Phuong trinh vi phan tren da tap

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP Giả sử hàm f x y , xác định và liên tục trong miền G mở của mặt phẳng.. Đường cong đó nếu tồn tại thì gọi là đường cong tích phân, và bài toán đặt ra sẽ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP

Giả sử hàm f x y( , ) xác định và liên tục trong miền G mở của mặt phẳng Qua mỗi

điểm (x,y) thuộc G, ta vẽ vector có độ dài bằng 1 và lập với chiều dương của trục hoành

một góc

2

\

α sao cho tgα = f x y( , )

Làm như vậy đối với mọi điểm trong G thì ta nhận được một trường vector

còn gọi là trường hướng Bài toán đặt ra là tìm đường cong là tập hợp các điểm

( ) ( , ( , ( )))

V x =V x f x y x

( , ( ))x y x với x thuộc miền mở , y liên tục trên D, sao cho tại mỗi

điểm của đường cong đó, tiếp tuyến với đường cong trùng với hướng vector của trường hướng tại điểm đó Đường cong đó nếu tồn tại thì gọi là đường cong tích phân, và bài toán đặt ra sẽ đưa ta đến việc giải phương trình vi phân sau

D⊂ \

' ( , ),

y = f x y x D∈ Tuy nhiên trong thực tế, người ta không quan tâm đến tất cả các đường cong tích phân này mà chỉ quan tâm đến đường cong tích phân thỏa điều kiện nào đó, chằng hạn đi qua

một điểm cho trước thuộc D Đó chính là ý nghĩa hình học của Bài toán Cauchy mà ta đã

nghiên cứu

0

' ( , ) ,

y f x y x x

y x y

D

⎧

⎩ Như đã biết, với điều kiện f x y( , )có tính Lipchitz theo biến thứ hai thì Bài toán Cauchy

có duy nhất nghiệm y=ϕ( )x với x thuộc lân cận đủ bé trong \

Hơn thế nữa, người ta cũng chứng minh được rằng Bài toán Cauchy này vẫn tồn tại và

duy nhất nghiệm trong không gian Banach tổng quát, nhưng G vẫn chỉ là tập mở trong

không gian Banach đó

Một câu hỏi hết sức tự nhiên được đặt ra là liệu chăng Bài toán Cauchy vẫn đảm bảo tính

tồn tại và duy nhất nghiệm hay không nếu ta thay G là đa tạp k-chiều trong không gian

?

n

\

Và đó chính là nội dung chính của bài thu hoạch này

Trước hết, chúng ta cần tìm hiểu sơ bộ các khái niệm cơ bản của phương trình vi phân thường dựa trên lý thuyết về đa tạp

PHẦN 1

ĐƯỜNG CONG TÍCH PHÂN 1.1 Trường vector trơn trên đa tạp

Cho M là đa tạp k-chiều trong , ta nói V là trường vector trên đa tạp M nếu V là ánh xạ

từ , biến x thành vector V(x) thuộc TM

n

\

x M∈

n

Ví dụ Xét S 1 là đa tạp 1-chiều trong \2, trường vector được xác định như sau

: ( , ) ( , )

V S

→

−

\

→ \

( , )

V x y y

x y

−

y

x

TM

Nếu ánh xạ V M: n là trơn thì ta nói V là trường vector trơn trên M

1.2 Đường cong tích phân

Cho M là một đa tạp k-chiều trong , V là truờng vector trơn trên M Một đuờng cong tích phân của V là ánh xạ trơn

n

\

: J M

γ → , với J là khoảng mở trong sao cho \ '( )t V( ( )),t

γ = γ với mọi t J ∈

Nói cách khác, đường cong tích phân này là đường cong nằm trên M, mà tại mỗi điểm của nó, vector tiếp xúc tương ứng bằng với trường vector tại điểm đó, trong đó V là

trường vector cho trước

( )t

γ

n

\

( )t

TMγ M

\

γ

Nếu 0 J∈ thì điểm γ(0)= p được gọi là điểm bắt đầu của γ

2

M = \

Ví dụ 1.2.1 Xét đa tạp trong \2, V là ánh xạ được xác định như sau

: ( , ) ( , ) (1, 0)

V x

x

∂

∂

∂

6

Do M = \ nên 2 với mọi và do đó, V hiển nhiên là trường vector

trên

2 ( , )u v ,

TM = \ ( , )u v ∈ \2 2

\

Xét ánh xạ γ như sau

2 : ( 1,1)

t t a b

+

\

với a,b là hằng số cho trước

Ta có

với mọi t

'( ) (1, 0),t

( ( )) ( , ) (1,0),

x

∂ với mọi t ( 1,1).∈ −

Nên γ chính là đường cong tích phân của V, và thỏa γ(0) ( , )= a b

Và như thế thì luôn có một đường cong tích phân đi qua mọi điểm của mặt phẳng

Ví dụ 1.2.2 Xét ánh xạ sau

( , ) ( , )

: ( , )

W

→

+

6

Ta xét γ :\→\2là đường cong trơn được viết theo lối thông thường γ( ) ( ( ), ( ))t = x t y t

thì điều kiện để γ là đường cong tích phân là γ '( )t =Wγ( )t ,nghĩa là

( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))

So sánh từng thành phần của vector này thì ta có được điều tương đương là hệ phương trình vi phân thường sau

'( ) ( ), '( ) ( )

x t x t

y t y t

=

=

( ) t

x t =ae y t( )=be t

Nghiệm của hệ phương trình này là và , với a b, ∈ \ Nói cách khác, đường cong tích phân của ta chính là γ( ) (t = ae be t, t) và điểm bắt đầu là γ(0) ( , ).= a b ta lại thấy rằng luôn tồn tại một đường cong tích phân đi qua mỗi điểm ( , )a b ∈ \2

Như trong ví dụ thứ hai , ta thấy rằng việc tìm đường cong tích phân thì tương ứng với việc giải một hệ những phương trình vi phân thường của từng thành phần tọa độ Tổng quát hơn, xét γ : J→M là đường cong trơn bất kỳ, nghĩa là nếu viết γ dưới dạng

( ) ( ( ), ( ), ,t t t n( ))

1, , ,2 n

thì thuộc lớp C J∞( ) Để γ là đường cong tích phân của trường vector trơn V

thì theo định nghĩa, ta cần

( )

'( ) n ( ) '( )i

t i

x γ γ

=

∂

∂

Do định nghĩa của trường vector, nên nằm trên không gian tiếp xúc được sinh ra bởi

cơ sở {

( )t

Vγ

}

( ) 1 / i| n

t i

x γ

=

∂ ∂ Nói cách khác, để γ là đường cong tích phân của trường vector trơn

V thì ta cần có sự bằng nhau giữa các tọa độ bộ phận

( ) '( )i i( ( )) ,

điều này dẫn đến một hệ thống những phương trình vi phân thường (ODEs) sau

( )( ) ( ( ), ( ), , ( )),

( )( ) ( ( ), ( ), , ( )),

n

⎪

⎨

⎩ trong đó, là hàm thành phần thứ i của V Việc giải hệ phương trình vi phân thường

trên tương đương với việc giải từng phương trình vi phân thường Và từ đây, mục đích chính của ta là chứng minh dưới những điều kiện nào thì từng phương trình vi phân thường trên tồn tại và duy nhất nghiệm, nghiệm này khi nào thì liên tục hay trơn Vì khi

có được những khẳng định này thì ta mới có kết luận tương tự cho việc tìm đường cong tích phân mà ta đã giới thiệu từ đầu Và đậy cũng chính là lý do vì sao ta sử dụng thuật ngữ “đường cong tích phân”, bới ta cần “tích phân” hệ phương trình vi phân trên để tìm nghiêm của chúng Tuy nhiên, tùy theo cách tham số hóa mà ta có khẳng định về sự tồn tại duy nhất đường cong tích phân đi qua mỗi điểm

i

V

Bổ đề sau đây sẽ cho thấy một đường cong tích phân có thể được tham số hóa lại để thay

đổ điểm bắt đầu của nó bằng cách tịnh tiến theo a

Bổ đề 1.2 (Bổ đề tịnh tiến) Cho V là một trường vecto trơn trên một đa tạp trơn M

Cho J⊂\ là một khoảng mở bất kỳ chứa O Cho γ:J→M là một đường cong tích phân của V Với mỗi a J∈ đặt

J= ∈ + ∈t \t a J Khi đó đường cong

 i



:

( ) ( ),

γ

→

6

( )a

γ

là một đường cong tích phân của V,với điểm bắt dầu tại

Chứng minh Dễ thấy, đây là một áp dụng trưc tiếp của quy tắc lấy đạo hàm của hàm hợp

trong tọa độ thành phần Ta xét tác động của γ′( )t trên một hàm trơn f định nghĩa trong

một lân cận của một điểm γ( )t o Bằng quy tắc lấy đạo hàm hàm hợp , γ là một đường

cong tích phân , ta có

( )

t to

t to

d

dt d

dt

γ γ

=

=

′

′

D D

PHẦN 2

FLOWS

Định nghĩa 2.1 Cho M là một đa tạp trơn Ta định nghĩa một flow toàn cục trên M là

một ánh xạ trơn :θ \×M →M thỏa mãn những tính chất sau đây với mọi và mọi

,

s t∈ \

p M∈

( , ( , )) ( , ),

(0, )

θ

= (2.1) Đôi khi ta còn gọi flow toàn cụa này là tác động nhóm một tham số

Định nghĩa 2.2 Cho θ là một flow toàn cục trên M, Chúng ta định nghĩa hai ánh xạ sau

Với mỗi t∈\, ta đặt

:

( ) ( , )

t

t

θ

→

=

6 (2.2) Với mỗi p M∈ , ta đặt

(2.3)

( )

( )

:

( ) ( , )

P

p

M

θ

→

=

\

Từ Định nghĩa (2.1) và (2.2) ta dễ dàng chứng minh được

0 ,

M

Id

θ

=

=

D (2.4) Mệnh đề sau đây sẽ cho ta thấy rằng một flow toàn cục hiện diện như là tập hợp của những đường cong tích phân của một vài trường vector đặc biệt

Bổ đề 2.3 Cho θ :\ × M → M là một flow tòan cục Với mỗi p M∈ , ta định nghĩa một vector tiếp xúc V p ∈T p M bởi

( )

0

p

t t

∂ =

Phép tương ứng là một trường vector V trên M , và mỗi đường cong là một đường cong tích phân của V

( )p

θ

Trường vector V định nghĩa trong trường hợp này được gọi là sự sinh ra vô cùng nhỏ của

θ

Định nghĩa 2.4 Cho M là một đa tạp trơn, V là một trường vector trơn trên M,

là một ánh xạ trơn , ta nói ánh xạ là sự đẩy tiến của V nếu với mỗi

sao cho

:

,

p M∈ F T M*: p →T F p( )M F V p* ( )=V F p( )

Định nghĩa 2.5 Cho V là một trường vector trơn trên một đa tạp trơn M, và giả sử

là một vi đồng phôi Chúng ta nói V là trường vector bất biến dưới F nếu

:

F M →M

*

FV V = trên M

Bổ đề 2.6 Cho θ là một flow toàn cục trên M và V là sự sinh ra vô cùng nhỏ của θ Khi đó, V là trường vector bất biến dưới θt,với mỗi t∈\

Các phần chứng minh của các Bổ đề ở phần này lien quan đấn kiến thức về Lý thuyết nhóm Lie nên ta tạm chấp nhận các kết quả này

Ví dụ 2.7 Lấy M = {( , )x y ∈ \2 : x < 0},, và lấy V

x

∂

=

∂ Dữ kiện như trong ví dụ

1.2.1 , ta thấy rằng đường cong tích phân của V bắt đầu tại ( , )a b M∈ là γ( ) (t = +t a b, ) Tuy nhiên , trong trường hợp này , chỉ được định nghĩa với γ t<−a

Rõ ràng một trường vector trơn nhưng chưa chắc là sinh ra một flow toàn cục, tuy vậy

vẫn có đường cong tích phân xác định như là một flow mang tính chất “địa phương” Vì

lý do này, nên dẫn đến ta có những định nghĩa sau

Định nghĩa 2.8 Nếu M là một đa tạp trơn, thì miền xác định flow của M là một mở con

thỏa mãn tính chất với mỗi

D⊂ ×\ M p M∈ ,tập hợp D p = ∈{t \: ( , )t p ∈D}là một khoảng mở chứa 0

Một flow địa phương trên M là một ánh xạ trơn : Dθ →M cũng thỏa mãn các tính chất sau

(0, ) , ( , ( , )) ( , ),

θ

=

với mọi p M∈ ,s D t D∈ p, ∈ θ( , )s p

Đôi khi, ta gọi flow địa phương này một cách ngắn gọn là flow hay tác động nhóm một tham số địa phương

Nếu θ là một flow , ta định nghĩa với ,Đó là định nghĩa cho flow địa phương Một cách tương tự , sự sinh ra vô cùng nhỏ của

( )

t

θ =θ =θ p ( , )t p D∈

θ được dịnh nghĩa bởi ( ) (0)p

Bổ đề 2.7 (Các tính chất của Flows)

Cho D là miền xác định flow trên M, : Dθ →M là một flow

(a) Với mỗi t∈ \, tập M t ={p M t p∈ : ( , )∈D} là mở trong M, và :θt M t →M là một vi đồng phôi lên một tập con mở của M

(b) Quan hệ dưới đây vẫn đúng khi vế trái được định nghĩa

θ θD =θ+

(c) Sự sinh ra vô cùng nhỏ V củaθ là một trường vector trơn

(d) Với mỗi p M∈ , ( )p :

p

θ → là một đường cong tích phân của V có điểm bắt đầu tại p

(e) Với mỗi t∈\, thì θt∗V V = trên tập mở (θt M t)

Một tính chất quan trọng khác của Flows là kết quả sau

Bổ đề 2.8 Giả sử là một flow trên M với sự sinh ra vô cùng nhỏ V, và Nếu

thì

p M∈ 0,

p

V = θ là một đường cong hằng ( )p θ( )p ( )t ≡ Nếu p thì ( )p :

p

0,

p

nhúng , nghĩa là ( )

*

p

θ là một đơn ánh

( )p

γ θ=

Chứng minh Đặt Cho bất kỳ thuộc t D p, và đặt q=γ( ).t

'( ) 0.t

Nhắc lại là ánh xạ γ∗:T R t →T M q bằng không khi và chỉ khi Từ (e) của Bổ đề 2.7 ta có V q =θt∗V p Do đó γ'( )t =V q =0 nếu và chỉ nếu γ '(0)=V p =0

'( )t

γ suy biến tại một t nào đó thuộc thì nó suy biến với mọi t

Do đó, nếu V p =0 thì γ là một ánh xạ trơn mà đẩy tiến tại mỗi điểm bằng không

Suy ra nó là một ánh xạ hằng (bởi vì miền xác định của nó là liên thông)

Mặt khác, nếu V p ≠0, thì khác không, do đó nó là đơn ánh γ∗

PHẦN 3

CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN

ĐA TẠP

Trong phần này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh dưới những điều kiện nào thì phương trình vi phân thường có nghiệm duy nhất, và nghiệm này khi nào thì liên tục hay trơn

Thực tế thì ta chỉ chứng minh sự tồn tại nghiệm với giả thiết rất tốt, đó là trường vector V

mà ta xét cần phải liên tục Lipschitz Ta sẽ định nghĩa như thế nào là liên tục Lipschitz trước khi vào phát biểu và chứng minh các kết quả tiếp theo

Cho U là tập con bất kỳ trong , một ánh xạ gọi là liên tục Lipschipz trên

U nếu có một hằng số C sao cho

n

F U → \

|| ( )F x −F y( ) ||≤C x y|| − ||, ∀x y U, ∈ Ngoài ra, do trong quá trình chứng minh ta cần sử dụng đến Định lý điểm bất động nên ta

sẽ xây dựng một không gian metric đầy đủ cần thiết

Cho U là tập mở bất kỳ trong \n , J là một khoảng mở trong ,\ x0∈U r 0, > ,với mỗi điểm x U∈ ta định nghĩa Mx là tập hợp tất cả các ánh xạ liên tục γ:J →B x r( 0) sao cho

Ta định nghĩa một metric trên M

(0) x

( , ) sup || ( ) ( ) ||,

t J

d γ γ γ t γ

∈

,

γ γ∈

với mọi Mx Dễ dàng kiểm tra rằng với metric này thì Mx là không gian metric đầy

đủ

Trong suốt phần này, ta sẽ ký hiệu U là tập mở trong , là ánh xạ liên tục

Lipschitz trên U Với mỗi và bất kỳ

n

V U → \

x U∈ 0

t ∈ \ ,ta sẽ nghiên cứu bài toán giá trị đầu sau (3.1)

0

( ) '( ) ( ( )), ( )

t x

γ

=

= Trong phần đầu của mục này , ta sẽ nhắc lại các kết quả cổ điển về nghiệm của phương trình vi phân

Định lý sau đây sẽ có ích cho kết quả mà chúng ta sẽ phát biểu

Định lý 3.1 (Sự khả vi dưới dấu tích phân) Cho là một tập mở, và ánh xạ liên tục sao cho các đạo hàm riêng

n

: [ , ]

f

U a b t

: [ , ]

Ta định nghĩa ánh xạ sau

:

( , )

b

a

F U

x f x t dt

→

∫

\ 6

thì F thuộc C 1 và các đạo hàm riêng của nó có thể được tính bằng cách vi phân dưới dấu tích phân

(Phần chứng minh của Định lý này có thể xem trong John M.Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2000, trang 426)

Định lý 3.2 (Sự tồn tại nghiệm) Với mỗi t0∈ \ và x0∈ ,tồn tại một khoảng mở U chứa , một tập mở chứa

0

J

0

t U0 ⊂U x , và với mỗi 0 x U∈ 0 thì có một đường cong trơn

0

: J U

thỏa mãn bài toán giá trị đầu (3.1)

Chứng minh Nếu γ là đường cong liên tục bất kỳ trên U, theo Định lý cơ bản về phép

tính vi tích phân thìγ là nghiệm của bài toán giá trị đầu (3.1) nếu và chỉ nếu nó cũng thỏa phương trình tích phân sau

(3.2)

0

t

t

t x V s ds

trong đó tích phân của hàm vector V( ( ))γ s được hiểu như là tích phân từng thành phần của nó

Như đã nói, trong phần chứng minh ta sẽ sử dụng Định lý điểm bất động nên một cách tự nhiên là ta sẽ đặt vế phải của (3.2) như là một toán tử, cụ thể, ta định nghĩa

0

t

t

A tγ = +x ∫V γ s ds

(3.3)

0 ( )

r

B x ⊂U Gọi C là hằng số Lipschitz của V Do U là tập mở nên có r > 0 sao cho , và ta đặt

0

( )

sup || ( ) ||

r

x B x

∈

= Xét tập hợp J0 =(t0−ε,t0+ε)và U0 =B xδ( )0 ,với các hằng số

ε

δ và sẽ được chọn sau

Ta đã xây dựng được không gian metric đầy đủ Mx , để áp dụng được Định lý điểm bất động thì ta cần phải chứng minh rằng

:

A Mx→ Mx

Rõ ràng là Aγ(0)=x , từ cách định nghĩa A thì ta thấy rằng A khả vi và do đó A liên tục

Bây giờ thì ta cần chứng minh Aγ có giá trị trong B x r( )0 Thật vậy, lấy bất kỳ γ∈ Mx

và bất kỳ t J∈ ,ta có 0

0

0

0

|| ( ) || || ( ( )) ||

|| || || ( ( )) ||

,

t

t t

t

A t x x V s ds x

M

γ

≤ +

∫

,

M

δ ≤ ε ≤

và đến đây thì ta sẽ chọn giá trị , và do đó ta có được điều cần chứng minh

,

γ γ∈

Tiếp theo,ta phải kiểm tra A là ánh xạ co Xét bất kỳ Mx ,ta được

0 0

( , ) sup ( ( )) ( ( ))

sup ( ( )) ( ( )) ( , ),

t

t J t

C d

ε γ γ

∈

∈

≤

∫

1

2C

ε <

và do đó hiển nhiên là ta nên chọn thêm điều kiện thì ta được điều mong muốn

1

2

δ < ε < ⎛⎜

⎞

⎟ Vậy tóm lại, bằng cách chọn hai hằng số thì A có điểm bất

động γ ∈Mx , và đó là nghiệm của (3.1) □  Một điều khá lạ ở đây chính là ta chỉ có thể khẳng định sự tồn tại nghiệm của (3.1) trong

một khoảng khá bé chứa trong J, chứ ta không khẳng định được trên toàn khoảng J như

trong giả thiết lúc đầu, và đó cũng là hạn chế của Định lý này

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh sự duy nhất nghiệm của (3.1)

Định lý 3.3 (Sự duy nhất nghiệm) Giả sử như γ thỏa (3.1) thì γ là nghiệm duy nhất của phương trình này

: J U

Chứng minh Giả sử như cũng là một nghiệm của (3.1) Ta có

( )

2

2

|| ( ) ( ) || ( ( ) ( )).( ( ) ( ))

2( ( ) ( )) '( ) '( )) 2( ( ) ( )).( ( ( )) ( ( )))

2 || ( ) ( ) || || ( ( )) ( ( )) ||

2 || ( ) ( ) ||

Điều này dẫn đến

( C t || ( ) ( ) || )

d

và bằng cách lấy tích phân trên trên [ , ]t t0 , ta được

0

2

|| ( ) ( ) || C t || ( ) ( ) || , ,

C t

e− γ t −γ t ≤e− γ t −γ t t≥t 0

điều này có thể viết lại là

0

2 | |

|| ( )γ t −γ( ) ||t ≤e C t t− || ( )γ t −γ( ) || ,t t t≥ 0, hay

0

| |

|| ( )γ t −γ( ) ||t ≤e C t t− || ( )γ t −γ( ) ||,t t t≥

0 (3.2) Tương tự, sử dụng ước lượng sau

2

|| ( ) ( ) || 2 || ( ) ( ) || ,

d

ta cũng có được