Luận văn tốt nghiệp khái niệm cơ bản đầu tiên về dạng vi phân trên đa tạp

Trong giới hạn của luận văn này chúng tôi chỉ trình bày những khái niệm cơ bản đầu tiên về dạng vi phân trên đa tạp nhằm hiểu rõ bản chất của dạng vi phân và thông qua đó nêu lên một vài

MỤC LỤC Trang phụ bìa

Mục lục

Lời cảm ơn

Lời mở đầu 1

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 3

1 Hàm vectơ 3

1.1 Định nghĩa 3

1.2 Hàm vectơ liên tục 3

1.3 Hàm vectơ khả vi 4

1.4 Hàm khả vi lớp Cr 4

2 Đa tạp khả vi 4

2.1 Khái niệm bản đồ 4

2.2 Khái niệm Atlas 6

2.2.1 Định nghĩa 6

2.2.2 Hai Atlas phù hợp 6

2.2.3 Mệnh đề 6

2.2.4 Atlas cực đại 6

2.3 Đa tạp khả vi 7

2.4 Ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp 8

2.5 Khái niệm về cung tham số, đường cong, vectơ tiếp xúc 9

2.5.1 Cung tham số 9

2.5.2 Đường cong 9

2.5.3 Vectơ tiếp xúc 10

2.6 Không gian tiếp xúc 11

2.7 Aùnh xạ tiếp xúc của hai đa tạp 11

2.8 Phân thớ tiếp xúc 12

2.9 Phân thớ đối tiếp xúc 12

2.10 Trường vectơ 13

2.11 Trường vectơ khả vi 13

Chương 2: Dạng vi phân 14

1 Đại số ngoài 14

1.1 Định nghĩa ánh xạ đa tuyến tính thay dấu 14

1.2 Nhóm các hoán vị 15

1.3 Phép nhân các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu 15

1.4 Các tính chất của phép nhân ngoài 16

1.5 Các dạng vi phân trên không gian vectơ 16

1.5.1 Định nghĩa 16

1.5.2 Các phép toán trên những dạng vi phân 17

1.5.3 Phép toán vi phân ngoài 18

1.5.4 Các tính chất của phép toán vi phân ngoài 18

1.5.5 Các dạng vi phân trên không gian hữu hạn chiều 19

1.5.6 Phép đổi biến trong các dạng vi phân 20

1.5.7 Các tính chất của ánh xạ ϕ* 20

2 Dạng vi phân trên đa tạp 20

2.1 Định nghĩa 20

2.2 Các phép toán trên các dạng vi phân 21

2.3 Phép đổi biến trong các dạng vi phân trên đa tạp 24

2.3.1 Định nghĩa 25

2.3.2 Các tính chất của ánh xạ f* 25

2.4 Vi phân ngoài của dạng vi phân 27

2.4.1 Định nghĩa 27

2.4.2 Các tính chất của vi phân ngoài 27

Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31

LỜI MỞ ĐẦU

Như chúng ta đã biết để tính diện tích của một mảnh phẳng thì người ta phải phân hoạch mảnh phẳng đó thành các mảnh nhỏ sao cho mỗi mảnh nhỏ đều có thể tính được diện tích của nó Giới hạn diện tích của mỗi mảnh nhỏ đối với một phép phân hoạch sao cho các mảnh nhỏ được coi là đều nhau thì diện tích của mỗi mảnh nhỏ được gọi là dạng diện tích (volume foms) Cách làm này được sử dụng để tính thể tích của một vật thể trong không gian 3 chiều

Vấn đề đặt ra là xây dựng các dạng thể tích để tính thể tích của một đa tạp con bất kỳ trong không gian? Để giải quyết những bài toán như vậy người

ta xây dựng khái niệm các dạng vi phân trên đa tạp

Trong giới hạn của luận văn này chúng tôi chỉ trình bày những khái niệm cơ bản đầu tiên về dạng vi phân trên đa tạp nhằm hiểu rõ bản chất của dạng vi phân và thông qua đó nêu lên một vài ví dụ mang tính minh hoạ.Nội dung đề tài bao gồm 2 chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ sở để làm tiền đề cho việc trình bày những khái niệm ở chương sau, đó là: hàm vectơ, tính liên tục và khả vi của hàm vectơ ,…, trình bày về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp, không gian tiếp xúc, phân thớ tiếp xúc, phân thớ đối tiếp xúc và trường vectơ

Chương 2: Dạng vi phân

Đây là chương trọng tâm của luận văn, nội dung của chương này là trình bày các khái niệm : Aùnh xạ đa tuyến tính thay dấu và các tính chất của

chúng trên không gian vectơ định chuẩn, các dạng vi phân trên không gian hữu hạn chiều và trên đa tạp, tích ngoài của các dạng vi phân, không gian các dạng vi phân và một số ví dụ minh hoạ.

Để hoàn thành đề tài này, tuy bản thân đã có nhiều nổ lực và cố gắng song trong đề tài không tránh khỏi những sai sót, vì vậy em rất mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô và bạn bè Em xin chân thành cảm ơn!

CHƯƠNG IMỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm: Hàm vectơ, tính liên tục và khả vi của hàm vectơ… Nhắc lại một số kiến thức của đa tạp khả

vi như: khái niệm bản đồ, Atlas, ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp, khái niệm về cung tham số, đường cong, vectơ tiếp xúc Mô tả cấu trúc của không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc, trên cơ sở đó xây dựng khái niệm về phân thớ đối tiếp xúc, trường vectơ và trường vectơ khả vi trên đa tạp, là kiến thức cơ sở cho việc nghiên cứu các dạng vi phân ở chương II

1.2 Hàm vectơ liên tục

Hàm vectơ f : U⊂ ¡ n → ¡ m được gọi là liên tục tại x0 ∈ U nếu

∀ ε >0, ∃ δ > 0 : ∀ x∈ U mà P x – x0 P< δ thì P f(x) – f(x0) P<ε

Nhận xét:

• f = (f1,… , fm) liên tục trên U khi và chỉ khi các fi liên tục trên U, tức là fi liên tục tại mọi x∈ U, i=1,2,…,m

• Nếu hàm f : U ⊂ ¡ n

→ ¡ m liên tục tại x0 ∈ U và

g : f(U)⊂ V ⊂ ¡ m → ¡ p liên tục tại f(x0) thì hàm số hợp

g.f : U ⊂ ¡ n → ¡ p liên tục tại x0

1.3 Hàm vectơ khả vi

Cho U ⊂ ¡ n, hàm vectơ f : U → ¡ m được gọi là khả vi tại a ∈ U nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính λ : ¡ n → ¡ m sao cho

1.4 Hàm khả vi lớp C r

Hàm vectơ f : U ⊂ ¡ n → ¡ m , với U mở, được gọi là khả vi lớp Cr (r≥

1) trên U nếu các hàm toạ độ f1, f2, …,fm của f khả vi lớp Cr, có nghĩa là :

∀k≤ r thì tồn tại

1 1 n

k i k

2 Đa tạp khả vi

2.1 Khái niệm bản đồ

Cho M là không gian tôpô Hausdorff Nếu U là tập mở trong M, V là tập mở trong ¡ n và ϕ : U → V là đồng phôi thì (U,ϕ) được gọi là một bản đồ của M

• Với p ∈ U thì ϕ(p)∈ ¡ n nên ϕ(p)= (x1,x2,…,xn) Khi đó (x1,x2, ,xn) được gọi là toạ độ của p đối với (U,ϕ) và (U,ϕ) được gọi là hệ toạ độ địa

phương (vì ϕ là đồng phôi nên có thể đồng nhất một cách địa phương

Quy ước: Nếu U1 ∩ U2 = ∅ thì (U1,ϕ1) và (U2, ϕ2) là phù hợp

2.1.1 Ví dụ

ϕ: ¡ → ¡

x a 2x-1 thì (¡ , ϕ) là một bản đồ của ¡

U1={ (x,y)∈ S1 : x>0 } = { ( 1 y− 2 , y): y∈(− 1,1) }

V1=(− 1,1)

U1

U2M

ϕ2

ϕ2 ϕ1-1

R n

(x, 1 x− 2 )a x Khi đó (U2,ϕ2) là một bản đồ của M=S1 và (U1,ϕ

1) và (U2,ϕ2) là phù hợp

2.2 Khái niệm Atlas

B = { (Vj,ψ j) } j∈J là hai Atlas trên không gian tôpô Hausdorff

M Khi đó A và B được gọi là phù hợp nếu mọi bản đồ (Ui,ϕi)∈ A đều phù hợp với mọi bản đồ(Vj,ψ j)∈ B với mọi i,j

Atlas

2.2.3 Mệnh đề

Trong tập hợp các Atlas của M, nếu gọi R là quan hệ phù hợp giữa hai Atlas thì R là quan hệ tương đương

2.2.4 Atlas cực đại

Hợp của tất cả các Atlas thuộc lớp tương đương R là Atlas cực đại của lớp ấy ( Cực đại được hiểu theo nghĩa là không có Atlas nào phù hợp với nó mà chứa nó)

Nếu A là một Atlas cực đại trên M thì A còn được gọi là một cấu trúc khả vi trên M

2.3 Đa tạp khả vi

Một không gian tôpô Hausdorff M có cấu trúc khả vi

A ={ (Ui,ϕi) } i ∈I mà : n

i i V i

ϕ U → ⊂ ¡ thì được gọi là đa tạp khả vi n- chiều

Nhận xét Từ một Atlas bất kỳ trên M đều có thể bổ sung để được một Atlas

cực đại Vì thế khi xét một cấu trúc khả vi trên M ta chỉ xét Atlas có số bản đồ ít nhất

Đặc biệt các khoảng mở trong ¡ là các đa tạp khả vi 1- chiều, ¡ n là

đa tạp khả vi n- chiều

b) Lấy M = S1 = { (x,y): x2+y2 =1 } Ở ví dụ trước ta đã có (U1,ϕ1) và (U2,ϕ2) là hai bản đồ của M

Đặt: U3 = { (x,y)∈S1 : x<0 } = { (- 1 y− 2 , y) : y∈ (-1,1) }

V3 = (-1, 1)

ϕ3 : U3 → V3

(- 1 y− 2 , y)a y

Đặt U4 ={ (x,y)∈S1 : y<0 } ={ (x, - 1 x− 2 ) : x∈(-1,1) }

i=1 là một Atlas của M

Vậy M=S1 là một đa tạp khả vi 1- chiều

2.4 Aùnh xạ khả vi giữa hai đa tạp

Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng

Định nghĩa

Aùnh xạ liên tục f : M→ N được gọi là khả vi tại điểm p∈M nếu với mọi bản đồ địa phương (U,ϕ) quanh p và (V,ψ ) quanh q = f(p) sao cho f(U)

⊂ V thì ánh xạ ψ f.ϕ-1 là khả vi tại điểm ϕ(p)∈ ¡ m

Aùnh xạ f được gọi là khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm p ∈ M

M

N

U.

ψ ϕ

Ví dụ: Xét M =(0,1), N = ¡ 3 và

f : (0,1) → ¡ 3

t a (t2, t3, t+1) thì f khả vi

2.5 Khái niệm về cung tham số, đường cong, vectơ tiếp xúc

2.5.1 Cung tham số

a) Định nghĩa

Cho M là đa tạp khả vi n- chiều, J = (a,b)⊂ ¡ Mỗi ánh xạ khả vi

ρ : J→M được gọi là một cung tham số

b) Cung tham số tương đương

Cho hai cung tham số: ρ : J → M và δ : I→ M

ρ được gọi là tương đương với δ , ký hiệu ρ : δ , khi và chỉ khi tồn tại vi phôiλ: I → J sao cho ρ.λ = δ Ta viết [ ]γ = { δ δ : γ } và gọi là một lớp các cung tham số tương đương

Nhận xét Nếu hai cung tham số tương đương thì chúng có cùng một tập ảnh.

 Hai đường cong tương đương:

Cho đa tạp khả vi n- chiều M và một điểm p ∈ M

Cho hai đường cong:

ρ : J → M và δ : I → M

0 a ρ(0) = p 0 a δ (0) = p

Ta nói ρ và δ tương đương với nhau khi và chỉ khi với mọi bản đồ (U, ϕ) quanh p thì : ( ϕ.ρ),(0) = ( ϕ.δ ),(0).

Ký hiệu: ρ : δ

Nhận xét Hai đường cong được gọi là tương đương với nhau tại một điểm

nếu chúng có cùng một vectơ tiếp xúc tại điểm đó

2.5.3 Vectơ tiếp xúc

Trong mục này ta luôn giả sử M là đa tạp khả vi n- chiều và ρ là đường cong trên M

Aùnh xạ f : M→ ¡ được gọi là khả vi tại điểm p∈ M nếu với mọi bản đồ (U,ϕ), p∈ U thì f.ϕ-1 khả vi tại ϕ(p)

Ký hiệu: F (M) là tập hợp các hàm khả vi trên M

F (p) là tập hợp các hàm khả vi trong lân cận Up chứa p

Định nghĩa Vectơ tiếp xúc tại điểm p ∈ M là một ánh xạ

v : F (p) → ¡

f a v(f) = dt d f.ρ(t)| t t = 0

Khi đó ta cũng nói v là vectơ tiếp xúc với M tại p

Xét bản đồ địa phương (U,ϕ) quanh p và γ là đường cong trên M qua p Khi đó vectơ tiếp xúc tại p là ϕj

Như vậy, mỗi vectơ tiếp xúc với M tại p là tổ hợp tuyến tính của ϕ 1

ξ ϕ

2.6 Không gian tiếp xúc

Cho M là đa tạp khả vi n- chiều Tập các vectơ tiếp xúc tại p của M tạo thành không gian tiếp xúc của M, ký hiệu là TpM

Nhận xét Tập các vectơ tiếp xúc tại p là không gian con của không gian

vectơ các đạo hàm tại p, sinh bởi n vectơ ϕj

 ∂ 

∂ ÷

 p , j = 1, n

2.7 Aùnh xạ tiếp xúc của hai đa tạp

Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng và

Ví dụ Giả sử lấy M =¡ 2, N = ¡ 3 và f : ¡ 2 → ¡ 3

Vectơ v tiếp xúc với đường cong ρ(t): = +v u= +2 41 3t t

Khi đó: vì v’= f* |p(v) tiếp xúc với f.ρ(t), nên v’= dt d f ρ(t)|t=0 =(7,10,3)

2.8 Phân thớ tiếp xúc

Cho M là một đa tạp khả vi n- chiều Ta gọi :

TM =

p MU∈ TpM là phân thớ tiếp xúc của M, là một đa tạp khả vi 2n- chiều Thật vậy, trên TM ta mô tả cấu trúc đa tạp như sau:

Đối với mỗi bản đồ (U,ϕ) trên M , ta đặt TU =

p UU∈ TpM và xét ánh xạ

∑ p ,ϕ là một song ánh từ TU lên ϕ(U)×

¡ n Người ta đã chứng minh được rằng (TU,ϕ) là bản đồ trên TM, kết hợp với (U,ϕ) Nếu (V, ψ ) là một bản đồ địa phương khác trên M, với U∩V≠ ∅

thì với (a,b)∈ψ ( U∩V) ס n, ta có:

ϕ.ψ -1(a,b) =

1 1

với cấu trúc khả vi xác định như trên là đa tạp khả vi 2n- chiều, được gọi là phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi M.

2.9 Phân thớ đối tiếp xúc

Cho M là một đa tạp khả vi n- chiều Ta đã xây dựng được không gian tiếp xúc TpM và phân thớ tiếp xúc TM của M là một đa tạp

Tương tự như vậy ta xây dựng không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc trên đa tạp TM Khi đó, không gian tiếp xúc với đa tạp TM được gọi là không gian đối tiếp xúc của M tại p, ký hiệu là T*pM Phân thớ tiếp xúc của

đa tạp TM được gọi là phân thớ đối tiếp xúc của M, ký hiệu là T*M

Nhận xét Một trường vectơ trên đa tạp M là một ánh xạ biến mỗi điểm trên

đa tạp thành một vectơ tiếp xúc thuộc không gian tiếp xúc với đa tạp tại điểm đó

2.11 Trường vectơ khả vi

Cho M là đa tạp khả vi n- chiều Với mỗi bản đồ địa phương (U,ϕ) của

M, p ∈ U thì ϕ(p) ∈ ¡ n nên ϕ(p) = (x1,…,xn) Vì ϕ là đồng phôi nên có thể đồng nhất một cách địa phương p với (x1,…,xn)

Ký hiệu: B (M) = { các trường vectơ khả vi trên M }

Tại mỗi p∈ M thì

i

p x

 ∂ 

∂ 

  là cơ sở của không gian tiếp xúc TpM Khi cho p

thay đổi ta sẽ có

CHƯƠNG IIDẠNG VI PHÂN

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm : Aùnh xạ đa tuyến tính thay dấu và các tính chất của chúng trên không gian vectơ định chuẩn, các dạng

vi phân cùng các phép toán của chúng trên không gian vectơ hữu hạn chiều Từ đó xây dựng khái niệm các dạng vi phân trên đa tạp khả vi n- chiều, tích ngoài của các dạng vi phân, không gian các dạng vi phân, phép đổi biến trong các dạng vi phân và phép toán vi phân ngoài

1 Đại số ngoài

1.1 Định nghĩa ánh xạ đa tuyến tính thay dấu

• Cho E1,E2,…,Ep,F la ø(p+1) không gian vectơ định chuẩn Aùnh xạ

f: E1 ×E2 ×…×Ep → F

(x1,x2,…,xp) a f(x1,x2,…,xp)

(trong đó xi là một vectơ trong Ei)

được gọi là một ánh xạ p- tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến, tức là: cố định (p-1) biến còn lại và xét biến thứ i ta có :

f(x1, ,α xi+βyi, xi+1,…,xp)=α f(x1, ,xi,xi+1,…,xp) + βf(x1,…,yi, ,xp) , ∀ i= 1, p

• f được gọi là tuyến tính thay dấu (thay phiên) nếu:

i) f là p- tuyến tính

ii) f(x1,…,xi,…,xj,…,xp)= - f(x1,…,xj,…,xi,…,xp)

Ký hiệu: Lp(E,F) là tập hợp các ánh xạ p- tuyến tính từ Ep → F thì Lp(E,F) là một không gian vectơ

A p(E,F) là tập hợp các ánh xạ p- tuyến tính thay dấu từ Ep → F Ta chứng minh được rằng A p(E,F) là không gian vectơ con của không gian

Lp(E,F)

1.2 Nhóm các hoán vị

Giả sử ∑p là nhóm tất cả các hoán vị của tập {1, , p gồm p số nguyên }

dương đầu tiên Nó chứa p! phần tử Hoán vị σ ∈ ∑p được gọi là chuyển vị nếu tồn tại một cặp số khác nhau i và j (1≤ ≤i p,1≤ ≤j p) sao cho:

σ (i) = j,

σ (j) = i,

σ (k) = k với k tuỳ ý khác i và j

(Nói một cách đơn giản, σ đổi chỗ i và j)

Ta gọi cặp số { } {i j, ⊂ 1,2, ,n} là một nghịch thế củaσ nếu với mọi i j< thì ( )i ( )j

σ >σ .

Với hoán vị tuỳ ý σ của tập hợp {1, , p} , nếu f ∈ A p(E,F) thì

f(xσ(1),xσ (2),…,xσ (p)) = sign σ f(x1,x2,…,xp), trong đó sign =1 nếu số nghịch thế là chẵn và sign =-1 nếu số nghịch thế là lẻ

Sign được gọi là dấu của phép thế σ1(1) σ(2) 2 σ( )p p ÷

1.3 Phép nhân các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu

Giả sử f ∈ A p(E;F) và g ∈ A q(E;G) Để xác định phép nhân giữa g và f trước tiên cần cho một ánh xạ song tuyến tính liên tục Φ : F × G → HAùnh xạ song tuyến tính như thế cho phép đặt tương ứng f và g ánh xạ

h: Ep+q → H, cụ thể h(x1,…,xp+q) = Φ(f(x1,…,xp),g(xp+1,…,xp+q))

Rõ ràng ánh xạ h là đa tuyến tính và liên tục, nhưng nói chung không thay dấu, nó chỉ thuộc không gian các ánh xạ (p+q)- tuyến tính , thay dấu theo p biến đầu và q biến cuối Ký hiệu không gian đó là A p,q(E;H).

Ta xác định một ánh xạ liên tục tuyến tính

¡ ) được cho bởi công thức: (f∧g )(x1,x2) = f(x1)g(x2) – f(x2)g(x1)

1.4 Các tính chất của phép nhân ngoài

đa tuyến tính thay dấu( với các giá trị vô hướng) Khi đó g∧f = (-1)pq f∧g (phép nhân ngoài của các dạng thay dấu là phản giao hoán)

Mệnh đề 1.4.2 Phép nhân ngoài các dạng đa tuyến tính thay dấu là kết

hợp Nói cách khác nếu f ∈ A p(E;¡ ), g ∈A q(E;¡ ) và h∈ A r(E; ¡ ) thì (f∧g)∧ h = f∧ (g∧h)

1.5 Các dạng vi phân trên không gian vectơ

1.5.1 Định nghĩa Cho U là tập mở trong không gian định chuẩn E.

Aùnh xạ ω: U → A p(E;F) được gọi là dạng vi phân bậc p xác định trên U và nhận giá trị trong F Đơn giản ta có thể nói : p- dạng vi phân trên U với giá trị trong F

Các trường hợp riêng:

• Dạng vi phân bậc 0 là hàm U → F

• Dạng vi phân bậc 1 là ánh xạ U→ L(E,F)

Ký hiệu: Ω p(U,F) là tập hợp tất cả p- dạng vi phân trên U với các giá trị trong F và đó là một không gian vectơ

Vớí ω ∈ Ω p(U,F), x∈U và ξ1,…,ξp∈ E ta ký hiệu ω(x).( ξ1,…,ξp )∈F giá trị của ánh xạ ω(x)∈ A p(E;F) trên dãy các vectơ ξ 1,…,ξ p Đôi khi ta sẽ viết giá trị đó như sau ω (x; ξ1,…,ξp) Như vậy, mỗi p- dạng vi phân trên U⊂E là một ánh xạ biến mỗi vectơ x∈ U thành một ánh xạ p- tuyến tính thay dấu xác định trên E

1.5.2 Các phép toán trên những dạng vi phân

Giả sử F,G,H là các không gian Banach và Φ : F× G → H là ánh xạ song tuyến tính liên tục Ngoài ra giả sử α ∈ Ω p(U,F), β ∈ Ω q(U,G)

Đối với bất kỳ x∈U , α (x) là phần tử của không gian A p(E;F), còn β(x) là phần tử của không gian A q(E;G) Vì vậy tích ngoài của chúng là

α(x)∧ Φ β (x)∈ A p+q(E;H) Ta có ánh xạ song tuyến tính liên tục: