Về đường trắc địa trên đa tạp riemann và giả riemann

Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát các tính chất của đ-ờng trắc địa và biến phân trắc địa trên đa tạp Riemann và giả Riemann.. Luận văn đ-ợc trình bày trong hai ch-ơng: Ch-ơng 1: Liê

Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát các tính chất của đ-ờng trắc địa và biến phân trắc địa trên đa tạp Riemann và giả Riemann

Luận văn đ-ợc trình bày trong hai ch-ơng:

Ch-ơng 1: Liên thông Lêvi-Civita trên đa tạp Riemann và giả Riemann

Trong ch-ơng này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của liên thông tuyến tính và liên thông Lêvi-Civita

I Liên thông tuyến tính

II Liên thông Lêvi-Civita trên đa tạp Riemann và giả Riemann

Ch-ơng 2 Đ-ờng trắc địa trên đa tạp Riemann và giả Riemann

Trong ch-ơng này, tr-ớc hết chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất cơ bản của đ-ờng trắc địa trên đa tạp Riemann và giả Riemann Tiếp theo chúng tôi khảo sát tính biến phân và tr-ờng véctơ biến phân dọc đ-ờng cong trắc địa

I Đ-ờng trắc địa trên đa tạp Riemann và giả Riemann

II Biến phân và tr-ờng véctơ biến phân dọc đ-ờng cong trắc địa

Luận văn này đ-ợc hoàn thành tại Khoa sau Đại học tr-ờng Đại học Vinh

d-ới sự h-ớng dẫn của TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này tác giả xin chân

thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy đã đặt vấn đề và h-ớng dẫn tác giả trong suốt quá trình viết và hoàn thành luận văn

3 Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo trong tổ Hình học, các thầy giáo, cô giáo làm việc tại Khoa toán và Khoa sau Đại học đã giảng dạy, chỉ dẫn các vấn đề có liên quan đến đề tài nghiên cứu

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn đến các đồng nghiệp, bạn bè và gia

đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn này

4

Ch-¬ng1 liªn th«ng lªvi-civita trªn ®a t¹p Riemann

®-îc gäi lµ liªn th«ng tuyÕn tÝnh trªn ®a t¹p M nÕu vµ chØ nÕu  tho¶ m·n 4

®iÒu kiÖn sau:

5

Chøng minh

ThËt vËy, víi X, X', Y, Y’  B(M), F 3

( ) ta kiÓm tra 4 ®iÒu kiÖn cña liªn th«ng tuyÕn tÝnh

6   1

X Y E



 Khi đó  là một liên thông tuyến tính trên M

Thật vậy, với mọi X, X’, Y, Y’ B(M);   F(M), ta có:

X Y E





Giả sử X là véctơ tiếp xúc với cung p(t) tại p Nh- ta đã biết, khi đó : p f|p X p

là véctơ tiếp xúc với đ-ờng cong f ( )t tại ( )f p Từ đó ta có:

X  f f 

Bây giờ, ta trở lại chứng minh mệnh đề

= 11X(Y)  22X(Y)

= 1(X  Y   1X Y)  2(X  Y   2X Y )

= ( 1 2) X  Y +  ( 11X Y 2X Y)

  ; là dạng song tuyến tính và g thoả mãn:

1 g phụ thuộc vào p một cách khả vi (nghĩa là ( , g X Y)( )p g p(X p, Y p)

là hàm khả vi theo p, với mỗi cặp tr-ờng véc tơ X, Y)

2 g đối xứng ; p  p M

3 g không suy biến ; p  p M

4 g có chỉ số hằng; p  p M

Khi đó, g đ-ợc gọi là mêtric nửa Riemann trên M Đa tạp (M, g) đ-ợc gọi là

đa tạp nửa Riemann

Chú ý

+ Khi g xác định d-ơng, với mọi p p  M ta nói g là mêtric Riemann Đa

tạp (M, g) đ-ợc gọi là đa tạp Riemann

+ Khi g không xác định d-ơng, với mọi p p  M ta nói g là mêtric giả Rmann Đa tạp (M, g) đ-ợc gọi là đa tạp giả Riemann

f X x

f x

Suy ra: f j U|  = 0 Do đó f |U tồn tại và duy nhất trên U

Gọi   là phân hoạch đơn vị ứng với  U Khi đó, đặt: f =  f

Giả sử  là một liên thông tuyến tính trên đa tạp nửa Riemann M Khi đó,

 đ-ợc gọi là liên thông LêVi - Civita nếu  thoả mãn hai điều kiện sau:

X Y E



Khi đó,  là một liên thông Lêvi-Civita trên M

Thật vậy, theo ví dụ (1.1.2.2) ta đã chứng minh  là liên thông tuyến tính Bây giờ ta sẽ kiểm tra hai điều kiện của liên thông Lêvi - Civita

Y X E 



 = (X Y)  - (Y X)   X Y = ,  X Y - Y X

16

Bổ đề

Giả sử M là đa tạp khả vi và : B(M)  F(M) là 1- dạng trên M Tức là

: p p: T p  ; với p là dạng tuyến tính, p  M Khi đó tồn tại

duy nhất một tr-ờng véc tơ AB(M) sao cho:

không suy biến nên với mọi q  U ta có det ( g ij)|q 0 Do đó từ (2) xác định

duy nhất đ-ợc các (j)và chúng đ-ợc biểu thị qua các hàm khả vi (E i)và g ij

 j cũng khả vi Nh- vậy tr-ờng véctơ A khả vi và A đ-ợc xác định một

cách duy nhất thỏa mãn (1)

Bây giờ, ta chứng minh định lý:

+ Tính duy nhất của :

Giả sử : B(M)X B(M)  B(M)

(X Y, ) X Y

là liên thông Lêvi - Civita thỏa mãn:

(1) ( ,T X Y) = 0  X Y - Y X - X Y = 0 , 

17 (2) Z X Y   = Z X Y  X Z Y; X Y Z, ,  B(M)

Để chứng minh tính duy nhất, ta chứng tỏ rằng nếu X Y thỏa mãn điều kiện (1)

và (2) thì nó thỏa mãn ph-ơng trình sau:

X Y Z

2 X Y X Y Z X Z X Y Z X Y Y Z X X Y X (3)

Thật vậy, từ (1) ta có:X Y=Y X +X Y (4) , 

T-ơng tự: Y Z = Z Y + Y Z (5) , 

Z X =X Z + Z X (6) , 

Từ (2) ta có Z X Y   = Z X Y  X Z Y

T-ơng tự: X Y Z   = X Y Z  YY X (7)

Y Z X   = Y Z X ZY X (8)

Mặt khác, từ (8) ta có: Y X Z = Y Z X   Y Z X (9)

Do đó: X Y Z = (Y X X Y, )Z (theo(4))

= Y X Z X Y, Z

= Y Z X Y Z X    X Y, Z (theo (9))

=  ( Z Y Y Z, ) X Y Z X    X Y, Z (theo (5))

=   Z Y X Y Z,   X Y Z X   X Y Z, 

= Z X Y Z X Y    Y Z,  X Y Z X    X Y, Z (theo (2))

= (X Z Z X, ) Y Z X Y    Y Z,  X Y Z X    X Y, Z (theo (6))

= X Z Y Z X,  Y Z X Y    Y Z,  X Y Z X    X Y, Z

=X Y Z   X Y Z Z X,  Y Z X Y    Y Z,  X Y Z X    X Y, Z

 2X Y Z =X Y Z    Z X,  Y Z X Y    Y Z,  X Y Z X    X Y, Z

Chia hai vế cho 2 ta đ-ợc:

Bây giờ, ta giả sử có một liên thông tuyến tính khác là ' cũng thỏa mãn

điều kiện (1) và (2) Khi đó từ (3) suy ra:

19 Thật vậy, để kiểm tra  là một liên thông tuyến tính ta chỉ cần kiểm tra quy tắc đạo hàm của 

Từ (3) ta có: 2(XY)Z=

X Y Z  Y Z X Z X Y Z X Y  Y Z X X Y Z

= 2(X Y) Z X Y Z(  )Z  (X Y )X  (Z Y )Z  (X Y ) = 2(X Y) Z X  (Y Z )

X Y Z Y X Z

 (X Y  Y X X Y, )Z = 0;  Z B(M)

Giả sử  là liên thông tuyến tính trên đa tạp nửa Riemann M và

 : I M là đ-ờng cong khả vi trong M Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ:

dt  f D Y

dt

)

iii Với mọi t o I có tồn tại khoảng mở J I, sao cho t oJ và nếu

X  B(M) là một tr-ờng véctơ khả vi, với X( ( )) t Y t( ); t  J thì:

22 Theo ®iÒu kiÖn )i vµ ) ii ta cã:

j t X

Gi¶ sö : I  M lµ ®-êng cong kh¶ vi trong M Mét tr-êng vÐct¬ X däc

®-êng cong  ®-îc gäi lµ song song däc  nÕu DX

dt  0 (nghÜa lµ Y



 = 0)

23

2.1.4 Mệnh đề

Giả sử I = (a, b) là khoảng mở trong R và  : I  M là đ-ờng cong khả vi

lớp C Khi đó với mỗi 1 t o I và X o T ( )

o t

 M có tồn tại duy nhất tr-ờng

véctơ song song Y dọc  sao cho Y t = ( )0 X (ở đây o C là các hàm khả vi bậc 1 1

X 







24 nên tồn tại duy nhất nghiệm  = ( 1, 2, , n) Do đó tồn tại duy nhất tr-ờng

véctơ song song Y dọc  với: ( )Y t = ( )

2 Giả sử X, Y là các tr-ờng véc tơ song song dọc ( ). t Khi đó X Y

cũng là các tr-ờng véc tơ song song dọc ( ); t  , 

Giả sử M là một đa tạp Riemann và giả Riemann với liên thông Lêvi -

Civita  Một đ-ờng cong  : t  ( ) t  M đ-ợc gọi là đ-ờng trắc địa nếu và

chỉ nếu:

i j

dx dx

d x U dt

x i i

dx

U dt

d x U dt



1 1

n j j j

n i

i dx U

dx

U dt

d x U dt

Ui i

dx dx

d x U dt

ij k

dx dx

đồng nhất với không gian con  3 

v v p

Trên S có liên thông Lêvi- Civita 2 cảm thông với liên thông Lêvi- Civita

D trên 3

Với mọi v T S p 2 và X là tr-ờng véctơ trên S ta có: 2

v X = thành phần của D X tiếp xúc với v S 2

28 Vậy ( ) t là tr-ờng véctơ song song dọc đ-ờng tròn lớn ( ). t

Hay ( ) t là đ-ờng trắc địa

Chú ý Một đ-ờng trắc địa : I M đ-ợc gọi là cực đại nếu nó không thể mở

rộng thành đ-ờng trắc địa trên khoảng J I

29

2.2.2 Định nghĩa

Cho   ( ,p q), không gian tiếp xúc T của  tại  gồm tất cả các tr-ờng véctơ khả vi từng khúc trên  sao cho ( )V a 0 và ( )V b 0

ánh xạ :  ,    đ-ợc gọi là biến phân một tham số của 

nếu các điều kiện sau đây đ-ợc thoả mãn:

i (0)

ii Tồn tại phân hoạch 0    t0 t1 t n 1 sao cho ánh xạ:

:  ,  0,1 M xác định bởi: ( , )u t ( )( )u t là khả vi trên các tập

 ,  t k, t k1;  0  k n 1

2.2.3 Định lý (công thức biến phân thứ nhất) (xem [6])

Giả sử : [a, b]  M là đ-ờng cong nhẵn, với vận tốc hằng c0 và dấu

 (ở đây  sgn ', ' 1) Nếu  là biến phân của đ-ờng cong  thì:

Một đ-ờng cong trơn từng khúc  : [a, b]  M, với vận tốc hằng c0là

đ-ờng trắc địa nếu và chỉ nếu biến phân thứ nhất của độ dài cung bằng không cho mọi biến phân với điểm mút cố định của 

30 Tr-ớc tiên ta chứng tỏ rằng |u i, u i1 là trắc địa, tức là ''( ) t 0 đối với

1

u  t u Giả sử y là véc tơ tiếp xúc với M tại ( ) t và giả sử f là hàm không

đổi dấu trên [a, b] với supp f  t , t   u i, u i1. Giả sử Y là tr-ờng

véc tơ trên  đạt đ-ợc bằng phép dịch chuyển song song của y và giả sử V = fY

Từ ( )V a và ( ) V b bằng không, công thức hàm mũ ( , )u v exp( )u (vV u( ))xác định một biến phân với điểm mút cố định của  mà tr-ờng véc tơ vận tốc của

      Điều này đúng với mọi y,  0 và f Từ

đó ''( ),t y0 đối với mọi y''( )t 0(do  là trắc địa) T-ơng tự, giả sử

y là véc tơ tiếp xúc tuỳ ý tại ( ) u i và giả sử f là hàm không đổi dấu tại u với i,supp f  u i, u i1. Xét biến phân đầu mút cố định với tr-ờng véctơ fY từ công

2.2.5 Định lý (công thức biến phân thứ hai)

Giả sử : [a, b]  M là đ-ờng trắc địa, với vận tốc hằng c0và dấu .Nếu  là biến phân của  thì:

(ë ®©y, V lµ biÕn ph©n tr-êng vÐc t¬, A lµ tr-êng vÐc t¬ gia tèc xuyªn ngang

cña, V V V, V V,  lµ thµnh phÇn tiÕp xóc vµ trùc giao cña )

Dạng chỉ số Icủa đ-ờng trắc địa khác không (  ( ,p q)) là một

dạng song tuyến tính, đối xứng duy nhất I: T  T

sao cho nếu tr-ờng véc tơ biến phân VT( ) , thì I V V( , )L''x(0)

(ở đây,  là biến phân với đầu mút cố định của  )

Xét M là đa tạp nửa Riemann “phẳng” ( ( , R X Y Z) 0) p, q là hai điểm

bất kỳ thuộc một đ-ờng trắc địa 

i i i

J f p là tr-ờng Jacôbi dọc( p là tr-ờng mục tiêu trực chuẩn dọc i

    f t i( )a t i b i i; 1,n

34

Do đó, nếu J bằng 0 tại p và q thì J bằng 0 trên đ-ờng trắc địa

 p, q không liên hợp với nhau

với miền xác định [a, b] của , thì khi đó V sin( | )u  YT( )

Trong công thức biến phân thứ hai, lấy |' | c 1 Để đơn giản, giả sử

35

Cho đa tạp nửa Riemann M Một véc tơ tiếp xúc v T M p đ-ợc gọi là:

i Véc tơ tựa không gian nếu v v,  > 0

ii Véc tơ tựa thời gian nếu v v,   0

iii Véc tơ tựa ánh sáng nếu v v,   0

2.2.14.Định nghĩa

Giả sử I = [a, b] là khoảng mở trên Đ-ờng cong c : I  M đ-ợc gọi là

tựa không gian, tựa thời gian và tựa ánh sáng nếu ( )c t

Đ-ờng trắc địa  : [a, b]  M đ-ợc gọi là đối tựa không gian nếu không

gian con '( )s  T( )s M là tựa không gian đối với mỗi sa b, 

36  V', W'  R W V' , '  (2)

=  f f i i' Y j, Y i'  = f f j i' Y j', Y i  = A B,  (3) Thay (2) vµ (3) vµo (1), ta cã:

V B, ' = 2 A B,   B B,   R V', ' (4)  B B,  = V B,   ' 2 A B,   R V V' , ' (5) MÆt kh¸c: V', V' =  A B A,  B

37 = A A,   2 A B,   B B,  (6) Thay (5) vµo (6), ta cã:

38 Giả sử ( , )p q là đ-ờng trắc địa đối tựa không gian với dấu

 : ', ' 1 Nếu không có điểm liên hợp của p(0) dọc  , thì dạng

 dọc  nên với mỗi 0 u b, các véc tơ Y u1( ), Y u( ) , ,2 Y n1( )u tạo thành một cơ sở của '( )u 

(vì trái lại, tồn tại i 0 sao cho i i Y u( )= 0 Khi đó

Y = i i Y là tr-ờng Jacôbi dọc , (0)Y = 0 , ( )Y u = 0 và Y 0 (nếu Y 0

Y triệt tiêu tại 0 , theo (Bổ đề 2.2.16) cho Y i', Y j  = Y Y i, j' 

Nh- vậy, áp dụng (Bổ đề 2.2.17) ta thu đ-ợc:

Biểu thức thứ hai bằng 0, vì V triệt tiêu tại 0 và b

Do  là đối tựa không gian và A, ta có  A A,   0 Do đó ( , ) 0

I V V

Cho : [a, b]  M là đ-ờng trắc địa đối tựa không gian và giả sử ( ) u

không liên hợp với ( ) a với  a u b thì:

i Nếu M là đa tạp Riemann thì :

,

0

j k

40

 đ-ờng thẳng là đ-ờng trắc địa

p, q là hai điểm bất kỳ thuộc một đ-ờng trắc địa  i i

i

J  f p là tr-ờng Jacôbi dọc  (p là tr-ờng mục tiêu trực chuẩn dọc đ-ờng cong) i

 d f22i 0

dt   ( )f t i a t i b i; i1,n

Do đó, nếu J bằng 0 tại p và q thì J bằng 0 trên đ-ờng trắc địa

 p, q không liên hợp với nhau

Nh- vậy:

Trong không gian Ơclít, mọi đ-ờng thẳng là đ-ờng trắc địa đối tựa không gian  là đ-ờng có độ dài bé nhất trong tất cả các đ-ờng đối tựa không gian có chung hai đầu mút

Trong không gian giả Ơclít, mọi đ-ờng thẳng là đ-ờng trắc địa tựa thời gian

 là đ-ờng có độ dài lớn nhất trong tất cả các đ-ờng tựa thời gian có chung hai

đầu mút

Kết luận

Trong luận văn này chúng tôi đã làm đ-ợc các kết quả sau:

 Trình bày chứng minh một số tính chất cơ bản về liên thông tuyến tính (Mệnh đề 1.1.3, 1.1.4) liên thông Lêvi-Civita trên đa tạp Riemann và giả Riemann (Mệnh đề 1.2.7), sự tồn tại và duy nhất của ánh xạ đạo hàm hiệp biến dọc một đ-ờng cong (Mệnh đề 2.1.1)

 Chứng minh các tính chất cơ bản về đ-ờng trắc địa trên đa tạp Riemann

và giả Riemann (Mệnh đề 2.1.8, 2.1.10)

 Chứng minh định lý về công thức biến phân thứ hai (Định lý 2.2.5)

 Chứng minh các định lý về dạng Hecxan (Mệnh đề 2.2.12, 2.2.19)

41 Trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu bài toán cực tiểu toàn cực đối với các đa tạp con trong không gian giả Riemann

[2] Nguyễn Duy Bình (2008), Bài giảng lý thuyết Morse, Đại Học Vinh

[3] Lê Xuân Khoa (2007), Về đ-ờng trắc địa trên đa tạp Riemann, khoá luận tốt

42 Press – New york london - 1983

[7] Sigmundur, Guđmundsson Anintroduction to Riemann

Geometry Lund University - 2009

Mục lục

Trang

Lời mở đầu 1

Ch-ơng 1 Liên thông Lêvi – Civita trên đa tạp Riemann và giả Riemann 3

I Liên thông tuyến tính 3

II Liên thông Lêvi – Civita trên đa tạp Riemann và giả Riemann 11

Ch-ơng 2 Đ-ờng trắc địa trên đa tạp Riemann và giả Riemann 20

I Đ-ờng trắc địa trên đa tap Riemann và giả Riemann 20

II Biến phân và tr-ờng véctơ biến phân của đ-ờng cong trắc địa 27

43

KÕt luËn 39

Tµi liÖu tham kh¶o 40