Ánh xạ vị tự trên đa tạp nửa riemann

Ánh xạ vị tự trên Đa tạp nửa Riemann đã được giới thiệu và khảo sát ở một số tài liệu với các mức độ khác nhau.. Mục đích của luận văn là nghiên cứu vấn đề này một cách có hệ thống, bổ s

1

Vinh - 2009

MỤC LỤC Trang

MỞ ĐẦU 1

Chương: KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 Đa tạp nửa Riemann 3

1.2 Liên thông Lêvi – Civita trên Đa tạp nửa Riemann 4

1.3 Các độ cong trên Đa tạp nửa Riemann 10

1.4 Định nghĩa cung trắc địa trên Đa tạp nửa Riemann 17

Chương 2: ÁNH XẠ VỊ TỰ 19

2.1 Định nghĩa và các tính chất của ánh xạ vị tự 19

2.2 Liên thông và các độ cong qua ánh xạ vị tự 24

KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 33

2

MỞ ĐẦU

Đa tạp nửa Riemann là tên gọi chung cho đa tạp Riemann và đa tạp giả Riemann Việc nghiên cứu các yếu tố liên quan trên đa tạp này là một nội dung quan trọng của hình học vi phân Ánh xạ vị tự trên Đa tạp nửa Riemann

đã được giới thiệu và khảo sát ở một số tài liệu với các mức độ khác nhau Trên cơ sở kết quả của một số nhà toán học đã khảo sát về ánh xạ đẳng

cự để từ đó chúng tôi tìm kiếm các kết quả trên ánh xạ tổng quát hơn đó là ánh

xạ vị tự

Mục đích của luận văn là nghiên cứu vấn đề này một cách có hệ thống,

bổ sung các phép chứng minh cần thiết cho một số định lý mà các tài liệu khác chưa trình bày về một số vấn đề liên quan trên Đa tạp nửa Riemann và khảo sát tính liên thông và các độ cong qua ánh xạ vị tự

Với lý do trên, được sự hướng dẫn của TS Nguyễn Duy Bình chúng tôi

chọn tên đề tài luận văn là: “Ánh xạ vị tự trên Đa tạp nửa Riemann”

Nội dung chính của luận văn được chia làm 2 chương

Chương 1: Giới thiệu khái niệm về Đa tạp nửa Riemann và một số khái

niêm cơ bản trên Đa tạp nửa Riemann như: Liên thông Lêvi – Civita, các độ cong, đường trắc địa và một số tính chất liên quan đến các khái niệm này để làm cơ sở cho chương 2

Chương 2: Sau khi đưa ra khái niệm về ánh xạ vị tự trên Đa tạp nửa

Riemann luận văn chứng minh tính chất:

3 Sau đó nghiên cứu về tính liên thông và các độ cong qua ánh xạ vị tự

Định lý 2.1 Khẳng định rằng: Liên thông Lêvi – Civita bất biến qua ánh

xạ vị tự

Trên cơ sở đó để nghiên cứu sự bất biến của các độ cong qua ánh xạ vị tự:

Định lý 2.3 Khẳng định rằng: Độ cong Riemann bất biến qua ánh xạ vị tự Định lý 2.4 Khẳng định: Độ cong Ricci được bảo tồn qua ánh xạ vị tự Định lý 2.5 Khẳng định: Ánh xạ vị tự không bảo tồn độ cong tiết diện

Chương 2 là nội dung chính của luận văn

Luận văn này được thực hiện tại Khoa sau Đại học - Trường Đại học

Vinh dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp hoàn thành

luận văn t¸c gi¶ xin chân thành cảm ơn Thầy, cảm ơn các Thầy giáo trong tổ hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn các vấn đề có liên quan đến đề tài nghiên cứu T¸c gi¶ còng xin chân thành cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo làm việc tại Khoa sau Đại học, các đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã tạo điều kịên thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành luận văn này

1.1 Đa tạp nửa Riemann

1.1.1 Định nghĩa đa tạp khả vi

M là một không gian tôpô Hausdorff, n là một số nguyên không âm Một

atlas A (lớp Ck, k > 0) n - chiều trên M là một họ những (U,x), U là một tập

mở trong M, x là đông phôi từ U lên tập mở x(U) trong Rn

x: U  x(U)

p (x 1 (p), x 2 (p), …, x n (p)) = (x i (p)) n1

i

(U,x) gọi là bản đồ địa phương thuộc atlas A của M

U được gọi là miền xác định của bản đồ địa phương đó, sao cho:

 Mỗi điểm của M thuộc miền xác định của một bản đồ địa phương nào

đó thuộc A

 Nếu (U,x),(U ’ ,x) là hai bản đồ địa phương thuộc atlas A mà Ũ = U 

U ’  0 thì ánh xạ từ x(Ũ) lên x’(Ũ) xác định bởi x(p)  x ’ (p) (với mọi p  Ũ)

5 Atlas A gọi là tối đại nếu mọi atlas B của M (cùng lớp Ck) mà B A thì B = A

Một cấu trúc đa tạp khả vi (lớp Ck) n - chiều trên M là một atlas (lớp Ck)

n - chiều tối đại trên M Dễ thấy một atlas (lớp Ck) n - chiều xác định một cấu

Không gian tô pô Hausdorff M cùng với một cấu trúc đa tạp khả vi (lớp

C k ) n - chiều trên M gọi là một đa tạp khả vi (lớp C k ) n - chiều Thường ký hiệu tắt đa tạp đó là M (khi cấu trúc đa tạp khả vi đó rõ ràng) Khi k = , đa tạp gọi là nhẵn

1.1.2 Định nghĩa Đa tạp nửa Riemann

Một tenxơ mêtric g trên đa tạp khả vi M là một trường tenxơ không suy biến kiểu (0,2) với chỉ số hằng trên M tức g là phép đặt mỗi p  M với dạng

song tuyến tính đối xứng không suy biến với chỉ số hằng g p: TpM  TpM  R

và phụ thuộc vào p một cách khả vi, nghĩa là với một cặp trường véc tơ khả vi

X, Y  B(M), hàm g(X,Y)  F(M) xác định bởi g(X,Y)(p) = g p (X p ,Y p) là hàm khả vi

 Khi chỉ số của g p bằng 0 với  p  M, tức g p xác định dương thì g còn được gọi là Riemann

 Khi chỉ số của g p là k > 0 thì g còn được gọi là giả Riemann

1.2 Liên thông Lêvi – Civita trên Đa tạp nửa Riemann

Trong phần này, ta luôn ký hiệu (M,g) là Đa tạp nửa Riemann

1.2.1 Đạo hàm của hàm số theo một véc tơ tiếp xúc

1.2.2 Đạo hàm của hàm số theo một trường véc tơ

Cho X là một trường véc tơ khả vi trên đa tạp M và f  F(M) Khi đó đạo

hàm của hàm số f theo trường véc tơ X là một hàm số được xác định bởi:

X [f] (p) = X (p) [f] ; với mọi p  M

1.2.3 Định nghĩa liên thông tuyến tính

Ánh xạ : B(M)  B(M) B(M) được gọi là liên thông tuyến tính

(X, Y) X Y

(đạo hàm hiệp biến của trường véc tơ Y dọc trường véc tơ X) trên M nếu 

thỏa mãn các điều kiện:

(1) X (Y + Z) = X Y + X Z ;  X,Y,Z B(M),

(2) X + Y Z = X Z + Y Z; ,X,Y,Z B(M),

(3) fX Y = f X Y;  f  F(M), X,Y B(M),

(4) X (fY) = f X Y + (Xf )Y;  f  F(M), X,Y B(M)

1.2.4 Định nghĩa trường ten xơ xoắn

Cho liên thông tuyến tính  trên đa tạp M, trường tenxơ T kiểu (2,1)

được gọi là trường tenxơ xoắn của liên thông đó và được xác định bởi:

T(X,Y) = X Y - Y X – [X,Y]; X,Y B(M)

1.2.5 Định nghĩa liên thông Lêvi – Civita

Cho M là Đa tạp nửa Riemann Liên thông tuyến tính  được gọi là liên

thông Lêvi – Civita nếu và chỉ nếu  thỏa mãn 2 tiên đề sau:

(1) Trường ten xơ xoắn T = 0

7

(nghĩa là [X,Y] = X Y - Y X ; X,Y B(M))

(2) Với mọi trường véc tơ X, Y, Z trên M thì

X[g(Y, Z)] = g(X Y, Z) + g(Y, XZ); X,Y, Z B(M)

1.2.6 Định lý: Giả sử M là Đa tạp nửa Riemann Khi đó tồn tại duy nhất một

liên thông Lêvi – Civita trên M và được xác định bởi công thức sau (công thức

Để chứng minh định lý trên ta phải sử dụng bổ đề sau:

Bổ đề: Giả sử M là Đa tạp nửa Riemann và : B(M)  F(M) là 1 - dạng

trên M Khi đó tồn tại duy nhất một trường véc tơ A  B(M) sao cho:

(Z) = g(A, Z) ;  Z  B(M) (a) Chứng minh:

Ta cần chứng minh sự tồn tại và duy nhất của A trong lân cận của một điểm tuỳ ý p  M

Giả sử {Ei }i n1 là trường mục tiêu trong bản đồ địa phương (U,x) Khi đó với A B(M) ta có biểu diễn:

A =

1

n

i i i

duy nhất được các j và chúng được biểu thị qua các hàm khả vi(E j ) và g ij

 j cũng khả vi Như vậy trường véc tơ A khả vi và A được xác định

một cách duy nhất thoả mãn (a)

Bây giờ ta chứng minh định lý:

 Tính duy nhất của : Để chứng minh tính duy nhất của  ta giả sử

: B(M)  B(M)  B(M) là liên thông Lêvi – Civita tức thoả mãn hai điều (X, Y) X Y

kiện (1), (2) của định nghĩa 2.5 thì nó thoả mãn phương trình (*) Thật vậy từ (2) của định nghĩa 2.5 ta có:

X[g(Y, Z)] = g(X Y, Z) + g(Y, X Z) (c) Y[g(Z, X)] = g(Y Z, X) + g(Z, Y X) (d) Z[g(X, Y)] = g(Z X, Y) + g(X, ZY) (e)

Cộng vế với vế của (c) và (f) rồi trừ vế với vế cho (h) ta thu được:

X[g(Y, Z)] + Y[g(Z, X)] - Z[g(X, Y)] = g(X Y, Z) + g(Y, X Z) + g(Y Z, X)

9

+ g(Z, X Y) – g(Z, [X, Y]) - g(X Z, Y)+ g([Z, X], Y) - g(X, Y Z) + g(X, [Y, Z])

 X[g(Y, Z] + Y[g(Z, X)] - Z[g(X, Y)] = 2g(X Y, Z) + g(X, [Y, Z])

- g(Y, [Z, X] - g(Z, [X, Y])

 2g(X Y, Z) = X[g(Y, Z)] + Y[g(Z, X)] - Z[g(X, Y)] - g(X, [Y, Z])

+ g(Y, [Z, X] + g(Z, [X, Y]) Đây chính là công thức (*)

Bây giờ ta giả sử có một liên thông tuyến tính khác là ’ cũng thoả mãn điều kiện (1), (2) của định nghĩa 2.5 Khi đó từ (*) suy ra:

Khi đó là ánh xạ F(M) tuyến tính Thật vậy, ta dễ dàng kiểm tra được

tính cộng tính của đối với biến Z

Mặt khác:

(Z) = 1

2(X[g(Y,Z)] + Y[g(Z, X)] –Z[g(X, Y)]

– g(X,[Y,Z]) + g(Y,[Z, X]) + g(Z,[X, Y])

Ta đặt XY = A Khi đó  là một liên thông tuyến tính

Thật vậy, để kiểm tra  là một liên thông tuyến tính ta chỉ cần kiểm tra quy tắc đạo hàm của :

11 Cộng vế theo vế của (k) và (l) ta có:

 thoả mãn điều kiện (1) của liên thông Lêvi – Civita

Vậy, luôn tồn tại và duy nhất một liên thông Lêvi – Civita trên Đa tạp nửa Riemann

1.3 Các độ cong trên Đa tạp nửa Riemann

1.3.1 Định nghĩa độ cong Riemann

Cho M là một Đa tạp nửa Riemann với liên thông Lêvi – Civita  trên M

Ánh xạ R: B(M)  B(M)  B(M)  B(M)

(X, Y, Z) R(X, Y, Z)

trong đó: R(X, Y, Z) = X Y Z - Y X Z -  [X,Y] Z; với X, Y, Z B(M) được gọi

là độ cong Riemann của M

1.3.2 Định lý: Nếu X, Y, Z, V, W  B(M) thì

(a) R(X, Y, Z) = - R(Y, X, Z)

(b) R(X, Y, Z) + R(Y, Z, X) + R(Z, X, Y) = 0

(c) g(R(X, Y, V), W) = - g(R(X, Y, W), V)

= R(X, Y, Z) + R(X ’ , Y, Z)

+ Với mọi X, Y, Z B(M), mọi   F(M) ta có:

R(X, Y, Z) = X Y Z - YX Z -  [ X,Y] Z

13

YX Z = Y (X Z) =  YX Z + Y()X Z (2) [X, Y] = X Y - YX

R(X, Y, Z) =XY Z - (YX Z + Y()X Z) – ([X,Y]Z -Y()X Z)

= (XY Z - YX Z - [X,Y] Z)

=  R(X, Y, Z)

 Sử dụng tính chất (a) ta suy ra ánh xạ R là F(M) - tuyến tính đối với biến Y

 Ta chứng minh ánh xạ R là F(M) - tuyến tính đối với biến Z:

(U,x) trên M ta có [X i , X j ] = 0; với mọi i j , = 1, n

Từ bổ đề 2 ta có [X i , X j] = 0, với mọi i j, = 1, n và do tenxơ xoắn

T(X i ,X J) = 0 nên Xi X j = Xj X i Do đó khi X, Y, Z là các trường véc tơ của

trường mục tiêu {X i }n i1 thì ta có:

R(X, Y, Z) + R(Y, Z, X) + R(Z, X, Y) = XY Z - YX Z -  Z

15 + YZ X - ZY X - [Y, ]Z X+ ZX Y - XZ Y - [Z,X]Y = 0

(c) Để chứng minh (c) ta đi chứng minh g (R(X, Y, Z), Z) = 0; X, Y,

2(XY – YX) g(Z, Z) – g( [X,Y] Z, Z)

= 0 (do [X, Y] = 0 theo chứng minh trong (b))

Khi đó: g(R(X, Y, Z+T), Z+T) = 0

g(R(X, Y, Z) + R(X, Y, T), Z+T) = 0

 g(R(X, Y, Z), Z) + g(R(X, Y, Z), T) + g(R(X, Y, T),Z) + g(R(X,Y, T), T)

16

 g(R(X, Y, Z), T) + g(R(X, Y, T), Z) = 0

g(R(X, Y, Z), T) = - g(R(X, Y, T), Z)

(d) Theo (b) ta có: R(X, Y, Z) + R(Y, Z, X) + R(Z, X, Y) = 0

Nên: g(R(X, Y, Z) + R(Y, Z, X) + R(Z, X, Y)), T) = 0

Hay: g(R(X, Y, Z), T) + g(R(Y, Z, X), T) + g(R(Z, X, Y), T) = 0 (12)

Vì X, Y, Z, T có vai trò bình đẳng nên ta có:

g(R(T, Y, Z), X) + g(R(Y, Z, T), X) + g(R(Z, T, Y), X) = 0 (13)

g (R(X, T, Z), Y) + g(R(T, Z, X), Y) + g(R(Z, X, T), Y) = 0 (14)

g (R(X, Y, T), Z) + g(R(Y, T, X), Z) + g(R(T, X, Y), Z) = 0 (15) Lấy (15) trừ ((12) + (13) + (14)) ta được:

1.3.3 Định nghĩa độ cong thiết diện

Giả sử p là một điểm của Đa tạp nửa Riemann (M,g),  p là một 2- phẳng trong không gian tiếp xúc TpM (không gian véc tơ con 2 chiều của TpM) Lấy

một cơ sở (v, w) của  p, độ cong tiết diện K( p) là số

1.3.4 Định lý: Cho M là Đa tạp nửa Riemann, và pM khi đó nếu độ cong

tiết diện K( p) = 0 với mọi p thì độ cong Riemann R = 0 tại p

Chứng minh:

Nếu K(p ) = 0 thì g(R(v, w, v), w) = 0 ; v, w  T p M

Khi đó với x tuỳ ý ta có:

g(R(v, w + x, v), w + x) = g(R(v, w, v), w) + g(R(v, x, v), w) + g(R(v, w, v), x) + g(R(v, x, v), x) = 0

Có nghĩa là R(v, w, x) không đổi khi hoán vị các véc tơ v, w, x

Vậy R(v, w, x) = 0 với mọi v, w, x Hay R = 0 tại p

1.3.5 Định nghĩa độ cong Ricci

Cho Đa tạp nửa Riemann M Độ cong Ricci của Đa tạp nửa Riemann M

được xác định:

( , ) m ( ( , m, ), m)

m Ric X Y  g R X E Y E ; X, Y  B(M),

vớim g E E( m, m), {E m m} là trường mục tiêu trực chuẩn của xác định địa

phương trên M

1.3.6 Định nghĩa độ cong vô hướng

Cho M là Đa tạp nửa Riemann Độ cong vô hướng của M được xác định:

với ,E E i j{E m m} là trường mục tiêu trực chuẩn xác định địa phương trên M

1.4 Định nghĩa cung trắc địa trên Đa tạp nửa Riemann

1.4.1 Đạo hàm của trường véc tơ dọc một đường cong

Cho  là liên thông tuyến tính trên Đa tạp nửa Riemann M và : J  M

t (t)

là đường cong trên M, ký hiệu ’ là trường véc tơ vận tốc dọc 

’(t) = *t( d t

dt )

1.4.2 Định nghĩa đường trắc địa trên Đa tạp nửa Riemann

Cho Đa tạp nửa Riemann M,  là liên thông Lêvi – Civita trên M Đường

cong  được xác định bởi tham số hoá : JM, t (t) được gọi là đường

trắc địa nếu  , 

D ( )

0

t dt



20

Chương 2 ÁNH XẠ VỊ TỰ

Trong chương này chúng tôi giới thiệu khái niệm, lấy ví dụ và một số tính chất về ánh xạ vị tự trên Đa tạp nửa Riemann, khảo sát một số tính chất liên quan đến khái niệm này như: sự bất biến của liên thông Lêvi – Civita, cung trắc địa, độ cong Riemann, độ cong Ricci và sự không bất biến của độ cong tiết diện, độ cong vô hướng qua ánh xạ vị tự

2.1 Định nghĩa và các tính chất của ánh xạ vị tự

2.1.1 Định nghĩa Cho M, N là các Đa tạp nửa Riemann, g M, g N theo thứ tự là

các ten xơ metric trên M, N Ánh xạ  : M  N mà  *

(g N ) = c.g M với c0

được gọi là phép vị tự với hệ số c

- Nếu c > 0 thì  được gọi là phép vị tự dương

- Nếu c < 0 thì  được gọi là phép vị tự âm

- Nếu c = 1 thì  được gọi là ánh xạ đẳng cự

- Nếu c = -1 thì  được gọi là ánh xạ phản đẳng cự

2.1.2 Nhận xét Phép vị tự với hệ số c < 0 không có trong đa tạp Riemann

Thật vậy: Giả sử ánh xạ  : M  N là phép vị tự với hệ số c < 0 Khi đó

theo định nghĩa ta có:  *

(g N ) = c.g M

Hay

21  *

(g N )(u, u) = c.g M (u, u)  g N(*(u),*(u)) = c.g M (u, u) (1) Nếu M, N là các đa tạp Riemann thì: g N(*(u),*(u)) > 0 và g M (u, u) > 0

Suy ra đẳng thức (1) vô lý

2.1.3 Ví dụ Cho Đa tạp nửa Riemann (M, g) trong đó M là không gian R2 và

g là tenxơ mêtric trên M được xác định: g(x, y) = - x 1 y 1 + x 2 y 2

a Độ dài cung qua ánh xạ vị tự với hệ số c tăng lên c lần

b Thể tích của đa tạp con compăc k chiều qua ánh xạ vị tự với hệ số c

L   g  t  t dt

Qua ánh xạ vị tự  ở trên cung  biến thành cung   : [a, b]  N

t   (t) trên đa tạp (N, g N) có độ dài là:

b N a

= . ( '( ), '( ))

b

M a

= c ( '( ), '( ))

b M a

.

k k

25

r =  r: W  N

(u 1 ,u 2 ,…,u k)  r (u 1 ,u 2 ,…,u k) với r u

k k

k k

 du 1 … du k

= k

c Vol(S)

Đối với S là đa tạp con compăct k- chiều, sử dụng phép phân hoạch đơn vị

và kết quả đối với miền thuộc một bản đồ của M đã kiểm tra ở trên ta nhận

được:

Vol(S’) = k

c Vol(S) với S’ =  (S)

2.2 Liên thông và các độ cong qua ánh xạ vị tự

2.2.1 Định lý Liên thông Lêvi – Civita bất biến qua ánh xạ vị tự

Chứng minh:

26

Cho M, N là các Đa tạp nửa Riemann và , ’ theo thứ tự là các liên

thông Lêvi – Civita trên M, N

Giả sử f: M  N là ánh xạ vị tự.Ta phải chứng minh: f *X Y = ’f*X f * Y

Đặt X Y = f 1

*

 ’f*X f * Y (1) với X, Y  B(M)

Ta chứng minh  là liên thông Riemann trên M Trước hết ta chứng

minh nó là liên thông tuyến tính, muốn vậy ta kiểm tra nó có thoả mãn các

điều kiện của liên thông tuyến tính không?