương trình tương đương.

1 1

1 6

1 )

1 ( 1 6 2

0 1

x x

x x

x

x x

x x

x pt

x

Pt  2x2 x 2 x2 (x 1 )(x 2 )  4x2  2 x2 (x2 x 2 ) x( 2x 1 )

0 0

9 8

2

x

x x

* Lưu ý cho học sinh các điểm sau:

1) Bài toán trên còn có cách giải như sau:

* x = 0 là một nghiệm của phương trình.

8

9 1

4 4 8 4

2 2 2

2 2

2) Khi biến đổi như trên, chúng ta thường mắc sai lầm khi cho rằng

2 )(

1

(

3 2 2 1

3

3 3

x

x x

Qua ví dụ trên, lưu ý cho học sinh các điểm sau:

a) Khi giải phương trình trên chúng ta thường biến đổi như sau:

?

! 0 ) 3 2 )(

2 )(

1 ( 3 2 ) 2 1

( 2 )(

1 (

3

3

đổi này không phải là phép biến đổi tương đương Vì ở đây chúng ta đã thừa

nhận phương trình ban đầu có nghiệm Do đó để có được phép biến đổi tương

đương thì ta phải đưa về hệ như trên Chẳng hạn ta xét pt sau:

3 1  x 3 1 x   1  2  3 3 1  x2 ( 3 1  x 3 1 x)   1  3 1  x2  1  x 0

Thay x = 0 vào phương trình ban đầu ta thấy x = 0 không thỏa mãn.

b) Với dạng tổng quát: 3 a 3 b  3 c ta lập phương hai vế và sử dụng hằng

3 3

3 3

3

c b a

b

a

c b

3 1

7

x x

x x

0 2 3 1 4

x x

x

x x

Nhận xét: *Với phương trình (1) ta có thể giải như sau:

7

2

2

y x

x y

, trừ vế theo vế hai phương trình trên ta được: (yx)(y x 1 )  0 Giải ra ta tìm được x.

*Với pt (2) ta còn có cách giải khác như sau:

5

2 2

2 3

) 2 ( 3 3 1 4

) 2 ( 4 5

2 2

2 3 3 1

x x

x x

3 1

4

(

1 1 4 2

3

2

x x

x x

Qua ví dụ trên, cần lưu ý cho học sinh các điểm sau:

* Ở bài toán (2) ta thường không chú ý đến trường hợp 1, đây là sai lầm

mà chúng ta thường gặp trong giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn

dưới dấu căn.

* Khi giải bất phương trình, nếu ta muốn nhân hoặc chia hai vế của bất

phương trình cho một biểu thức thì ta phải xác định được dấu của biểu thức đó.

Nếu chưa xác định được dấu của biểu thức mà ta muốn nhân thì ta có thể chia

làm hai trường hợp.

Ví dụ 7: Tìm m để phương trình:

1 3

1

x Pt

4 (

4 8

4 4

m m

m m x

Vậy m 2 là những giá trị cần tìm

1 2 2 PHƯƠNG PHÁP 2: Đặt ẩn phụ:

a) Dạng 1: F(n f(x)  0, với dạng này ta đặt: t n f(x) (nếu n chẵn thì phải có

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

0 25 3 5

3 5

0 10

Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2  2mtm2  5  0 (*)  tm 5

5 6 5

6 5 0

6 5 0

m

m m

m

b) Dạng 2: m[ f(x)  g(x ]  2n f(x).g(x) n[f(x) g(x)] p 0

những đại lượng còn lại qua t và chuyển phương trình (bpt) ban đầu về phương

trình (bpt) bậc hai đối với t.

Ví dụ 3: Cho phương trình: 3 x 6  x m ( 3 x)( 6  x)

) 6

b) Phương trình đã cho có nghiệm  ( 1 )có nghiệm t [ 3 ; 3 2 ]

Xét hàm số: f(t) t2  2t 9 với t [ 3 ; 3 2 ], ta thấy f (t)là hàm đồng biến

  6 f( 3 ) f(t) f( 3 2 )  9  6 2 , t [ 3 ; 3 2 ]

2

9 2 6 2 6 9 2 6 ] 2 3

; 3

Qua ví dụ trên, lưu ý cho học sinh điểm sau:

9 126

441

7 1

2

x x

7 1

x

x

x f t

) (

) (

x x

2 5

2 2

t

t t

3 5 4

1 1

1 2

x

t

Chú ý: Trong nhiều bài toán, ta có thể đưa vào những ẩn phụ khác để làm

đơn giản hình thức bài toán và từ đó dễ dàng tìm được lời giải Chẳng hạn ta

1 1