Rút gọn biểu thức A.. Tia AE cắt tia DC tại K.. Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với AE.. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với IE cắt đường thẳng CD tại M.. Tìm vị trí của E để độ
Trang 1UBND HUYẸN YÊN DŨNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: (4điểm)
Cho biểu thức: A 1 + 1 . 2 + +1 1 :
a b
a b
a b b a
1 Rút gọn biểu thức A
2 Tính giá trị của A khi a= +3 2 2; b= -3 8
Câu 2: (4điểm)
2 2 5 10 14 3 2
x + x+ + x + x+ = − x x−
2 Xác định đa thức P x( ) có bậc bốn thỏa mãn:
( 1) 0
P − = và P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1)
Câu 3: (4 điểm)
1 Chứng minh rằng: (n3+6n2+8 ) 48n M với ∀ ∈n N và n chẵn
2 Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; )x y thoả mãn: x2+ + +xy 3x 2y=1
Câu 4: (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD Gọi E là một điểm thuộc cạnh BC (E khác B) Tia AE cắt tia
DC tại K Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với AE Đường thẳng d cắt đường thẳng
CD tại I
1 Chứng minh: AI = AE từ đó suy ra: 12 1 2
AE +AK không đổi khi E thay đổi trên cạnh BC
2 Đường thẳng đi qua A và vuông góc với IE cắt đường thẳng CD tại M Chứng minh
rằng: 1 1 2
AE AK+ = AM
3 Tìm vị trí của E để độ dài đoạn thẳng IK ngắn nhất
Câu 5: (2 điểm)
Cho hai số dương x y, thoả mãn x y+ ≤1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 1 2 2
x y xy
+
Hết
Họ và tên thí sinh: , Số báo danh:
Trang 2UBND HUYỆN YÊN DŨNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 9
(Đáp án - thang điểm gồm 3 trang)
Dưới đây chỉ là lời giải vắn tắt Học sinh phải lập luận chi tiết mới cho điểm tối đa.
Học sinh giải cách khác mà vẫn đúng thì cho điểm tối đa theo từng phần tương ứng.
1
1
ĐKXĐ: a>0 ;b>0 ; a ≠ b
Ta có: a + b 2 1 1 ( a + b) a b
a b
a + b
a + b
a + b
a b
ab
ab
2
.
ç
=çç + ÷÷÷
=
Vậy A a + b
ab
= với a>0 ;b>0 ; a ≠ b
0.5
0.5 0.5
0.25 0.25
2
Ta có : a= +3 2 2; b= -3 8
=> a = 3 2 2+ = ( 2 1)+ 2 = 2 1+ = 2 1+
b = 3 2 2− = ( 2 1)− 2 = 2 1− = 2 1−
Tính được: ab=1; a+ b =2 2 Thay vào A ta được: A =2 2
0.5 0.5 0.5 0.5 2
1
Giải phương trình: x2+2x+ +2 5x2+10x+14 3 2= − x x− 2
Ta có: x2+2x+ =2 (x+1)2+1 Nhận thấy: (x+1)2 ≥ 0 Với mọi x
<=> (x+1)2 + 1≥ 1 Với mọi x
<=> 2
2 2 1
x + x+ ≥ Với mọi x Dấu bằng xảy ra khi x=-1 Tương tự ta có: 2
5x +10x+14 3≥ Dấu bằng xảy ra khi x=-1
2 2 5 10 14 4
x + x+ + x + x+ ≥ Dấu bằng xảy ra khi x=-1(1) Lập luận được: 3 2x x− − 2 ≤4 Dấu bằng xảy ra khi x=-1 (2)
2 2 5 10 14 3 2
x + x+ + x + x+ = − x x− Khi x=-1 Vậy nghiệm của phương trình là: x=-1
0.25
0.25
0.25 0.25 0.5 0.25 0.25
2 Ta có: P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1)
Xét x =0 ta có : P(0) - P(-1)=0
Mà P( 1) 0− = => P(0)= 0 => P(x) có nhân tử là x
Xét x =-1 ta có : P(-1) - P(-2)=0
Mà P( 1) 0− = =>P(-2)=0 => P(x) có nhân tử là x+2
Lại có P( 1) 0− = => P(x) có nhân tử là x+1
Mà P(x) là đa thức bậc bốn nên: P(x)=x(x+1)(x+2)(ax+b)
Từ P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1).xét x=1 ta có P(1)=6 Lại có P(1)= 6(a+b) nên ta có: a+b = 1 (1)
Tương tự ta có với x = 2 ta có: 24(2a+b)= 36 <=> 4a +2b=3 (2)
0.25
0.25 0.25 0.25 0.5
Trang 3Từ (1)(2) Tính được: a=b=1
2 Kết luận: P(x)=x(x+1)(x+2)(1
2x+1
2)
0.25
0.25 3
1
Ta có: n3+6n2+8n=n(n+2)(n+4) Lại có n chẵn => n = 2k với k∈N
=> n3+6n2+8n=8k(k+1)(k+2)
Do k∈N => k(k+1)(k+2) là ba số tự nhiên liên tiếp
=> k(k+1)(k+2) chia hết cho 6
=> 8k(k+1)(k+2) chia hết cho 48 với ∀ ∈n N và n chẵn
0.5 0.5
0.5 0.5
2
Ta có: x2+xy+ +3x 2y=1 <=> (x+2)(x+y+1) = 3
Do x;y nguyên => x+2 ; x+y+1 nguyên
Mà 3=3.1=1.3= (-3).(-1)=(-1).(-3 ) +x x y+ =2 11 3 x y= −31
⇔
+x x y+ = −2 13 1 x y= −35
⇔
Kết luận :
0.5
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 4
1 Chứng minh được: ∆BAE = ∆DAI (g.c.g)
AI = AE + Áp dụng hệ thức lượng trong tam giá vuông AIK có:
AI +AK = 12
AD
mà AI = AE => 2 2
AE +AK = 12
AD
1
0.5
M
E Q
Trang 4Do AD không đổi => 12 1 2
2
Kẻ MQ //AI Chứng minh tam giác AMQ vuông cân ở Q => AQ=MQ và
MQ 2=AM => 1 2
MQ =AM Chứng minh MQ KQ
AI = KA
=> MQ AQ KQ AQ 1
AI + AK = AK + AK =
=> MQ MQ 1
AE + KA = (AI = AE; AQ=MQ)
=> 1 1 2
AE AK+ = AM
0.5 0.5
0.5 0.5
3
Chứng minh: AD.IK=AI.AK
Do AD không đổi <=> IK nhỏ nhất khi AI.AK Lại có: 2
1
AI +AK ≥ 2
AI AK
=>AI.AK ≥ 2.AD2 (không đổi) Dấu bằng xảy ra khi AI=AK <=> E trùng C
Kết luận: E trùng C
0.5
0.5 0.5 0.5 5
Ta có: 2 2
M
x y xy
+ Chứng minh : ( )2
1
4xy ≥ x y ≥
+ ( vì x y+ ≤1.)
=> 6 6
4xy ≥ Dấu bằng xảy ra khi x=y=1
2
2 2
4 2
x y + xy ≥ x y ≥ + + Dấu bằng xảy ra khi x=y=12
=> M ≥ 10 Dấu bằng xảy ra khi x=y=1
2
=> Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 10 khi x=y=1
2
0.5 0.5 0.5
0.5