Về các định lý điểm bất động cho ánh xạ co dựa trên một ánh xạ khác

2 Định lý điểm bất động cho các ánh xạ co suy rộng vàhọ các ánh xạ co dựa trên một ánh xạ khác 142.1.. Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng dựa trên một ánh xạ khác.. Định lý điể

2 Định lý điểm bất động cho các ánh xạ co suy rộng và

họ các ánh xạ co dựa trên một ánh xạ khác 142.1 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng dựa trên một ánh

xạ khác 142.2 Định lý điểm bất động cho họ các ánh xạ co dựa trên một ánh

xạ khác 23

Kết luận 29

Tài liệu tham khảo 30

MỞ ĐẦU

Định lý điểm bất động của Banach đối với các ánh xạ co trên khônggian metric đầy đủ là một kết quả kinh điển của toán học Sau khi đượcBanach chứng minh, định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co trở thànhmột trong những vấn đề thu hút được rất nhiều nhà toán học quan tâmnghiên cứu Cho đến nay có khoảng 10000 công trình về định lý điểm bấtđộng, được công bố trên các tạp chí toán học Các định lý điểm bất độngđối với ánh xạ co được nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, trênnhiều loại không gian khác nhau Các định lý điểm bất động có nhiều ứngdụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học như Giải tích, Phươngtrình vi tích phân

Năm 2009 Beiranvand, Moradi, (xem [2]), đưa ra khái niệm về kiểuánh xạ co dựa trên một ánh xạ khác và đã thu được một số định lý điểmbất động cho các kiểu ánh xạ này Nhằm tìm hiểu một cách chi tiết và có

hệ thống các định lý điểm bất động cho các ánh xạ co dựa trên một ánh

xạ khác và một số dạng suy rộng của nó, chúng tôi lựa chọn đề tài saucho luận văn của mình:

Về các định lý điểm bất động cho ánh xạ co dựa trên mộtánh xạ khác

Chúng tôi thu được một số định lý điểm bất động cho các ánh xạ co,

họ các ánh xạ co dựa trên một ánh xạ khác Các kết quả này được trìnhbày trong 2 chương của luận văn

Chương 1 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co dựa trên một ánh xạkhác;

Chương 2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng và họ các ánh

Ân, NCS Kiều Phương Chi và các thầy, cô giáo trong Khoa toán đã nhiệttình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập Cuối cùngxin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớpCao học 15 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu

Mặt dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng gópcủa các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 12 năm 2009

Lê Anh Tú

CHƯƠNG 1ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH CO DỰA TRÊN

được gọi là một metric trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau

1) d(x, y) > 0 với mọi x, y ∈ X; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y

2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X

3) d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X

Khi đó (X, d) được gọi là một không gian metric

1.1.2 Định nghĩa Cho (X, d) là một không gian metric và S : X → X

là một ánh xạ

1) Dãy {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu lim

m,n→∞d(xm, xn) = 0.Không gian (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy của X đều hội

1.1.3 Định nghĩa Cho (X, d) là một không gian metric ánh xạ S :

X → X được gọi là liên tục theo quỹ đạo nếu limi→∞Snix = u ∈ X kéotheo Su = lim

i→∞SSnix

Nhự vậy, mọi ánh xạ liên tục đều liên tục theo quỹ đạo của nó

1.1.4 Định nghĩa Cho (X, d) là một không gian metric và A ⊂ X.Đường kính của A ký hiệu là δ(A) và được xác định bởi

δ(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}

Tập A được gọi là bị chặn nếu nó có đường kính hữu hạn

1.1.5 Định nghĩa Cho (X, d) là một không gian metric ánh xạ f :

X → X được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho

d f x, f y
6 qd(x, y), ∀x, y ∈ X

Rõ ràng mọi ánh xạ co là liên tục đều

1.1.6 Định nghĩa Cho (X, d) là một không gian metric và ánh xạ

f : X → X Điểm a ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f (a) = a

1.1.7 Định lý (Banach, [1]) Mọi ánh xạ co trên không gian metricđầy đủ đều có duy nhất một điểm bất động

Chứng minh Cố định x0 ∈ X và xác định dãy {xn} bằng quy nạp nhưsau:

xn+1 = f xn, n = 0, 1, 2,

Ta có

d(x1, x2) = d(f x0, f x1) 6 qd(x0, x1)d(x2, x3) = d(f x1, f x2) 6 qd(x1, x2) 6 q2d(x0, x1)

Do đó bằng quy nạp ta chứng minh được

d(xn, xn+1) 6 qnd(x0, x1), ∀n = 1, 2,

Vậy a là điểm bất động của f.

Bây giờ, giả sử b là điểm bất động của f Từ bất đẳng thức

1.1.8 Ví dụ Trên tập số tự nhiên N ta xét metric

Dễ dàng kiểm tra được (N, d) là không gian metric đầy đủ Xét ánh xạ

f : N → N được cho bởi f n = n + 1 Rõ ràng f không có điểm bất động.Tuy nhiên

1.1.9 Định lý (Brower, [1]) Cho X là một không gian metric compact

và ánh xạ f : X → X Nếu

d(f x, f y) < d(x, y), ∀x, y ∈ X và x 6= y (1.2)thì f có duy nhất một điểm bất động

Chứng minh Từ điều kiện (1.2) dễ dàng suy ra f là ánh xạ liên tục Bâygiờ xét hàm thực

ϕ(x) = d(f x, x), x ∈ X

Vì f và d liên tục nên ϕ là hàm liên tục Từ X là không gian metriccompact nên ϕ đạt giá trị nhỏ nhất tại a ∈ X Giả sử f a 6= a Khi đó

d(f2a, f a) < d(f a, a)

Suy ra ϕ(f a) < ϕ(a) Mâu thuẫn với ϕ đạt giá trị bé nhất tại a Vậy

f a = a hay a là điểm bất động của f

Bây giờ, giả sử b 6= a là điểm bất động của f Khi đó

d(a, b) = d(f a, f b) < d(a, b)

Ta nhận được sự mâu thuẫn Vậy f có duy nhất một điểm bất động

1.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co dựa trên một ánh xạkhác

1.2.1 Định nghĩa ([2]) Cho (X, d) là một không gian metric và T :

X → X là một ánh xạ ánh xạ f : X → X được gọi là một T-co nếu tồntại q ∈ (0, 1) sao cho

d T f x, T f y
6 qd(T x, T y), ∀x, y ∈ X (1.3)1.2.2 Chú ý Nếu chọn T là ánh xạ đồng nhất thì ánh xạ T − co trởthành ánh xạ co thông thường

Ví dụ sau cho thấy T −co có thể không phải là ánh xạ co

1.2.3 Ví dụ Cho X = [1, +∞) với metric thông thường cảm sinh từ R.Xét f : X → X xác định bởi f x = 2x Rõ ràng f không phải là ánh xạ

co Tuy nhiên f là một T −co với T : X → X được cho bởi T x = 1

x+ 1.Bởi vì

|T f x − T f y| = | 1

2x+ 1 −

12y − 1| = | 1

1.2.4 Định nghĩa Cho (X, d) là một không gian metric

1) ánh xạ T : X → X được gọi là dãy hội tụ nếu với mọi dãy {yn}

sao cho dãy {T yn} hội tụ thì dãy {yn} cũng hội tụ

2) ánh xạ T : X → X được gọi là dãy con hội tụ nếu với mọi dãy

{yn} sao cho dãy {T yn} hội tụ thì dãy {yn} có dãy con hội tụ

Rõ ràng mọi ánh xạ từ không gian metric compact vào chính nó là dãycon hội tụ Định lý sau là sự mở rộng của Nguyên lý ánh xạ co Banach.1.2.5 Định lý ([2]) Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và

T : X → X là một song ánh, liên tục và dãy con hội tụ Khi đó, nếu

f là một ánh xạ liên tục, T − co thì f có duy nhất một điểm bất động.Chứng minh Với mọi x1, x2 ∈ X ta có

i (1.4)

Bây giờ chọn x0 ∈ X và xác định dãy {xn} như sau: xn+1 = f (xn) với

n = 0, 1, 2, Một cách tương đương xn = fn(x0) với n = 1, 2, ápdụng (1.4) và (1.3) ta có

d(T xn, T xm) = d(T fnx0, T fmx0)

1 − q

hd(T fnx0, T fn+1x0) + d(T fm+1x0, T fnx0)

Từ T là một ánh xạ dãy con hội tụ suy ra {fnx0} có dãy con {fnkx0}

sao cho lim

k→∞fnkx0 = b Vì T liên tục nên lim

k→∞T fnkx0 = T b Kết hợp

với (1.6) ta được a = T b Bây giờ, vì f liên tục và lim

là song ánh nên f b = b Vậy b là điểm bất động của f

Để kết thúc chứng minh ta chỉ ra b là điểm bất động duy nhất Giả sử

b0 là điểm bất động của f Khi đó, theo (1.3) ta có

d(T b, T b0) = d(T f b, T f b0) 6 qd(T b, T b0)

Từ q ∈ (0, 1) suy ra d(T b, T b0) = 0, tức là T b = T b0, Vì T là song ánhnên b = b0 Định lý được chứng minh

áp dụng Định lý 1.2.5 với T x = x ta nhận được nguyên lý ánh xạ cocủa Banach (Định lý 1.1.7) Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 1.2.5 tổng quáthơn Định lý 1.1.7

1.2.6 Ví dụ Trên X = [1, +∞) ta xét metric thông thường cảm sinh từ

R Vì X đóng nên nó là không gian metric đầy đủ Xét ánh xạf : X → X

Lấy x = 1 và y = 1 + ε với ε đủ bé ta nhận được sự mâu thuẫn Suy ra f

không phải là ánh xạ co Do đó không thể áp dụng Định lý 1.1.7 đối vớiánh xạ f Tuy nhiên f có duy nhất điểm bất động là x = 4

Ta sẽ chỉ ra f là một T-co, trong đó T x = ln x + 1, x ∈ X Thật vậy,với mọi x, y ∈ X

Định lý sau đây là sự tổng quát của nguyên lý Brower

1.2.7 Định lý ([2]) Cho (X, d) là không gian metric compact và T :

X → X là một song ánh, liên tục Nếu

d T f x, T f y
< d(T x, T y), ∀x 6= y ∈ X (1.7)thì f có duy nhất điểm bất động

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh f liên tục Giả sử {xn} ⊂ X và

n→∞T f xn = T f x suy ra T f x = T y Vì T là song ánh nên f x = y Do

đó mọi dãy con hội tụ của {f xn} đều hội tụ tới f x Vì X là không giancompact nên f liên tục

Tiếp theo ta xác định hàm ϕ : X → [0, +∞) xác định bởi

ϕ(y) = d(T f y, f y), ∀y ∈ X

Vì T, f liên tục nên ϕ liên tục trên X Vì tính compact của X nên ϕ đạtgiá trị nhỏ nhất tại x ∈ X Nếu f (x) 6= x thì

ϕ(f x) = d(T f2x, T f x < d(T f x, T x)

Ta nhận được sự mâu thuẫn Vì vậy f (x) = x Giả sử f có điểm bất động

a ∈ X và a 6= x Khi đó

d(T x, T a) = d(T f x, T f a) < d(T x, T a)

Ta được sự mâu thuẫn Vậy x là điểm bất động duy nhất

áp dụng Định lý 1.2.7 với T x = x ta nhận được nguyên lý ánh xạ cocủa Brower (Định lý 1.1.9) Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 1.2.7 tổng quáthơn Định lý 1.1.9

1.2.8 Ví dụ Cho X = [0, 1] với metric thông thường cảm sinh từ R Rõràng X là không gian metric compact Xét ánh xạ f : X → X xác địnhbởi f x = x

với mọi x, y ∈ X = [0, 1] và x 6= y Do đó, áp dụng Định lý 1.2.7 đối với

f ta được: f có duy nhất điểm bất động

CHƯƠNG 2ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO CÁC ÁNH XẠ CO SUYRỘNG VÀ HỌ CÁC ÁNH XẠ CO DỰA TRÊN MỘT ÁNH

XẠ KHÁC

2.1 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng dựa trênmột ánh xạ khác

2.1.1 Định nghĩa Cho (X, d) là một không gian metric và các ánh xạ

T, S : X → X ánh xạ S được gọi là một T-co suy rộng nếu tồn tại

q ∈ (0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X

d(T Sx, T Sy) 6 qM(T x, T y), (2.1)trong đó

M (T x, T y) = max

nd(T x, T y), d(T x, T Sx), d(T y, T Sy),d(T x, T Sy), d(T y, T Sx)

o

Định lý sau là kết quả chính của mục này

2.1.2 Định lý ([6]) Cho (X, d) là một không gian metric và T : X →

X là một song ánh, liên tục và dãy hội tụ Nếu S là một T-co suyrộng và mọi dãy Cauchy có dạng {T Snx} với x ∈ X hội tụ trong X

thì

(a) S có duy nhất điểm bất động b ∈ X,

(b) lim

n→∞T Snx = T b

Cho T và S xác định như trong Định lý 2.1.2 Với mỗi x ∈ X và vớimỗi n = 1, 2, ký hiệu

O(T x, n) := {T x, T f x, T f2x, , T fnx}

và

O(T x) := {T x, T f x, T f2x, , T fnx, }

Ta cần bổ đề sau cho chứng minh Định lý 2.1.2

2.1.3 Bổ đề Nếu T và S xác định như trong Định lý 2.1.2 thì

1 − qd(T x, T Sx) với mọi n.Thật vậy, vì

O(T x, n) = {T x, T Sx, , T Snx} là tập hữu hạn với mỗi n và

d(T Si, T Sj) 6 qδO(T x, n), ∀i, j ∈ {1, 2, , n}

với 0 < q < 1 suy ra tồn tại k ∈ {1, 2, , n} sao cho

Chứng minh của Định lý 2.1.2 Chọn x0 ∈ X và xác định dãy truyhồi {xn} với xn+1 = Sxn = Snx0, n = 1, 2, Với mỗi n = 0, 1, 2, đặt

Do đó {yn} = {T Snx0} là dãy Cauchy Theo giả thiết là mọi dãy Cauchy

có dạng {T Snx0} đều hội tụ trong X, ta có

nd(T b, T Snx0), d(T b, T Sb), d(T Snx0, T Sn+1x0),

d(T b, T Sn+1x0), d(T Snx0, T Sb)

o

6 d(T b, T Sn+1b)+ q max

nd(T b, T Snx0), d(T b, T Sb), d(T Snx0, T Sn+1x0),d(T b, T Sn+1x0), d(T Snx0, T b) + d(T b, T Sb)

o

6 d(T b, T Sn+1x0)+ q

hd(T b, T Sn+1x0) + d(T Snx0, T Sn+1x0)

+ d(T Snx0, T b) + d(T b, T Sb)

i

suy ra

d(T b, T Sb) 6 1

1 − q

h(1 + q)d(T b, T Sn+1x0) + qd(T b, T Snx0)+ qd(T Snx0, T Sn+1x0)

i

Cho n → ∞ và kết hợp với lim

Vì 0 < q < 1 nên d(T b, T b0) = 0 Suy ra T b = T b0 Vì T song ánh nên

b = b0 Ta đã chứng minh phần (a) của Định lý 2.1.2 Chứng minh của (b)suy ra trực tiếp từ (2.2) Định lý được chứng minh

Trong định lý trên nếu chọn T x = x với mọi x ∈ X thì ta nhận đượcđịnh lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng của ´Ciri´c (xem [5])

2.1.4 Định lý ( ´Ciri´c [5]) Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ vàánh xạ S : X → X Nếu tồn tại 0 < q < 1 sao cho

d(Sx, Sy) 6 q maxd(x, y), d(x, Sx), d(y, Sy), d(x, Sy), d(y, Sx) , (2.3)với mọi x, y ∈ X thì

a) S có duy nhất điểm bất động u ∈ X;

b) lim

n→∞Snx = u, với mọi x ∈ X

Hệ quả sau nhận được trực tiếp từ Định lý 2.1.2 Nó có thể nhận được

từ kết quả chính của [10]

2.1.5 Hệ quả ([10] ) Cho (X, d) là không gian metric và T : X → X

là một song ánh, liên tục và dãy hội tụ Cho S : X → X là một ánh

xạ Nếu tồn tại q ∈ (0, 1) sao cho

d(T Sx, T Sy) 6 q max

nd(T x, T y), d(T x, T Sx), d(T y, T Sy),d(T x, T Sy) + d(T y, T Sx)

Định lý sau là sự mở rộng một kết quả khác của ´Ciri´c

2.1.6 Định lý ([8]) Cho X là một không gian metric và T : X → X

một song ánh, liên tục, dãy con hội tụ Cho S : X → X là ánh xạ thoảmãn

d(T Sx, T Sy) 6 q maxd(T x, T y), d(T x, T y)
d(T x, T Sx)d(T y, T Sy),

a(x, y)d(T x, T Sy)d(T y, T Sx) ,

(2.5)với mọi x, y ∈ X, x 6= y và 0 < q < 1, trong đó a(x, y) là một hàm thựckhông âm Nếu mọi dãy Cauchy có dạng {T Snix} là hội tụ và S là liêntục theo quỹ đạo thì với mỗi x ∈ X, lim

n→∞Snx = ux ∈ X và Sux = ux.Hơn nữa, nếu a(T x, T y) 6 1

d(T x, T y) thì S có duy nhất điểm bất động.Chứng minh Cho x ∈ X tuỳ ý và giả sử Sx 6= x Khi đó, theo (2.5) ta

với mọi p ∈ N Từ q ∈ (0, 1), suy ra {T Snx} là dãy Cauchy Vì mọi dãy

Cauchy trong X có dạng {T Snix} đều hội tụ nên

lim

k→∞Snk +1x = lim

k→∞SSnkx = Sux

Kết hợp (2.6) và tính liên tục của T ta có

vx = lim

k→∞T Snk +1x = T Sux (2.8)Kết hợp (2.7) và (2.8), ta có T Sux = T ux Vì T là một song ánh nên

Sux = ux Vậy ta đã chứng minh xong phần thứ nhất của Định lý

Bây giờ, cho a(x, y) 6 1

d(T x, T y) với mọix 6= y Giả sử Su = u,Sv = v

với u 6= v Khi đó, vì T là song ánh nên d(T u, T v) > 0 Theo (2.5)

0 < d(T u, T v) = d(T Su, T Sv) 6 q maxd(T u, T v),d(T u, T Su)d(T v, T Sv)

d(T u, T v) ,a(u, v)d(T u, T Sv)d(T v, T Su)

2.1.7 Hệ quả ([4]) Cho (X, d) là một không gian metric và S : X →

X là một ánh xạ Nếu X là đầy đủ theo quỹ đạo và S là một ánh xạliên tục theo quỹ đạo thoả mãn

d(Sx, Sy) <q maxd(x, y), d(x, y)
d(x, Sx)d(y, Sy),

a(x, y)d(x, Sy)d(y, Sx) , (2.9)

với x, y ∈ X, x 6= y và 0 < q < 1, trong đó a(x, y) là một hàm thựckhông âm thì x ∈ X, lim

n→∞Snx = ux và Sux = ux Hơn nữa, nếu

a(x, y) 6 d(x, y)
−1 thì S có duy nhất điểm bất động

Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 2.1.6 thực sự là mở rộng của Hệ quả 2.1.7.2.1.8 Ví dụ Cho X = [1, ∞) là tâp con của R với metric thông thường

và ánh xạ Sx = 4√

x Rõ ràng, S có duy nhất điểm bất động là x = 16

Ta chỉ ra điều kiện (2.9) không xảy ra với a(x, y) = 1

maxd(x, y), d(x, y)
−1d(x, Sx)d(y, Sy), a(x, y)d(x, Sy)d(y, Sx)

= maxd(x, y), d(x, Sx)d(y, Sy)

d(x, y) ,

d(x, Sy)d(y, Sx)d(x, y)

lne4

√xe4√y

= 12

lnxy

lnxy

d(T x, T y). Do đó, áp dụng Định lý 2.1.6 ta có: T có duy nhất điểm bấtđộng Chú ý rằng T không là ánh xạ co trên X.

2.2 Định lý điểm bất động cho họ các ánh xạ co dựa trên mộtánh xạ khác

Trong mục này, chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu của chúngtôi về định lý điểm bất động cho họ ánh xạ co dựa trên một ánh xạ khác.2.2.1 Định nghĩa Cho (X, d) là một không gian metric và họ ánh xạ

F = {fα : X → X : α ∈ I} Phần tử a ∈ X được gọi là điểm bất độngcủa họ F nếu a là điểm bất động của fα với mọi α

Định lý sau là kết quả chính của mục này

2.2.2 Định lý Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X

là một song ánh, liên tục và dãy hội tụ Cho họ ánh xạ F = {Sn :

X → X : n = 0, 1, 2, } Nếu tồn tại q ∈ (0, 1) sao cho

d(T S0x, T Sny) 6 q max

nd(T x, T y), d(T x, T S0x), d(T y, T Sny),1

2.2.3 Bổ đề Cho (X, d) là không gian metric và T : X → X là mộtsong ánh Cho S0, S : X → X là hai ánh xạ trên X Nếu tồn tại

0 < q < 1 sao cho

d(T S0x, T Sy) 6 q max

nd(T x, T y), d(T x, T S0x), d(T y, T Sy),d(T x, T Sy), d(T y, T S0x)

o

6 q max{d(T a, T Sa), 0} = qd(T a, T Sa)

Vì q ∈ (0, 1)nên d(T a, T Sa) = 0 Suy raT a = T Sa VìT là song ánh nên

Sa = a.Do đó a ∈ {x ∈ X : Sx = x}.Bây giờ lấya0 ∈ {x ∈ X : S0x = x}

tuỳ ý Khi đó a0 ∈ {x ∈ X : Sx = x} và theo (2.12) ta có

Trong mục này, trình bày kết nghiên cứu chúngtơi định lý điểm bất động cho họ ánh xạ co dựa ánh xạ khác. 2.2.1 Định nghĩa Cho (X,... metric họ ánh xạ

F = {fα : X → X : α ∈ I} Phần tử a ∈ X gọi điểm bất độngcủa họ F a điểm bất động fα với α

Định lý sau kết mục

2.2.2 Định lý Cho (X, d)... class="text_page_counter">Trang 22

d(T x, T y). Do đó, áp dụng Định lý 2.1.6 ta có: T có điểm bất? ?ộng Chú ý T không ánh xạ co X.

2.2 Định lý