Độ cong và độ xoắn trên đa tạp riemann

Tr-ờng đại học vinh lê thị thơm độ cong và độ xoắn trên đa tạp riemann Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2009... Các độ cong cơ bản của đa tạp Riemann là một vấn đề được rất nhiều tác

Tr-ờng đại học vinh

lê thị thơm

độ cong và độ xoắn trên đa tạp riemann

Luận văn thạc sĩ toán học

Vinh - 2009

Tr-ờng đại học vinh

Trang

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG I ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 3

I Độ cong trên đa tạp Riemann 3

II Độ xoắn trên đa tạp Riemann 11

CHƯƠNG II VI PHÂN CỦA ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 18

I k - dạng vi phân theo giá trị vectơ 18

II Đạo hàm theo hướng của các k - dạng vi phân 19

III Vi phân của độ cong và độ xoắn trên đa tạp Riemann 31

KẾT LUẬN 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học Riemann ra đời từ những năm 1850 và có thể nói rằng, hình học Riemann được xem như một sự mở rộng tự nhiên của hình học Ơclit nhiều chiều Các độ cong cơ bản của đa tạp Riemann là một vấn đề được rất nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm, chẳng hạn như Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn, Nguyễn Hữu Quang, O’Neill.B, Sigmundur Gudmundsson và nhiều tác giả khác

Độ cong cơ bản của đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng trong Vật lý, Toán học và nhiều ngành khoa học khác

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày các tính chất cơ bản về độ cong

và độ xoắn của đa tạp Riemann

Luận văn được mang tên: Độ cong và độ xoắn trên đa tạp Riemann

Luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương I Độ cong và độ xoắn trên đa tạp Riemann

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và chứng minh chi tiết một số tính chất quan trọng của độ cong và độ xoắn trên đa tạp Riemann Đây là những kiến thức cơ sở chuẩn bị cho việc trình bày của chương sau Chương I được chia làm hai phần:

I Độ cong trên đa tạp Riemann

II Độ xoắn trên đa tạp Riemann

Chương II Vi phân ngoài của độ cong và độ xoắn trên đa tạp Riemann

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của k - dạng vi phân theo giá trị vectơ trên đa tạp Riemann M, đạo hàm theo hướng của các dạng vi phân đó và xét các độ cong và độ xoắn trên đa tạp Riemann Chương

II được chia làm 3 phần:

I k - dạng vi phân theo giá trị vectơ

II Đạo hàm theo hướng của các k - dạng vi phân

III Vi phân của độ cong và độ xoắn trên đa tạp Riemann

Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2009 tại Trường Đại học Vinh với sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này, tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người đã hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học - Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn

Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Vinh, tháng 12 năm 2009

Tác giả

CHƯƠNG I

ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và chứng minh chi tiết một số tính chất quan trọng của độ cong và độ xoắn trên đa tạp Riemann

I Độ cong trên đa tạp Riemann

Trong chương này ta luôn giả thiết M là đa tạp khả vi thực, có cơ sở đếm

được và với hệ bản đồ U,X I

Ta ký hiệu F U   f / f U:  , trong đó f khả vi trên tập mở U trên M,

 là liên thông tuyến tính trên M, B M là tập các trường vectơ khả vi

Như chúng ta đã biết: Ánh xạ g: B M   B M F M 

X Y,  g X Y ,  được gọi là metric

Riemann trên M, nếu đặt tương ứng với mỗi pM một tích vô hướng g p trên

T p M; sao cho tích vô hướng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi (Nghĩa là

Thật vậy, ta đặt: X   r u  sin ,cos ,0u u   y x, ,0

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta thu được kết quả:

1.1.7 Bổ đề

Giả sử X Y,   0, X Y, B M  thì  X Y Z Z    Y X Z Z ,  Z B M  Thật vậy: Do X Y,   0, X Y, B M  nên  Z B M  ta có:

Bây giờ ta xét U,  là bản đồ của M và E1 , ,E n là cơ sở trong U với

(2) 2

ji C

     (***) Cộng vế với vế của  ** và *** ta thu được  * và

Vậy (1) được chứng minh 

Nhận xét Nếu dùng trường mục tiêu i

Khi đó  là liên thông tuyến tính trên M có độ xoắn ứng với T  0

Thật vậy: Trước tiên ta chứng minh  là liên thông tuyến tính trên M

'

' 1

, 2

X Y X Y T X Y

  1  

, 2

CHƯƠNG II

VI PHÂN CỦA ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN

TRÊN ĐA TẠP RIEMANN

Trong chương này chúng tôi trình bày về k - dạng vi phân với giá trị vectơ trên M , đạo hàm theo hướng của các dạng vi phân đó và xét các độ cong và độ xoắn trên đa tạp Riemann

I k - dạng vi phân theo giá trị vectơ

được gọi là dạng vi phân bậc k xác định trên UM nhận giá trị trong T M p

Chú ý:  p 1 , , kT M p U p ,  Vì vậy ta có sự biểu diễn

  i 1, ,n là các trường vectơ cơ sở

Khi đó với mọi p U , iT M i p   1, ,n ta có:  1   1 

1

n i

X X X





  , trong đó  là liên thông tuyến tính trên M, k 

Vi phân ngoài d liên kết với  của  là một (q+1) - dạng trên M, lấy giá

trị trênB M , ta ký hiệu là d , được xác định bởi:

Ở đây X iB M , X i có nghĩa là không có phần tử X i trong biểu thức, 

là một q - dạng trên M và lấy giá trị trên B M 

+) A X0dxdy X X 1 , 2.E1 dydz X X 1 , 2.E2 dzdx X X 1 , 2.E3

 X0 dx X dy X   1 2 dx X   2 dy X1 .E1 dy X dz X   1 2 dy X   2 dz X1 .E2 dz X dx X   1 2 dz X   2 dx X1 .E3

Khi đó biểu thức của df trong tọa độ địa phương là:

2

ij 1

n k k

n k

III Vi phân của độ cong và độ xoắn trên đa tạp Riemann

Gọi I là 1- dạng trên M lấy giá trị trên B M , được xác định bởi:

  Y Z X U   Z Y X U Y Z, X U

X Y,  Z U Z X Y, U X Y Z, , U

       Mặt khác:

KẾT LUẬN

Luận văn đã đạt đƣợc những kết quả chính sau:

 Trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất quan trọng về độ

cong và độ xoắn trên đa tạp Riemann

 Trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất về đạo hàm theo

hướng của các k - dạng vi phân

 Phát biểu và chứng minh Mệnh đề 2.2.8 về mối liên hệ giữa f và 

 Phát biểu và chứng minh Mệnh đề 2.2.12 về đạo hàm của vi phân

ngoài d liên kết với 

 Trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất về vi phân của độ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt:

[1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2003), Lý thuyết liên thông và hình

học Riemann, Nxb Đại học Sư phạm

[2] Nguyễn Hữu Quang (2004), Các dạng vi phân, Bài giảng chuyên đề cao

học chuyên ngành Hình học - Tôpô Đại học Vinh

[3] Nguyễn Hữu Quang (2004), Đa tạp khả vi, Đại học Vinh

[4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Riemann, Đại học Vinh

[5] Đoàn Quỳnh (2003), Hình học vi phân, Nxb Đại học Sư phạm

[6] Thái Thị Minh Thu (2007), k - dạng vi phân với giá trị vectơ, Luận văn

Thạc sĩ, Đại học Vinh

Tiếng Anh:

[7] Chern S.S, Chen W.H, Lam K.S - Lectures on Differential Geometry,

Copyright @2000 by World Scientific

[8] O’ Neill.B (1966), Elementary Differential Geometry, Academic Press,

New - York and London

[9] Sigmundur Gudmundsson (2009), An Introduction to Riemannian Geometry,

Lund University