Sơ lược về đa tạp Hadamard
Cho M là một đa tạp khả vi hữu hạn chiều Tập hợp tất cả các mặt tiếp xúc tại điểm \( x \in M \) được gọi là không gian tiếp xúc của M tại \( x \), ký hiệu là \( T_x M \), và nó là một không gian véc-tơ có cùng số chiều với M Hơn nữa, bó tiếp diện của M được ký hiệu là TM.
Một metric Riemannian ⟨ã,ã⟩x trờnTxMđược hiểu là một tớch vụ hướng trờn
Trong không gian T x M, nếu với mọi x ∈ M ta có ⟨ã,ã⟩ x là một metric Riemannian, thì trường tensor ⟨ã,ã⟩ được gọi là một metric Riemannian trên M Ký hiệu chuẩn tương ứng cảm sinh bởi tích hướng ⟨ã,ã⟩ x trên T x M là ∥ ã ∥ x Nếu không có sự hiểu nhầm, ta có thể bỏ chỉ số dưới trong các ký hiệu này Một đa tạp khả vi M cùng với một metric Riemannian ⟨ã,ã⟩ được gọi là một đa tạp Riemannian.
Cho γ :[a,b]→ M là một cung trơn từng khúc nội hai điểm x và y (tức là, γ(a) =x vàγ(b) =y), ta định nghĩa độ dài cungγ là
Khoảng cách Riemannian giữa hai điểm \(x\) và \(y\) được định nghĩa là giá trị nhỏ nhất trong tất cả các độ dài của các cung trơn nối hai điểm này, ký hiệu là \(d(x,y)\) Giả sử \(\nabla\) là một tương quan Levi-Civita liên kết với đa tạp Riemannian \(M\), và \(\gamma\) là một cung trơn trên đa tạp này.
M Một trường véc-tơX được gọi là song song vớiγ nếu
Khi đạo hàm của véc-tơ tiếp xúc $\nabla \gamma' X = 0$, điều này cho thấy véc-tơ tiếp xúc không đổi Nếu véc-tơ $\gamma'$ song song với $\gamma$, thì $\gamma$ được gọi là một cung trắc địa (geodesic), và trong trường hợp này, độ dài của véc-tơ tiếp xúc $\|\gamma'\|$ là một hằng số.
Nếu $\|\gamma' \| = 1$, thì $\gamma$ được gọi là cung trắc địa chuẩn hóa Một cung trắc địa nối hai điểm $x$ và $y$ trong không gian $M$ được xem là cung trắc địa tối thiểu nếu độ dài của nó bằng với khoảng cách Riemannian giữa $x$ và $y$.
Một đa tạp Riemannian được coi là đầy đủ nếu mọi cung trắc địa xuất phát từ một điểm bất kỳ đều được xác định với mọi thời gian Theo Định lý Hopf-Rinow, nếu đa tạp \(M\) là đầy đủ, thì bất kỳ cặp điểm nào trong \(M\) cũng có thể được nối bằng một đường trắc địa tối thiểu Hơn nữa, không gian metric \((M,d)\) là đầy đủ và các tập con đóng, bị chặn đều là các tập compact.
Ta ký hiệu P γ ,ã, là một dịch chuyển (transport) song song trờn bú tiếp diện
TMdọc theo γ tương ứng với ∇, tức là
P γ ,γ (b),γ(a) (v) =V(γ(b)) ∀a,b∈R vàv∈T γ(a) M trong đóV là trường véc-tơ duy nhất thỏa mãn
Khi đó, với a,b ∈R tùy ý, dịch chuyển song song P γ,γ(b),γ (a) là một phép đẳng cự từT γ (a) MvàoT γ (b) M Hơn nữa, vớia,b,b 1 ,b 2 ∈R tùy ý, ta có
Nếu γ là một cung trắc địa tối thiểu nối hai điểm x và y, ta sẽ ký hiệu là P y,x thay vì P γ ,y,x Hơn nữa, P y,x là một phép đẳng cự từ T x M vào T y M, tức là phép dịch chuyển song song bảo tồn tích vô hướng.
Giả sử M là một đa tạp đầy đủ, ánh xạ mũ exp x : T x M → M được định nghĩa tại điểm x ∈ M thông qua công thức exp x v = γv(1,x) với mọi v ∈ T x M Trong đó, γ(ã) = γv(ã,x) là một cung trắc địa xuất phát từ x với vận tốc cv, thỏa mãn điều kiện γ v ′ (0,x) = v và γv(0,x) = x.
Lúc này, với mỗi số thựct tùy ý ta có exp x tv=γv(t,x) ⇒exp x 0=γv(0,x) =x.
Ta cũng nhận thấy rằng, vớix ∈M tùy ý thì ánh xạexp x khả vi trên T x M Hơn nữa, tồn tại ánh xạexp −1 x :M→T x Mvà d(x,y) =∥exp −1 x y∥, ∀x,y∈M.
Nhận xét1.1.1 ([8]) Nếu x,y∈Mvàv∈T x Mthì v,−exp −1 p q v,P p,q exp −1 q p
Nhận xét1.1.2 Vớix,y∈Mtùy ý và với mọiu∈T x Mvàv∈T y M, các bất đẳng thức sau là tương đương a) u,exp −1 x y
Nhận xét1.1.3 ([5]) Giả sử x,y,z∈Mvàv∈T x M Khi đó v,exp −1 x y
+ v,P x,z exp −1 z y Định nghĩa 1.1.4 ([7]) Giả sử K là một tập khác rỗng của M Dãy{xn} ⊂K được gọi là hội tụ theo nghĩa Fejér đếnK (hay là, hội tụ đơn điệu Fejér ứng với
Bổ đề 1.1.5 khẳng định rằng, cho K là một tập con không rỗng của M và x n ⊂ M là một dãy hội tụ theo nghĩa Fejér đến K, ta có các mệnh đề sau: (i) Với mọi y ∈ K, dãy d(xn, y) hội tụ; (ii) Dãy x n bị chặn; (iii) Nếu điểm tụ x của {x n} thuộc vào K, thì {x n} hội tụ tới x.
Một đa tạp Riemann liên thông đơn và đầy đủ với độ cong cắt không dương được gọi là đa tạp Hadamard Trong bài viết này, chúng ta sẽ luôn giả sử rằng \(M\) là một đa tạp Hadamard có số chiều \(m\).
Mệnh đề 1.1.6. a) Vớix∈Mtùy ý, ánh xạexp x :TM→Mlà một phép vi phôi. b) Với hai điểm x,y ∈M tùy ý, luôn tồn tại một cung trắc địa chuẩn tắc γ :
[0,1]→Mnốix=γ(0)vày=γ(1)là một cung trắc địa tối thiểu xác định bởi γ(t) =exp x texp −1 x y, ∀t ∈[0,1].
Một tam giác trắc địa ∆(p 1 p 2 p 3 ) trên đa tạp Riemann là tập hợp ba điểm p 1, p 2, p 3 cùng với ba cung trắc địa tối thiểu nối liền các điểm này.
Mệnh đề 1.1.7 trình bày định lý so sánh đối với các tam giác trắc địa Cho tam giác trắc địa ∆(p₁, p₂, p₃), với mỗi i = 1, 2, 3 (mod 3), ta ký hiệu γᵢ: [0, lᵢ] → M là cung trắc địa nối pᵢ với pᵢ₊₁ Hơn nữa, ta định nghĩa lᵢ := L(γᵢ) và αᵢ := ∠ γᵢ′(0), −γᵢ₋₁′(lᵢ₋₁).
Khi đó, ta có a) α1+α2+α3⩽π, b) l i 2 +l i+1 2 −2lil i+1 cosαi+1⩽l i−1 2 , c) l i+1 cosαi+2+l i cosαi ≥l i+2 Để ý rằng, nếu ta sử dụng khoảng cách Riemann và ánh xạ mũ thì b) và c) được viết lại dưới dạng d 2 (pi,p i+1 ) +d 2 (p i+1 ,p i+2 )−2
Bổ đề 1.1.8 Giá sử∆(pqr) là một tam giác trắc địa trong M Khi đó, tồn tại p ′ ,q ′ , r ′ ∈R 2 sao cho d(p,q) p ′ −q ′
Tam giác ∆(p ′ q ′ r ′ ) được gọi là tam giác đối sánh của tam giác trắc địa
Bổ đề 1.1.9 khẳng định rằng trong tam giác trắc địa ∆(pqr) thuộc M, tam giác đối sánh ∆(p ′ q ′ r ′ ) có điểm z nằm trên cung trắc địa nối p và q, với điểm đối sánh z ′ thuộc đoạn [p ′ ,q ′ ] Nếu d(z,p) = ∥z ′ −p ′ ∥ và d(z,q) = ∥z ′ −q ′ ∥, thì ta có bất đẳng thức d(z,r) ≤ z ′ −r ′.
Một tập con \( K \subseteq M \) được gọi là lồi (lồi trắc địa) nếu với hai điểm \( p \) và \( q \) thuộc vào \( K \), thì cung trắc địa nối \( p \) với \( q \) hoàn toàn nằm trong \( K \) Cụ thể, nếu \( \gamma : [a,b] \to M \) là một cung trắc địa với \( p = \gamma(a) \) và \( q = \gamma(b) \), thì mọi điểm \( \gamma((1-t)a + tb) \) đều thuộc \( K \) với mọi \( t \in [0,1] \).
Tiếp theo, cho f :M→(−∞,+∞]là một hàm giá trị thực mở rộng Ta ký hiệu
D(f)là miền xác định của hàm f và
Khi đó, hàm f được gọi là lồi trắc địa, nếu với bất kỳ cung trắc địaγ thuộc M, hàm hợp f ◦γ :R→(−∞,+∞]là hàm lồi, tức là
Trường véc-tơ trên đa tạp Hadamard
Cho K là một tập con khác rỗng của đa tạp Hadamard M Trong đề tài này ta ký hiệu:
• Ω(K) là tập hợp gồm tất cả các trường véc-tơ đơn trị A :K → TM thỏa mãnA(x)∈T x Mvới mỗix∈K.
• X(K)là tập hợp gồm tất cả các trường véc-tơ đa trị B:K→2 T M sao cho B(x)⊆T x Mvới mọix∈K.
• D(B) ={x∈K:B(x)̸= /0} là miền xác định củaB. Định nghĩa 1.2.1 ([10]) Trường véc-tơ đơn trị A∈Ω(K) được gọi là: a) đơn điệu nếu với x,y∈Ktùy ý, ta có
. b) đơn điệu chặt nếu vớix,y∈K tùy ý màx̸=y ta có
. c) đơn điệu mạnh (ρ-đơn điệu mạnh) nếu tồn tại hằng số ρ > 0 sao cho với x,y∈K tùy ý, ta có
≤ −ρd 2 (x,y). Định nghĩa 1.2.2 ([13]) Trường véc-tơ đơn trị A∈Ω(K) được gọi là liên tục Lipschitz (liên tụcL-Lipschitz) nếu tồn tại hằng sốL>0 sao cho
≤Ld(x,y), ∀x,y∈K. Định nghĩa 1.2.3 ([6]) Trường véc-tơ đa trịB∈X(K) được gọi là a) đơn điệu nếu với x,y∈D(B)tùy ý ta có u,exp −1 x y
, ∀u∈B(x)và∀v∈B(y). b) đơn điệu chặt nếu vớix,y∈D(B) tùy ý màx̸=y thì u,exp −1 x y
, ∀u∈B(x) và∀v∈B(y) c) đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số ρ >0 sao cho với x,y∈D(B) tùy ý ta có u,exp −1 x y
≤ −ρd 2 (x,y), ∀u ∈B(x) và∀v∈B(y). d) đơn điệu tối đại nếu với mọi x∈D(B) vàu∈T x K ta có u,exp −1 x y
Nhận xét 1.2.4 Từ định nghĩa ta nhận thấy rằng nếuB∈X(K) là một trường vộc-tơ đơn điệu và x ∈ intD(B), thỡ với mỗi v ∈ TxM tồn tại à > 0 sao cho
⟨u,v⟩ ⩽ à với mọi u ∈ B(x) Điều này cho thấy B(x) bị chặn với mỗi x ∈ intD(B). Định nghĩa 1.2.5 ChoB∈X(M) vàx 0 ∈D(B) Khi đó, Bđược gọi là
(i) liên tục trên tại x 0 nếu vớiV là một tập mở tùy ý thỏa mãn B(x 0 )⊆V ⊆
T x 0 M, luôn tồn tại một lân cận mởU(x 0 ) chứa x 0 sao cho P x 0 ,x A(x) ⊆V với mọix∈U(x 0 ).
(ii) nửa liên tục trên kiểu Kuratowski tại x 0 nếu với dãy {x k } ⊆ D(B) tùy ý thì với mỗi u k ∈B(x k )ta có{u k } ⊂ TMvà
(iii) bị chặn địa phương tại x 0 nếu tồn tại một lân cận mở U(x 0 ) chứa x 0 sao cho tập S x∈U(x 0 )
Nửa liên tục trên M, hay còn gọi là nửa liên tục trên kiểu Kuratowski bị chặn địa phương, được định nghĩa là nửa liên tục tại mỗi điểm \( x_0 \in D(B) \).
Nhận xét1.2.6 Ta nhận thấy nửa liên tục trên ⇒ nửa liên tục trên kiểu Kuratowski.
Chiều ngược lại đúng nếuBlà bị chặn địa phương trênM.
Bây giờ, với x 0 ∈D(B)ta xét T :T x 0 M→2 T x 0 M là ánh xạ cho bởi
Mệnh đề 1.2.7 cho rằng với \( B \in X(M) \), ta có các mệnh đề sau: Thứ nhất, trường véc-tơ \( B \) là đơn điệu tối đại Thứ hai, với mỗi \( x_0 \in D(B) \), ánh xạ \( T: T x_0 M \to 2 T x_0 M \) được xác định bởi (1.8) là nửa liên tục theo kiểu Kuratowski trên \( T x_0 M \) Cuối cùng, trường véc-tơ \( B \) cũng là nửa liên tục theo kiểu Kuratowski trên \( M \).
Khi đó, ta cói)⇒ii)⇒iii).
Chứng minh i) ⇒ ii): Giả sử i) đúng Cho x 0 ∈M và u 0 ∈T x 0 M Lấy {u n } ⊂
T x 0 M và {v n } ⊂T x 0 M với mỗi v n ∈ T(u n ) sao cho u n → u 0 và v n → v 0 với v 0 ∈T x 0 M Ta sẽ chứng minh v 0 ∈T(u 0 ) Thật vậy, với mỗi nta đặt x n =exp x 0 u n vàv¯ n =P x n ,x 0 v n
Khi đó, với mỗinta có xn→x¯:=exp x 0 u 0 vàv¯n∈B(xn).
Mặt khác, sử dụng tính đơn điệu ta thấy v¯n,exp −1 x n y
Từ i), ta suy ra rằng B là đơn điệu tối đại, do đó, \( P(x, \bar{x}) \) và \( v_0 \in B(x) \) Theo cách xác định của \( T \) và vì \( \bar{x} = \exp(x_0, u_0) \), ta có \( v_0 \in T(u_0) \) Giả sử ii) đúng, cho \( x_0 \in M \), ta cần chỉ ra rằng \( B \) là nửa liên tục trên kiểu Kuratowski tại \( x_0 \) Từ ii), ánh xạ \( T: T x_0 M \to 2^{T x_0 M} \) được xác định bởi công thức (1.8) là nửa liên tục trên kiểu Kuratowski trên \( T x_0 M \) Do \( \exp^{-1}(x_0): M \to T x_0 M \) là một phép vi phôi, nên hàm hợp \( T \circ \exp^{-1}(x_0) \) cũng là nửa liên tục trên kiểu Kuratowski trên \( M \).
(x) ∀x∈M,nên ta thấyB là nửa liên tục trên kiểu Kuratowski trên M do P x,x 0 là một phép đẳng cự, kéo theo Blà nửa liên tục trên kiểu Kuratowski tạix 0
Bổ đề 1.2.8 Giả sửB∈X(M)là đơn điệu tối đại vàD(A) =M Khi đó a) Bbị chặn địa phương trên M. b) Blà nửa liên tục trên kiểu Kuratowski.
Chứng minh Ta lấy x 0 ∈ M Ta giả sử ngược lại rằng B không bị chặn địa phương tại x 0 Khi đó tồn tại các dãy số {xn} ⊂D(B) và {vn} ⊂TM màv n ∈
B(xn) sao cho xn→x 0 nhưng ∥vn∥ →∞ Theo Chú ý 1.2.4 thì B(x 0 ) bị chặn.
Ta lấyv 0 ∈B(x 0 )và định nghĩa u n = (1−t n )P x n ,x 0 v 0 +t n v n ∀n=1,2, , trong đó{tn} ⊂[0,1]sao cho với mỗi n=1,2, thì∥un∥=C+1.
Như vậy,{un} là một dãy bị chặn vàt n →0.
Không mất tính tổng quát, ta giả sửun→u 0 vớiu 0 ∈Tx 0 M Khi đó,
∥u 0 ∥=C+1 và u 0 ∈/ B(x 0 ) (1.9) Mặt khác, vớiy∈D(B),v∈B(y)tùy ý và với mỗin=1,2, ta có u n ,exp −1 x n y
+ v,exp −1 y x n trong đó bất đẳng thức sau cùng đúng dotn ⩾0 và vì tính đơn điệu của B nên v n ,exp −1 x n y
Chon→∞, sử dụng tính đơn điệu củaBvà Bổ đề 1.1.11 ta được u 0 ,exp −1 x 0 y
Bởi vì B là đơn điệu tối đại, ta suy ra rằng \( u_0 \in B(x_0) \), điều này mâu thuẫn với (1.9) Từ đó, ta có điều cần chứng minh Định lý 1.2.9 cho biết rằng nếu \( B \in X(M) \) là đơn điệu và \( D(B) = M \), thì các mệnh đề sau là tương đương: i) Trường véc-tơ \( B \) là đơn điệu tối đại; ii) Với \( x_0 \in M \) tùy ý, ánh xạ \( T: T x_0 M \to 2 T x_0 M \) được xác định bởi công thức (1.8) là nửa liên tục trên \( T x_0 M \), và với mỗi \( u \in T x_0 M \), tập \( T(u) \) là lồi, đóng; iii) Trường véc-tơ \( B \) là nửa liên tục trên \( M \), và với mỗi \( x \in M \), thì \( B(x) \) là lồi, đóng.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét lại khái niệm về giải thức của một trường véc-tơ đa trị và ánh xạ hoàn toàn không giãn (firmly nonexpansive mapping) trên các đa tạp Hadamard Theo Định nghĩa 1.2.10 ([9]), cho trường véc-tơ \( B \in X(K) \) và \( \lambda \in (0, \infty) \), λ-giải thức của \( B \) được định nghĩa là ánh xạ đa trị \( J B_\lambda : K \to 2^K \) được xác định bởi công thức.
J λ B (x):={r∈K:x∈exp r λB(r)}, ∀x∈K. Định nghĩa 1.2.11 ([9]) Cho ánh xạ T :K⊆ M→M Ta nói T là hoàn toàn không giãn nếu với hai điểmx,y∈Ktùy ý, hàm sốg:[0,1]→[0,+∞]được cho bởi g(t):=d exp x texp −1 x T(x),exp y texp −1 y T(y)
, ∀t ∈[0,1] là một hàm không tăng.
Ta nhận thấy rằng, nếuT :K→K là một ánh xạ hoàn toàn không giãn thì d(T(x),T(y))≤d(x,y), ∀x,y∈K. Định lý 1.2.12([9]) Trường véc-tơ đa trịB∈X(K)là đơn điệu khi và chỉ khi
J B λ là đơn trị và hoàn toàn không giãn.
Giả sửKlà một tập con đóng, lồi trắc địa và khác rỗng củaM Ta định nghĩa toỏn tử chiếuP K (ã):M→K bởi cụng thức
Mệnh đề 1.2.13 ([9]) khẳng định rằng nếu K là một tập con đóng, lồi trắc địa và khác rỗng của M, thì với mọi x∈M, P K (x) là singleton Điều này dẫn đến hai kết luận quan trọng: i) P K là ánh xạ đơn trị và hoàn toàn không giãn; ii) Với mọi y∈K, ta có bất đẳng thức.
Mệnh đề 1.2.14([3]) Với mỗi x∈K, các mệnh đề sau là tương đương i) x∈(A+B) −1 (0); ii) x=T A,B λ (x),∀λ ∈(0,∞).
Bổ đề 1.2.15([1]) ChoKlà một tập con đóng, khác rỗng của đa tạp Hadamard
Mvà B∈X(K)là đơn điệu tối đại Giả sử{λn} ⊂(0,∞)thỏa mãn lim n→∞λn λ >0 Hơn nữa, giả sử{xn} ⊂Kthỏa mãn lim n→∞xn=x∈Kvà lim n→∞J λ B n(xn) =y.
Khi đóy=J λ B (x). Định nghĩa 1.2.16([4]) Trường véc-tơ đơn trịA∈Ω(K)được gọi là đơn điệu mạnh ngược (inverse-strongly-monotone) nếu tồn tạiα >0 sao cho
Nhận xét 1.2.17 ([4]) Nếu A là một trường véc-tơ đơn trị α-đơn điệu mạnh ngược, thìAlà liên tục 1 α-Lipschitz và ngược lại Thật vậy, theo định nghĩa trên ta có α
≤ 1 αd(x,y), ∀x,y∈K trong đóα >0 Như vậy Alà liên tục 1 α-Lipschitz.
Ngược lại, giả sửAlà liên tục 1 α-Lipschitz, thì với mọix,y∈Kta có
. Như vậy,Alà α-đơn điệu mạnh ngược.
Bổ đề 1.2.18 cho biết rằng nếu \( A \in \Omega(K) \) là một trường véc-tơ \( \alpha \)-đơn điệu mạnh ngược với \( \alpha > 0 \) và \( B \in X(K) \) là một trường véc-tơ đơn điệu tối đại, thì với mỗi \( \lambda \in [0, 2\alpha] \), ánh xạ \( W_\lambda : K \to K \) được xác định bởi công thức nhất định.
W λ (x) =exp x −λA(x) là không giãn; ii) với mỗiλ >0, ánh xạT A,B λ :K→K cho bởi công thức
T A,B λ (p) =J λ B (W λ (p)) là xác định đúng đắng và(A+B) −1 (0) =Fix(T A,B λ ) trong đóFix(T A,B λ ) là tập các điểm bất động của T A,B λ ; iii) với mỗiλ ∈(0,2α],ánh xạ T A,B λ là không giãn.
Thuật toán điểm xấp xỉ trên đa tạp Hadamard 18
Thuật toán điểm xấp xỉ
Trước hết, cho B∈X (M) là một trường véc-tơ đa trị với miền xác định D(A) là một tập lồi trắc địa và đóng Ta nói rằng x∈D(B) là một điểm kỳ dị của B nếu
Khi đó, ta ký hiệu tập các điểm kỳ dị củaAlà
Mệnh đề 2.1.1 ([8]) Cho B∈X(M) là một trường véc-tơ đơn điệu chặt Khi đó,Bcó ít nhất một điểm kỳ dị.
Mệnh đề 2.1.2 ([11]) nêu rằng, cho không gian hữu hạn chiều X và toán tử đa trị nửa liên tục T: X → 2^X, nếu D(T) = X và T thỏa mãn điều kiện bức "coercivity condition".
Trong không gian X, tồn tại một điểm x sao cho 0 thuộc vào tập T(x) Định lý 2.1.3 khẳng định rằng nếu B là một trường véc-tơ tối đại và đơn điệu mạnh với miền xác định D(B) = M, thì điểm kỳ dị của B tồn tại và là duy nhất.
Tính đơn điệu mạnh dẫn đến tính đơn điệu chặt, từ đó suy ra tính duy nhất của điểm kỳ dị theo Mệnh đề 2.1.1 Để chứng minh sự tồn tại của điểm kỳ dị, ta chọn \( x_0 \in M \) và xem xét ánh xạ \( T: T x_0 M \to 2 T x_0 M \) được xác định bởi công thức (1.8).
Theo Định lý 1.2.9, ta nhận thấy rằng T là nửa liên tục Thêm vào đó, từ tính chất đơn điệu mạnh, có tồn tại một hằng số ρ > 0 sao cho với mọi x thuộc D(B), ta có u,exp −1 x 0 x.
⩽−ρd 2 (x 0 ,x) ∀u ∈B(x 0 ) và∀v∈B(x). Điều này tương đương với
Ta lấyu∈T x 0 M vàw∈T(u), rồi đặtx=exp x 0 u Hơn nữa, ta giả sử w=P x 0 ,x v vớiv∈B(x)nào đó Nếu v 0 ∈B(x 0 ), thì từ (2.3) ta có
∥u∥ = +∞ ∀w∈T(u). Điều này cho thấy T thỏa mãn điều kiện bức (2.2) Sử dụng Mệnh đề 2.1.2 ta suy ra tồn tạiu ∈T x 0 M sao cho0 ∈T(u) Khi đó x:=exp x 0 u ∈Mlà điểm kỳ dị củaB.
Tiếp theo, ta xét một thuật toán lặp để xấp xỉ điểm kỳ dị của B trên không gian Hadamard được đề xuất bởi Li và các cộng sự trong [8].
THUẬT TOÁN 1 Lấy x 0 ∈D(B) và {λn} ⊂(0,1) Với n =0,1,2, ta lập dãy đệ quy
Thuật toán được mô tả bởi (2.4) là một dạng ẩn, đặt ra vấn đề về thời điểm thuật toán này được xác định đúng đắn Đối với mỗi n, ta định nghĩa \( Q_n \in X(M) \) theo công thức.
Nếu B∈X (M) là đơn điệu, thì với mỗi n, Q n cũng sẽ là đơn điệu mạnh Sử dụng các kết quả từ Mệnh đề 2.1.1 và Định lý 2.1.3, chúng ta có thể nhận thấy điều này.
(i) Thuật toán (2.4) là xác định đúng đắn khi và chỉ khi với mỗin=0,1,2, thì Q −1 n (0)̸= /0.
(ii) Nếu D(B) =M và B là đơn điệu tối đại, thì thuận toán (2.4) là xác định đúng đắn. Định lý 2.1.5 ([8]) Cho B ∈X (M) là trường véc-tơ thỏa mãn B −1 (0) ̸= /0.
Giả sử B là đơn điệu và nửa liên tục trên kiểu Kuratowski Hơn nữa, giả sử
Ta lấy x 0 ∈ D(B) và giả sử dãy {xn} sinh ra từ THUẬT TOÁN 1 là xác định đúng đắn Khi đó,{x n } hội tụ đến điểm kỳ dị củaB.
Để chứng minh, trước tiên chúng ta cần kiểm tra rằng dãy \{x_n\} hội tụ theo nghĩa Fejér đến B^{-1}(0) và giới hạn khi n tiến tới vô cùng của d(x_{n+1}, x_n) bằng 0 Giả sử x thuộc B^{-1}(0) và n ≥ 0, theo (2.4) ta có 0 thuộc B(x) và λ_n \exp^{-1}(x_{n+1}) x_n thuộc B(x_{n+1}) Từ tính đơn điệu của B, chúng ta có thể suy ra kết quả cần thiết.
Tiếp theo, trong tam giác trắc địa∆(x n x n+1 x)sử dụng bất đẳng thức (1.1) ta có d 2 (x n+1 ,x) +d 2 (x n+1 ,x n )−2
⩽d 2 (x n ,x). Kết hợp với (2.6) ta được d 2 (x n+1 ,x) +d 2 (x n+1 ,xn)⩽d 2 (xn,x) (2.7)
Suy ra rằng, với điều kiện \( Suy \, rad \, 2 (x_{n+1}, x) \leq d_2 (x_n, x) \), dãy \( \{x_n\} \) hội tụ theo nghĩa Fejér đến \( B^{-1}(0) \) khi \( n \geq 0 \) được cho tùy ý Hơn nữa, từ (2.7) ta có \( d_2 (x_{n+1}, x_n) \leq d_2 (x_n, x) - d_2 (x_{n+1}, x) \) Do dãy \( \{d(x_n, x)\} \) bị chặn và đơn điệu, nó sẽ hội tụ Từ đó, ta suy ra rằng \( \lim_{n \to \infty} d_2 (x_{n+1}, x_n) = 0 \).
Theo Bổ đề 1.1.5, để chứng minh rằng điểm tụ của dãy {x_n} thuộc vào B^{-1}(0), ta chỉ cần chỉ ra rằng nếu x là một điểm tụ của {x_n}, thì tồn tại một dãy con {n_k} sao cho x_n_k → x Từ đó, ta có d(x_n_k, x_{n_k + 1}).
→0. vàxn k +1→x Do{λn}bị chặn nên u n k +1 :=λn k exp −1 x nk +1x n k −→0 (2.9)
Hơn nữa, với mỗik từ cách xác định của thuật toán 2.4 ta thấy u n k +1 ∈B x n k +1
Kết hợp với (2.9) ta suy ra 0 ∈B(x) do B là nửa liên tục trên theo kiểu Kura- towski tạix, tức là,x∈B −1 (0).
Trong trường hợp D(B) = M, tính đơn điệu tối đại tương đương với tính nửa liên tục Hơn nữa, tính tối đại suy ra từ chuỗi {x_n} sinh bởi THUẬT TOÁN 1 là xác định đúng đắn Do đó, ta có hệ quả quan trọng sau đây.
Hệ quả 2.1.6 Cho B∈ X(M) là một trường véc-tơ thỏa mãn B −1 (0) ̸= /0 và
D(B) = M Giả sử B là đơn điệu tối đại và dãy {λn} ⊂ (0,1) thỏa mãn điều kiện (2.5) với x₀ ∈ M Khi đó, dãy {xₙ} được sinh ra từ THUẬT TOÁN 1 là xác định đúng đắn và hội tụ đến điểm kỳ dị của B.
Thuật toán điểm xấp xỉ điều chỉnh
Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét lại thuật toán điểm xấp xỉ điều chỉnh trên đa tạp Hadamard để xấp xỉ điểm kỳ dị của bài toán (2.1) Giả sử rằng \(0 \leq r < 1\), chúng ta sẽ xây dựng thuật toán điều chỉnh thông qua phương pháp đệ quy.
THUẬT TOÁN 2A.Lấyx 0 ∈Mtùy ý Vớin=0,1, , từ x 0 ,x 1 , ,x n , ta xác địnhx n+1 như sau: i) Chọn tham số λn>0 và chọnyn∈Mthỏa mãn
0∈B(yn)−λnexp −1 y n x n ; (2.10) ii) Chọn sai sốεn≥0 vàz n sao cho d(z n ,y n )≤εn; iii) Chọn αn∈[0,r]và ta xác địnhx n+1 bởi công thức x n+1 =exp x
Việc tìm nghiệm thỏa mãn phương trình (2.10) thường yêu cầu tính toán độ khó tương đương với việc giải bài toán 0∈B(x) Do đó, chúng ta có thể áp dụng thuật toán sau.
THUẬT TOÁN 2B.Lấy x 0 ∈Mtùy ý Với n=0,1, , từx 0 ,x 1 , , x n , ta xác địnhx n+1 như sau: i) Chọnλn>0,εn≥0,z n ∈Mvàe n ∈B(z n )−λnexp −1 z n x n sao cho
∥en∥ ≤λnεn; ii) Chọn αn∈[0,r]và xác địnhx n+1 bởi công thức x n+1 =exp x 0 (1−αn)exp −1 x 0 z n
Nhận xét 2.2.1: Giả sử \( x_0 \in M \) và với mỗi \( m \), phương trình (2.10) luôn có nghiệm Khi đó, dãy \( \{x_n\} \) được sinh ra bởi THUẬT TOÁN 2B với điểm khởi đầu \( x_0 \) có thể coi như là dãy được sinh ra bởi THUẬT TOÁN 2A với cùng điểm khởi đầu Cụ thể, sau một bước lặp từ THUẬT TOÁN 2B, ta chọn \( z_0 \in M \) và \( e_0 \in B(z_0) - \lambda_0 \exp(-1) z_0 x_0 \) sao cho
Tiếp theo, ta chọny 0 ∈Msao cho
DoB(ã)−λ0exp −1 ã x 0 làλ0-đơn điệu mạnh nờn từ (2.11) và (2.13) ta suy ra e 0 ,−exp −1 z 0 y 0
Kết hợp với (2.12) suy ra d(z 0 ,y 0 )≤ε0.
X 1 được xác định bởi công thức \$x_1 = \exp(x_0(1 - \alpha_0)) \exp(-1 x_0 z_0\$, cho thấy rằng x 1 là kết quả của phép lặp đầu tiên trong THUẬT TOÁN 2A Điều này cho thấy rằng dãy số được sinh ra từ THUẬT TOÁN 2B có thể được coi là một dãy số sinh ra từ THUẬT TOÁN 2A.
Nhận xét 2.2.2 cho thấy rằng THUẬT TOÁN 2A là một thuật toán dạng ẩn, do đó cần xem xét tính đúng đắn của nó Tương tự, với mỗi m, ta xét Q n ∈ X(M) được xác định bởi công thức.
Nếu B là đơn điệu, thì THUẬT TOÁN 2A được xác định đúng khi và chỉ khi với mỗi n = 0, 1, 2, thì Q^{-1}_n(0) khác rỗng Ngoài ra, nếu D(B) = M và B là đơn điệu tối đại, thì THUẬT TOÁN 2A cũng được xác định đúng.
Bổ đề 2.2.3 ([14]) Cho {α n } và {β n } là các dãy số thỏa mãn các điều kiện sau: i) {αn} ⊂[0,1],∑ nαn=∞; ii) lim sup n→∞ βn≤0; iii) γn≥0 (n≥0),∑ n γn