Đa tạp khả vi và dạng vi phân trên đa tạp khả vi

Một thành phần liên thông của không gian tôpô M là một tập con liên thông của M mà mọi tập liên thông của M chứa nó phải trùng với nó.. M gọi là compact nếu M là không gian tôpô Hausdorf

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Hạnh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này do tôi thực hiện

Kết quả do tôi công bố không trùng với kết quả của các tác giả khác.Tôi xin chịu trách nhiệm về tính trung thực của nội dung khoa học của công trình

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU ……… 1

PHẦN 2: NỘI DUNG……….……2

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1.Không gian tôpô……… 2

1.2.Tập con của không gian tôpô……… 3

1.3.Ánh xạ liên tục……… 4

CHƯƠNG 2: ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI……… 6

2.1 Định nghĩa Đa tạp khả vi và ví dụ……… 6

2.2 Ánh xạ khả vi……… 12

2.3 Trường Tenxơ trên đa tạp khả vi……… 15

2.4 Dạng vi phân trên đa tạp khả vi……… 30

KẾT LUẬN……… 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 41

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Hình học là một môn học tương đối khó trong chương trình toán phổthông và để hiểu được nó người học cần phải tư duy cao Với mong muốnđược nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu sắc hơn nữa về đa tạpkhả vi và dạng vi phân trên đa tạp khả vi, em đã chọn đề tài “ đa tạp khả vi vàdạng vi phân trên đa tạp khả vi ” làm khoá luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu.

Tìm hiểu về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phântrên đa tạp khả vi

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu : Kiến thức về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi,trường tenxơ, dạng vi phân trên đa tạp khả vi

Phạm vi nghiên cứu : Một số bài toán về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi,trường tenxơ, dạng vi phân trên đa tạp khả vi

4 Nhiệm vụ nghiên cứu.

Trình bày lý thuyết về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng

vi phân trên đa tạp khả vi

Một số bài toán có liên quan đến đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trườngtenxơ, dạng vi phân trên đa tạp khả vi

5 Các phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu sách tham khảo và các tài liệu có liên quan

PHẦN 2:NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.Không gian tôpô

1.1.1.Định nghĩa không gian tôpô

Không gian tôpô là tập hợp M (mỗi phần tử gọi là điểm) cùng một họ

những tập con của M , gọi là những tập mở (trong M ), sao cho :

 Tập rỗng, tập M là tập mở,

 Hợp tùy ý những tập mở là tập mở,

 Giao của một số hữu hạn tập mở là tập mở

Thường ký hiệu đơn giản không gian tôpô ( M ,) bởi M (khi

không cần chỉ rõ họ )

Không gian tôpô M gọi là không gian tôpô Hausdorff nếu với mọi cặp

điểm

p, q M , p q , có các tập mở U ,V ( p U , q V ) sao cho U  V = .

(với p, q, r tùy ý thuộc M ).

Trên không gian mêtric M xét tôpô sau : tập con U

nếu với mọi p U , có số >0 sao cho hình cầu mở q M d (

p, q)  nằm hoàn toàn trong U (tôpô gây bởi mêtric d ).

Đó là một không gian tôpô Hausdorff

Không gian tôpô gây bởi một mêtric trên nó gọi là không gian tôpô mêtric hóa được

□ cùng với khoảng cách thông thường là một không gian mêtric

2) M là một không gian tôpô, N là một tập con của M thì N với tôpô sau đây (tôpô cảm sinh) gọi là không gian tôpô con của M : tập

U N

tập mở trong N nếu nó là giao của N với một tập mở trong M

gọi là

3) M và N là hai không gian tôpô thì tích trực tiếp M

đây (tôpô tích) gọi là tích trực tiếp các không gian tôpô M với N : tập con của

M / □ cùng với tôpô sau đây (tôpô thương ) gọi là

không gian tôpô thương : tập con của

M / □ gọi là tập mở (trong M / □ ) nếu

nghịch ảnh của nó bởi phép chiếu chính tắc

(trong M ).

1.2.Tập con của không gian tôpô.

M là một không gian tôpô.

gọi là tập đóng (trong M ) nếu M \ F là tập mở

(trong M ) Khi đó, tập rỗng, tập M là những tập đóng Giao tùy ý những tập

A ; đó là tập đóng bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa A Phần trong A của

A là tập mở lớn nhất nằm trong A ; mỗi điểm của nó gọi là một điểm trong

_ 

của A Tập A \

A

của A

gọi là biên của A , mỗi điểm của nó gọi là một điểm biên

M gọi là liên thông nếu mọi tập vừa mở vừa đóng (trong M ) phải là

tập rỗng hay toàn bộ M Tập con A M , gọi là tập con liên thông nếu không gian tôpô con A là liên thông Một thành phần liên thông của không gian tôpô M là một tập con liên thông của M mà mọi tập liên thông của M chứa nó phải trùng với nó Ví dụ : mọi tập liên thông trong

□ là một khoảng (mở, đóng, nửa đóng, bị chặn, không bị chặn…)

M gọi là compact nếu M là không gian tôpô Hausdorff và khi M

giữa các không gian tôpô gọi là ánh xạ liên tục nếu

nghịch ảnh bởi f của mọi tập mở (trong N ) là tập mở (trong M ) (và vì vậy ,

 Ảnh của tập liên thông qua ánh xạ liên tục là tập liên thông ;

 Ảnh của tập compact qua ánh xạ liên tục vào không gianHausdorff là một tập compact

Từ đó một đơn ánh liên tục từ một không gian compact vào một khônggian Hausdorff là một đồng phôi lên ảnh

Ánh xạ liên tục

n

trong M nối p với q Tập con A của không gian tôpô M gọi là liên thông

cung nếu không gian tôpô con liên thông cung Dễ thấy mọi không gian liênthông cung thì liên thông ; mọi tập mở liên thông trong □ đều liên thôngcung ; ảnh của một không gian liên thông cung qua một ánh xạ liên tục là một tập liên thông cung

Không gian tôpô M gọi là đơn liên nếu nó liên thông cung và với mọi

CHƯƠNG 2

ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI

2.1.Định nghĩa đa tạp khả vi và ví dụ

2.1.1.Khái niệm đa tạp khả vi.

Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff, với cơ sở đếm được M được

gọi là đa tạp tôpô chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian

m-chiều □ , nghĩa là với mỗi điểm x M , có lân cận mở U của x và

nào đó các bản đồ gọi là một tập bản đồ hay atlas khả vi

lớp C k (k 1) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn :

Hình 1 j i j

Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương

đương trên gọi là một cấu trúc khả vi lớp C k

trên M

Đa tạp tôpô m -chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp

được gọi là một đa tạp khả vi m -chiều lớp C k

Nếu M là đa tạp khả vi, thì bản đồ của cấu trúc khả vi trên M thì được gọi là bản đồ khả vi (hay bản đồ)

trên

M Khi k , nghĩa là khi đòi hỏi các ánh xạ chuyển

1

trong điều

kiện 2 ở trên thuộc lớp C, thì cấu trúc khả vi tương thích được gọi là

cấu trúc nhẵn trên M Khi đó M được gọi là đa tạp nhẵn.

2.1.2.NHẬN XÉT.

 Khi M là không gian tôpô liên thông, thì số tự nhiên m trong

định nghĩa trên không phụ thuộc vào bản đồ địa phương và nó được gọi là

số chiều của đa tạp M , viết dim M m

 Trên cùng không gian tôpô M có thể có nhiều cấu trúc khả vi

khác

nhau Thật vậy, mỗi một atlas khả vi lớp C k

xác định hoàn toàn một cấu trúckhả vi lớp

C k trên M Vì vậy, hai atlas khả vi lớp C k

không tương thích xác





j

Vì hai atlas lớp Cnày không tương thích,

nên chúng xác định hai cấu trúc khả vi lớp Ckhác nhau trên □

 Giả sử M là đa tạp khả vi m -chiều,  U i

địa phương trên M , thì M cũng là đa tạp khả vi.

tạo thành một atlas, xác định cấu trúc

khả vi lớp Ctrên M Cấu trúc khả vi này được gọi là cấu trúc khả vi

, 2 n1 2

p p 

i1

S n

với tôpô cảm sinh từ

□ được gọi là mặt cầu n chiều tâm bán kính .Ta

xác định một atlas trên

n

bởi hai bản đồ địa phương trên n

như sau: Gọi

1 1

1 3

hạng dưới mũ đó được bỏ đi Dễ thấy

 hằng trên mỗi lớp tương đương và

xác định đồng phôi

 :

U

 □ n



Giả sử V là không gian vectơ n chiều trên trường số thực □ và G k,V 

là tập hợp các không gian con k chiều của V Xét không gian đối ngẫu V của V , v1

, ,i k

là những

đồng phôi và họ  U i

1 , ,ik ,i

1 , ,ik  tạo thành một atlas khả vi trên G

k,V  Như vậy G k,V là đa tạp khả vi số chiều k n k 

e, Ví dụ 5 :

Ta nêu một ví dụ chứng tỏ những đối tượng hình học không thể trang bịcấu trúc khả vi trên nó Trong không gian afin hai chiều □ 2 lấy hai đường

thẳng cắt nhau có phương trình y 

x trong một hệ tọa độ afin cho trước.Khi đó, dễ thấy tập M gồm hai đường thẳng này coi là không gian tôpô con

□ không là đa tạp tôpô, vì vậy không thể trang bị được cấu trúc khả vi trên

M , nghĩa là M không thể là một đa tạp khả vi (xem hình 2).

`Hình 2

2

NM

Vf

U

qp

  1

  f

được gọi là khả vi tại điểm p

M nếu với mọi bản đồ

 U 

□ m Hình 3  V □ m

Ánh xạ f được gọi là khả vi, nếu nó khả vi tại mọi điểm p M

1 đều khả vi Khi đó hợp thành của hai vi phôi là

một vi phôi Các vi phôi từ M lên chính nó tạo thành một nhóm, được gọi là nhóm vi phôi của M Nếu U

,  là một bản đồ địa phương của M thì là 

vi phôi từ U lên mở  U V □ m , ở đó m dim M

p  không phụ thuộc vào việc

chọn bản đồ địa phương, nó được gọi là hạng của ánh xạ f tại điểm p

là dìm tại điểm p (tương ứng : ngập tại p ) nếu

hạng của f tại p bằng số chiều của M (tương ứng số chiều của N ) Như vậy f là dìm (hay ngập) tại mọi điểm p M

2.3 TRƯỜNG TENXƠ TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI 2.3.1 TÍCH TENXƠ CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ

2.3.1.1 Định nghĩa

Ta ký hiệu K là trường số thực □ hay trường số phức □

Giả sử U và V là không gian véctơ trên trường K Ký hiệu M U ,V là

không gian véctơ trên trường K có cơ sở là tập U V , nghĩa là gồm

M (U ,V ) U V Với (u, v) U V , ký

hiệu (u, v) u v Khi là một không gian véctơ,

được gọi là tích tenxơ của hai không gian

W,  có tính chất phổ dụng đối với U V nếu với

mọi không gian véctơ S và mỗi song ánh tuyến tính

U V  W

g S

Giả sử cặp

W,  là tập hợp sinh của U V , nên g là duy nhất.

có tính chất phổ dụng với U V Khi đó tồn tại

duynhất ánh xạ tuyến tính : W

đẳng cấu tuyến tính

Giả sử U và V là hai không gian véctơ hữu hạn chiều Ký hiệu U * là

không gian đối ngẫu của U và L (U *,V

) là không gian các ánh xạ tuyến tính

của U ; u *1 , ,u * m là cơ sở đối ngẫu của u i trong U ; v1 , , v n

là cơ sở của V ,dimV n.

v,u*U *,v*V *,u U , v V

2.3.2 ĐẠI SỐ TENXƠ TRÊN KHÔNG GIAN VÉCTƠ

2.3.2.1 C

á

*

c tenxơ phản biến và hiệp biến

Giả sử V là không gian véctơ trên trường K. là đẳng cấu.Đặt T r V V V  V ,T r V được gọi là

không gian tenxơ r lần

e n  là cơ sở củaV , e  e , , là cơ sở đối ngẫu của  e

Đó là công thức đổi thành phần của tenxơ phản biến bậc r

Đối với các tenxơ hiệp biến, nếu :

Không gian các tenxơ s lần hiệp biến

không gian các dạng s – tuyến tính trên V

2.3.2.5 Đại số ten xơ của không gian véctơ V

Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều.

hầu hết

trừ một số hữu hạn K r T r

.Với

là những hàm trên U , được gọi là những thành phần của K đối với

hệ tọa địa phương x1

Cho V là không gian véctơ, mỗi véctơ của V là một tenxơ một lần phản biến Mỗi dạng tuyến tính trên V là một tenxơ một lần hiệp biến Theo định lí 2.3.1.11, mỗi tenxơ mỗi tenxơ 2 lần hiệp biên trên V có thể xét như dạng song tuyến tính trênV Một tenxơ hai lần hiệp biến trên không gian véctơ V được gọi là một tích vô hướng trên V nếu nó có tính chất đối xứng và

một metric Riemann trên M nếu trên mỗi không gian tiếp xúc

T x M , x M , g xác định một tích vô hướng.Trong lân cận U với

trên đa tạp M , nghĩa là trường

tenxơ s – lần hiệp biến trên M Ta gọi phản xứng hóa đối với K là trường

s là nhóm các phép thế bậc s Khi đó Alt K  là một trường

tenxơ phản xứng và K là phản xứng khi và chỉ khi

Alt K K

Tương tự như trên, ta gọi đối xứng hóa đối với K là trường tenxơ kiểu

0, s, kí hiệu SK được xác định như sau:

2.3.5.1 Nhóm 1 – tham số địa phương

Giả sử X là một trường véctơ khả vi trên đa tạp M Đường cong

c t 

trên M được gọi là đường cong tích phân của trường X , nếu đối với mỗi giá

trị của tham số t0 , véctơ X

một đường cong tích phân duy nhất c t



của trường X , xác định đối với

t , với 0 nào đó sao cho c 0p0

Ta gọi nhóm 1 – tham số các phép biến đổi khả vi trên M một ánh xạ

tích phân của trường X qua điểm p

Nhóm một tham số địa phương các vi phôi địa phương trên M được

xác định như sau : Kí hiệu

I,

,0

và U là tập con mở của M

Nhóm 1 – tham số địa phương các vi phôi địa phương xác định trên I 

U , đó là các ánh xạ : IU M thỏa mãn :

x t t p Ngược lại, ta có kết quả sau.

Nếu X là trường véctơ khả vi trên đa tạp M , thì với mỗi

và nhóm 1 – tham số địa phương các

vi phôi địa phương :U

M ,t I nó sinh ra trường X đã cho.

s



t

Định lí này suy ra từ kết quả lí thuyết phương trình vi phân thường Khi

đó ta nói rằng X sinh ra nhóm 1 – tham số địa phương các biến đổi địa

phương trong lân cận

điểm

p0 Nếu tồn tại nhóm vi phôi 1 – tham số sinh

ra trường X , thì X được gọi là trường véctơ đầy.

thành đại số đẳng cấu tenxơT

 1  x  lên T trườngx, được kí hiệu  Với

tenxơ K, ta xác định trường tenxơ

tự Người ta chứng minh được rằng đẳng

cấu 

số

giao hoán với phép chập chỉ

Giả sử X là trường véctơ trên M và

(2) L

X giữ nguyên kiểu tenxơ và giao hoán với phép chập chỉ số.(3)

L X f



Xf với mỗi hàm f

(4)

L X Y X ,Y 

với mỗi trường véctơ Y

2.4.DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI

2.4.1 CÁC TENXƠ PHẢN ĐỐI XỨNG TRÊN KHÔNG GIAN

a Xét là chuyển trí giữa hai phần tử i, j Ta có

1

cơ sở của không gian s

V  và như vậy : dim

2.4.1.5 Đại số ngoài trên không gian véctơ

Cho V là K – không gian véctơ m

s phản đối xứng trên M , nghĩa là trường tenxơ s – lần hiệp

biến, phản đối xứng trên M

2.4.2.2 Biểu diễn địa phương của dạng vi phân

Theo định lí 2.4.1.4, một dạng vi phân bậc s trên U được

biểu diễn dưới dạng :

thuộc lớp C l l 

k 

nếu với mỗi p M và

U , x là lân cận tọa độ tùy ý

quanh p , các hàm  Cl U 

Tập các dạng vi phân bậc s lớp C l trên M được kí hiệu là 

l

M .Đặt

Cần phải kiểm tra các điều kiện 1 đến 4 trong định lí Điều kiện 1 và 3

được suy ra trực tiếp từ cách xác định d Để chứng minh điều kiện 4, xét f

d

2.4.3.4 Kéo lùi dạng vi phân

Cho M và N là hai đa tạp khả vi số chiều m và n tương ứng,

k

Do đó công thức được chứng minh khi bậc bằng 0.

+ Giả sử công thức đúng với có bậc s 1

2.4.3.5 Tính chất toàn thể của toán tử đạo hàm ngoài

a Định nghĩa

Cho trường véctơ X và trường tenxơ S kiểu 0, strên đa tạp M ,

ta gọi tích trong của trường véctơ X đối với tenxơ hiệp biến S là trường

tenxơ

kiểu 0, s 1

b Định lí

Giả sử là s – dạng trên đa tạp khả

vi M , trường véctơ X Khi đó, ta có :

L X là đạo hàm Lie ứng với

thuộc lớp Ck với mọi j 1, 2, , n.

Một cách tương tự, xét TM là phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi M

số chiều m Ta nói là s – dạng trên M với giá trị trên TM nếu

j v , ,v  x j

Ta thấy

j là các dạng vi phân ( □ - giá trị ) trên lân cận U Dạng vi

phân được gọi là khả vi